(共24张PPT)
18.2.2 第1课时 菱形的性质
八年级下
人教版
1. 理解菱形的概念，以及菱形与平行四边形之间的关系；
2. 探索并证明菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线相互垂直；
学习目标
重点
重点
新课引入
平行四边形的角特殊化得到特殊的平行四边形——矩形；平行四边形的边特殊化得到的特殊的平行四边形是什么？它有什么特征？
角特殊化
平行四边形
矩形
边特殊化
平行四边形
新知学习
我们观察平行四边形的一组邻边，如图,当这组邻边相等时,这时的平行四边形也是一个特殊的平行四边形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
归纳
生活中的菱形：
思考
因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形所有的性质. 由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
对于菱形，我们仍然从它的边、角和对角线等方面进行研究.
平行四边形的性质 菱形的性质(猜想)
对边相等
对角相等
对角线互相平分
猜想
四边相等
对角相等
两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
试着证明你的猜想.
猜想1：菱形的四条边都相等.
已知：如图，菱形ABCD 中， AB=BC .
求证：AB = BC = CD = DA.
证明：∵菱形 ABCD 是平行四边形，
所以 AB = CD，DA = BC，
又AB = BC ，
所以 AB = BC = CD = DA .
猜想2：菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角.
已知：如图，□ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O.
求证：AC⊥BD，AC 平分 ∠DAB和 ∠DCB，BD平分 ∠ADC和 ∠ABC.
证明：∵四边形ABCD是菱形 ,
∴ AB=BC=CD=AD，OA=OC，OB=OD.
∴ △ABO≌△ADO， ∴∠AOB=∠AOD.
∵ ∠AOB+∠AOD=180 ,
∴ ∠AOB=∠AOD=90 ，即AC⊥BD.
∵△ABD≌△CBD，
∴∠ABD=∠CBD， ∠ADB=∠CDB.
∵△BAC≌△DAC,
∴∠BAC=∠DAC， ∠BCA=∠DCA.
所以AC⊥BD，AC 平分 ∠DAB和 ∠DCB，BD平分 ∠ADC和 ∠ABC.
归纳
通过上面的证明，我们得到菱形的性质定理：
菱形的四条边相等.
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
如图，比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等的三角形.
A
B
D
C
O
M
N
E
F
G
由菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？
菱形的面积=△ABO的面积+△CBO的面积+△CDO的面积+△DAO的面积
=++
=++)
=+
==.
A
B
D
C
O
菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半.
思考
菱形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
A
B
D
C
O
菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴.
现在，我们得到了菱形的性质. 你能写出矩形、菱形的定义及它们的特殊性质并进行比较吗？
对角线互相垂直，
并且每一条对角
线平分一组对角
例1 如图，在菱形 ABCD 中，若 ∠ABC = 2∠BAD，则∠BAD = __________，△ABD 为 __________ 三角形.
解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB = AD. ∠ABC +∠BAD = 180 °，
∵∠ABC = 2∠BAD，
∴∠BAD = 60°，
又∵AB = AD，
∴△ABD 为等边三角形．
60°
等边
例2 如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20 m，∠ABC = 60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD. 求两条小路的长 (结果保留小数点后两位) 和花坛的面积 (结果保留小数点后一位).
解：∵花坛 ABCD 的形状是菱形，
∴AC⊥BD，
∠ABO = ∠ABC = ×60°=30°.
在 Rt△ABO 中，AO = AB = ×20 = 10.
BO = = = .
∴花坛的两条小路长为：AC = 2AO = 20 (m) ，
BD = 2BO = ≈ 34.64 (m) .
花坛的面积为：S菱形ABCD = AC·BD = ≈ 346.4 (m2)
随堂练习
1.下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）.
D
A.对角线相等 B.对角线互相平分
C.邻边互相垂直 D.对角线互相垂直
2.菱形ABCD的两条对角线AC，BD的长为8，6，求菱形的周长和面积.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，
∴在Rt△AOB中，
A
B
D
C
O
∴菱形ABCD的周长为5×4=20.
菱形ABCD的面积为×8×6=24.
3. 如图为千斤顶的示意图，其中四边形ABCD为菱形，中间通过螺杆BD连接，转动手柄可改变∠ADC的大小(菱形的边长不变)，从而改变千斤顶的高度(即A，C之间的距离)．若AB＝40 cm.
