(共23张PPT)
18.2.1 第1课时 矩形的
性质
八年级下
人教版
1. 理解矩形的概念，以及矩形与平行四边形之间的关系；
2. 探索并证明矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；
3. 掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.
学习目标
重点
重点
重点
平行四边形有哪些性质？
边 角 对角线
平行四边形
对边平行且相等
对角相等
邻角互补
对角线互相平分
新课引入
1. 我们都知道平行四边形具有不稳定性，在推动平行四边形活动框架的过程中，什么发生变化了？什么没变？
思考
平行四边形的四个角在变化，四条边没有变化.
新知学习
一 矩形的定义及性质
2. 在上述变化过程中，你有没有发现一种熟悉的、更特殊的图形？
我发现了矩形！
3. 平行四边形框架推动到什么情况时，出现的矩形呢？
当平行四边形的一个角为直角时，出现了矩形！
归纳
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形的定义：
平行四边形
矩形
有一个角是直角
教室里的黑板，门窗框，课桌的桌面，信封，明信片等都有矩形的形象.
思考
因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形所有的性质. 由于它有一个角是直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
问题1 矩形的内角都是多少度呢？
A
B
D
C
┐
在矩形ABCD中， ∠A = 90 .
猜想：∠A =∠B =∠C =∠D = 90
试着证明你的猜想.
猜想：矩形的四个角都是直角.
已知：如图，矩形 ABCD 中，∠A = 90°.
求证：∠B =∠C =∠D = 90°.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∵ ∠A=90 ,
∴∠C=90 .
∴AB//CD， AD//BC.
∴ ∠D=90 , ∠B=90 ,
问题2 矩形的对角线除了互相平分外，还有什么特殊的性质吗？
猜想：AC =BD .
A
B
D
C
┐
已知：AC，BD 是矩形 ABCD 的两条对角线.
求证：AC = BD.
证明：∵四边形ABCD是矩形 ，
∴∠DAB=∠ABC=90 ，AD=BC，AB=BA,
∴ △DAB≌△CBA,
∴ AC=BD.
归纳
性质1：矩形的四个角都是直角.
性质2：矩形的两条对角线相等.
矩形的性质：
思考
矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴呢？
A
B
D
C
┐
矩形是轴对称图形.它有两条对称轴，分别是对边中点的连线所在的直线.
矩形 数学语言
边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，AD=BC
角 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
对角线 相等且互相平分 AC=BD，AO=OB=OC=OD
对称性 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. O
例1 如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，且∠AOB = 60°，AB = 4. 求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC 与 BD相等且互相平分，
∴AO = OB ，
又∠AOB = 60°，
∴△AOB 为等边三角形，
∴AO = OB = 4，
∴AC = BD =2AO= 8.
二 直角三角形斜边上中线的性质
上节我们运用平行四边形的判定和性质研究了三角形的中位线，下面我们用矩形的性质研究直角三角形的一个性质.
思考
如图，矩形ABCD的对角线AC, BD相交于点O. 在Rt△ABC中， BO是斜边AC上的中线，BO 与AC 有什么关系？
A
B
D
C
┐
O
猜想：OB = AC.
已知：如图，矩形ABCD的对角线AC, BD相交于点O.
求证：BO=AC.
解：∵四边形ABCD是矩形,
∴，BD=AC ,
∴
A
B
D
C
┐
O
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
归纳
直角三角形的一个性质：
符号语言：
∵Rt△ABC 中，O 为斜边 AC 中点，
∴OB = AC (或 OA = OB = OC = AC) .
C
A
B
O
例2 三位学生正在做投圈游戏，他们分别站在一个直角三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点处. 三个人的位置对每个人公平吗？请说明理由.
解：三个人的位置对每个人是公平的，理由如下：
∵Rt△ABC 中，О 为斜边 AC 中点，
∴OA = OB = OC.
随堂练习
1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，∠AOD = 120°，则图中与线段 AO 长度相等的线段共有 ( )
A. 3条 B. 4条 C. 5条 D. 6条
C
2. 下列关于矩形的说法不正确的是 ( )
A. 对角线平分且相等 B. 四个角都是直角
C. 有四条对称轴 D. 是轴对称图形
C
3. 已知矩形的一条对角线的长度为 2，两条对角线的一个夹角为 60°，求矩形的各边长.
解：如图，可知 AC = BD = 2，∠AOB = 60°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA = OB = OC = OD = 1，
则△AOB 为等边三角形，
∴AB = 1，
在 Rt△ABC 中，BC= .
A
B
D
C
O
性质
定义
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
①四个角都是直角
②对角线相等
③轴对称图形
矩形的
性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
课堂小结(共25张PPT)
18.2.1 第2课时 矩形的
判定
八年级下
人教版
1. 探索并证明矩形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形.
2. 能熟练运用矩形的判定定理进行计算和证明.
学习目标
重点
难点
1. 矩形的四个内角都是 __________.
2. 矩形的对角线 __________ 且 __________.