(1)当∠ADC＝60°时，点A与点C之间的距离为____cm；
(2)当∠ADC从60°变为120°时，千斤顶升高了__________________．
40
(40 －40)cm
4.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点O，过点 D 作DE∥AC 且 DE = OC，连接 CE，OE，AE.
(1) 求证：OE = CD；
(1) 证明：∵DE∥AC，DE = OC，
∴四边形 OCED 是平行四边形.
又∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD.
∴□OCED 是矩形.
∴OE = CD.
(2) 若菱形 ABCD 的边长为 4，∠ABC = 60°，求 AE 的长．
(2) 解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，AB = BC，BO = OD，AO = AC.
∵∠ABC = 60°， ∴△ABC 为等边三角形.
∵菱形 ABCD 的边长为 4，∴AC = AB = 4.
∴在 Rt△ABO 中，AO = AB = 2，
BO = = = .
∵四边形 OCED 是矩形，∴CE = OD = .
在 Rt△ACE 中，AE = = = .
课堂小结
性质1
定义
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
菱形的四条边相等.
菱形的
性质
性质2
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.(共18张PPT)
18.2.2 第2课时 菱形的
判定
八年级下
人教版
1. 探索并证明菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形，对角线相互垂直的平行四边形是菱形.
2. 能熟练运用菱形的判定定理进行计算和证明.
学习目标
重点
难点
新课引入
上节课我们研究了菱形的性质，下面我们研究如何判定一个平行四边形或四边形是菱形.
由菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形.除此之
外，还有没有其他判定方法呢？
我们学习了矩形的定义、性质和判定，如下表. 你能发现矩形的三条判定定理分别是从哪个角度得到的吗？
菱形的定义与性质如下表. 你认为可以从哪些角度思考菱形的判定条件？
新知学习
与研究平行四边形、矩形的判定方法类似，我们研究菱形的性质定理的逆命题,看看它们是否成立.
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：如图，□ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AC⊥BD.
求证：□ABCD 是菱形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AO = OC，
∵AC⊥BD，∴AD = DC，
∴□ABCD 是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
归纳
通过以上证明，我们得到菱形的一个判定定理：
数学语言：
在□ABCD中，∵ AC⊥BD，
∴□ABCD是菱形.
A
B
D
C
O
┐
试着证明这个猜想.
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = DA．
求证：四边形 ABCD 是菱形.
证明：∵AB = CD，BC = DA，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∵AB = BC，
∴四边形 ABCD 是菱形．
四条边都相等的四边形是菱形.
归纳
通过以上证明，我们得到菱形的一个判定定理：
数学语言：
在四边形ABCD中，
∵ AB=BC=CD=DA,
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
D
C
归纳
例1 如图，□ABCD的对角线AC, BD相交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3. 求证：□ABCD是菱形.
D
A
C
B
O
证明：∵ AB=5，AO=4，BO=3,
∴+,
∴△AOB是直角三角形,
∴AC⊥BD,
∴ 平行四边形ABCD是菱形.
例2 如图，O 是矩形 ABCD 的对角线的交点，作 DE∥AC，CE∥BD，DE，CE 相交于点 E. 求证：四边形 OCED 是菱形.
证明：∵DE∥OC，CE∥OD，
∴四边形 OCED 是平行四边形.
∴OC = DE，OD = CE，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AO = OC = BO = OD.
∵OC = OD .
∴四边形 OCED 是菱形.
1. 顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是 ( ).
A. 矩形
B. 平行四边形
C. 菱形
D. 任意四边形
C
随堂练习
2. 下列命题中，正确的是 ( ).
A. 两组邻边分别相等的四边形是菱形
B. 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
C. 对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形
D. 对角线垂直的四边形是菱形
B
3.如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点 E、F 分别在 AB、 AD 上，且 AE = AC，EF = ED. 求证：四边形 CDEF 是菱形.
证明： ∵ ∠1 =∠2，AE = AC，AD = AD，
∴ △ACD ≌ △AED . ∴CD = ED，
同理 △ACF ≌ △AEF. ∴CF = EF.
2
A
C
B
E
D
F
1
又∵EF = ED，
∴CD = ED = CF = EF，
∴四边形 ABCD 是菱形.
课堂小结
定理1
定义
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
菱形的
判定
定理2
四条边相等的四边形是菱形.