3. 矩形是 ___________ 图形，有_____条对称轴.
4.在直角三角形中，斜边上的 __________ 等于斜边的 __________.
直角
相等
互相平分
轴对称
中线
一半
2
新课引入
四边形
平行四边形
矩形
四边形
平行四边形
矩形
两组对边平行
一个角是直角
新知学习
上面我们研究了矩形的性质，下面我们研究如何判定一个平行四边形或四边形是矩形.
由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形.除此之外，还有没有其他判定方法呢
思考
还记得学习平行四边形的判定时，我们是如何猜想并进行证明的吗？
逆命题 (修正)
证明
同样，我们能否通过研究矩形性质的逆命题，得到判定矩形的方法呢？
试着证明这个猜想.
猜想1：对角线相等的平行四边形是矩形.
已知：在 □ABCD 中，AC = BD.
求证：四边形 ABCD 是矩形．
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB = DC .
又∵BC = CB，AC = DB，
∴△ABC ≌ △DCB，
∴∠ABC =∠DCB.
∵AB∥DC，
∴∠ABC +∠DCB = 180°，
∴∠ABC =∠DCB = 90°.
又∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴四边形 ABCD 是矩形.
归纳
对角线相等的平行四边形是矩形.
通过以上证明，我们得到矩形的一个判定定理：
数学语言：
在□ABCD中， ∵AC=BD，
∴□ABCD是矩形.
A
B
D
C
进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形呢？
×
×
√
┐
一个角是直角
┐
┐
两个角是直角
┐
┐
┐
三个角是直角
┐
┐
┐
┐
成立
猜想2：三个角是直角的四边形是矩形.
已知：在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°.
求证：四边形 ABCD 是矩形.
证明：∵∠A =∠B = 90°，
∴∠A +∠B = 180°，
∴AD∥BC.
同理可证：AB∥CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∵∠A=90° ∴□ ABCD 是矩形.
归纳
三个角是直角的四边形是矩形.
通过以上证明，我们得到矩形的一个判定定理：
数学语言：
在四边形ABCD中，
∵ ∠A=∠B=∠C=90 ，
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
D
C
┐
┐
┐
归纳
你能归纳矩形的判定方法吗？
方法1：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；
方法2：对角线相等的平行四边形是矩形；
方法3：有三个角是直角的四边形是矩形．
木工师傅在制作窗框后，需要检测所制作的窗框是否是矩形，那么他需要测量哪些数据，其根据又是什么呢？
你有办法帮他吗？
思考
方案1：分别测量出两组对边的长度和一个内角的度数，如果两组对边的长度分别相等，且这个内角是直角，则窗框符合规格.
依据：先用两组对边分别相等判定是平行四边形，再用定义判定是矩形.
方案2：分别测量出窗框四边和两条对角线的长度，如果窗框两组对边长度、两条对角线的长度分别相等，那么窗框符合规格.
依据：先用两组对边分别相等判定是平行四边形，再用对角线相等判定是矩形.
方案3：分别测量出窗框一组对边和这组对边所夹的一组同旁内角，如果窗框这组对边长度相等、且所夹同旁内角都是90度角，那么窗框符合规格.
依据：先用一组对边平行且相等判定是平行四边形，再用定义判定是矩形.
方案4：测量出三个内角的度数，如果三个内角都是直角，则窗框符合规格.
依据：有三个角是直角的四边形是矩形.
例1 下列各句判定矩形的说法是否正确？
(1) 有一个角是直角的四边形是矩形. ( )
(2) 四个角都相等的四边形是矩形. ( )
(3) 四个角都是直角的四边形是矩形. ( )
(4) 对角线相等的四边形是矩形. ( )
(5) 对角线互相平分且相等的四边形是矩形. ( )
(6) 两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形. ( )
例1 如图，在□ ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点O，且 OA=OD，∠OAD=50 . 求 ∠OAB 的度数.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD.
又OA=OD ∴ AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形, ∴∠DAB=90 .
A
D
B
C
O
又∠OAD=50 , ∴ ∠OAB=40 .
随堂练习
1.已知：如图，四边形 ABCD 中，AO = BO = CO = DO，试证明四边形 ABCD 是矩形.
证明：∵AO = BO = CO = DO，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又∵AO + CO = BO + DO，
即 AC = BD，
∴四边形 ABCD 是矩形.
2.如图，□ABCD 四个内角的平分线围成四边形 EFGH，猜想四边形 EFGH 的形状，并说明理由.
解：四边形 EFGH 是矩形.理由如下：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD //BC，
∴∠DAB+∠ABC = 180° .
∵AE、BE 分别平分∠DAB、∠ABC，
∴∠EAB +∠EBA = 90°，
∴∠AEB = 90°，∴∠HEF = 90°.
同理：∠EFG = 90°，∠FGH = 90°，
∴四边形 EFGH 是矩形.
课堂小结
定理1
定义
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形
矩形的
判定
定理2
有三个角是直角的四边形是矩形.
