(共39张PPT)
19.1.2 第1课时 函数
的图象
八年级下
人教版
1. 理解函数图象上点的横、纵坐标与自变量、函数值的对应关系；
2.会根据函数图象分析函数的变化规律并解决具体问题.
学习目标
重点
难点
1. 下图是一只蚂蚁在竖直的墙面上的爬行图，请问：蚂蚁离地高度 h 是离起点的水平距离 t 的函数吗？为什么？
由图知对于自变量 t 的每一个确定的值，变量h 不是都有唯一确定的值与其对应，如t=4cm时，h=0.6cm或4cm或5cm.所以变量h不是变量t的函数.
不是
新课引入
2. 蚂蚁离起点的水平距离 t 是离地高度 h 的函数吗？为什么？
由图易知对于自变量 h 的每一个确定的值，变量 t 都有唯一确定的值与其对应.所以水平距离t是离地高度h的函数.
是.
试观察下面问题中，当自变量的值增大时，函数值如何变化？
(1) 一种手持烟花，发射出的花弹的飞行高度 h (米) 随飞行时间 t (秒) 变化的规律如下表所示.
t/秒 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 …
h/米 1.8 7.3 11.8 15.3 17.8 19.3 19.8 19.3 17.8 15.3 …
新知学习
探究1
当 0 < t < 3 时，函数值 h 随着 t 的值增大而增大；当 t > 3 时，函数值 h 随 t 值的增大而减小.
t/秒 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 …
h/米 1.8 7.3 11.8 15.3 17.8 19.3 19.8 19.3 17.8 15.3 …
(2) 如图，小球从高为 4 m，坡角为 45° 斜坡坡顶开始滚下，小球离出发点的水平距离为 x m，离水平面高度为 y m，y 随着 x 的变化而变化.
函数值 y 随着 x 值的增大而减小.
(3) 下图是北京市某天 24 小时内气温的变化图，气温 y 随时间 t 的变化而变化.
9 ~ 14 时，y 随着 t 的增大而增大，14 ~ 16 时，y 基本不变；16 ~ 次日 5 时，y 的值随着 t 的增大而减小；次日 5 ~ 8 时，y 变化不大.
(4) y = x2 - 2x.
不能直接看出.
上述 4 个问题中，函数值随自变量的增大的变化规律，哪一个最清楚，哪一个最不清楚？
(2) 、(3)最清楚；
(4)最不清楚.
问题⑵中：去掉斜面，保留运动时经过的路径，建立如图所示的平面直角坐标系，就可以看出 x，y 分别是小球所在位置的横纵坐标，小球运动过程中，y随着 x 的增大而减小.
也就是说，以满足函数关系的自变量的值和对应的函数值分别为横、纵坐标，画出这些点，并用光滑的曲线连接这些点，就得到一个能直观反映变量之间关系的图形，从这个图象中可以方便地看出当自变量增大时，函数值怎样变化.
探究2
如何画出能直观地反映函数变化规律的图形？
例：正方形面积 S 与边长 x 之间的函数解析式为 S = x2.
(1) 这个函数的自变量取值范围是什么？
(2) 怎样画出函数的图形？
正方形的边长必定是正数值，得x > 0.
先确定函数图象上的点的坐标.
(3) 怎样确定满足函数关系的点的坐标？
取一些自变量的值，计算出相应的函数值.
计算并填写下表：（ S = x2）
用光滑曲线去连接画出的点
用空心圈表示不在曲线的点
在直角坐标系中，画出上面表格中各对数值所对应的点，然后连接这些点.所得曲线上每一个点都代表x的值与S的值的一种对应，例如点(2,4)表示当x=2时，S =4.
表示x与S的对应关系的点有无数个.但是实际上我们只能描出其中有限个点，同时想象出其他点的位置.
自变量的值 —— 点的横坐标
函数的值 —— 点的纵坐标
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象. 如上图的曲线即函数 S = x2 (x > 0) 的图象.
归纳
通过图象可以数形结合地研究函数.
下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温 T 如何随时间 t 的变化而变化. 你从图象中得到了哪些信息？
思考
可以认为，气温 T 是时间 t 的函数，上图是这个函数的图象. 由图象可知：
(1) 这一天中凌晨 4 时气温最低 (-3℃) ，14 时气温最高 (8 ℃) .
(2) 从 0 时至 4 时气温呈下降状态 (即温度随时间的增长而下降)，从 4 时到 14 时气温呈上升状态，从 14 时至 24 时气温又呈下降状态.
(3) 我们可以从图象中看出这一天中任一时刻的气温大约是多少.
例1 如图，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上.小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家. 如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间 x 之间的对应关系.
根据图象回答下列问题：
(1) 食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？
(2) 小明吃早餐用了多少时间？
(3) 食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？
(4) 小明读报用了多长时间？
(5) 图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？
分析：小明离家的距离y是时间x的函数.由图象中有两段平行于x轴的线段可知，小明离家后有两段时间先后停留在食堂与图书馆里.
家
食堂
图书馆
吃饭
读报
家
根据图象回答下列问题：
(1) 食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？
由纵坐标看出，食堂离小明家 0.6 km；
由横坐标看出，小明从家到食堂用了 8 min.
根据图象回答下列问题：
(2) 小明在食堂吃早餐用了多少时间？
由横坐标看出，25 - 8 = 17，小明吃早餐用了 17 min.
家
食堂
图书馆
吃饭
读报
家
根据图象回答下列问题：
(3) 食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？
由纵坐标看出，0.8 - 0.6 = 0.2，食堂离图书馆 0.2 km；
由横坐标看出，28 - 25 = 3，小明从食堂到图书馆用了 3 min.
家
食堂
图书馆
吃饭
读报
家
(4) 小明读报用了多长时间？
由横坐标看出，58 - 28 = 30，小明读报用了 30 min.
家
食堂
图书馆
吃饭
读报
家
家
食堂
图书馆
吃饭
读报
家
(5) 图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？
由纵坐标看出，图书馆离小明家 0.8 km；
由横坐标看出，68 - 58 = 10，小明从图书馆回家用了 10 min，由此算出平均速度是 0.08 km/min.
例2 在下列式子中，对于 x 的每一个确定的值，y 有唯一的对应值，即 y 是 x 的函数.画出这些函数的图象:
解：(1)从式子 y=x+0.5 可以看出，x 取任意实数时这个式子都有意义，所以 x 的取值范围是全体实数.
从 x 的取值范围中选取一些数值，算出 y 的对应值，列表.
(1) y=x+0.5； (2) y= (x>0).
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 …
O
1
2
1
-1
2
-2
-1
x
y
根据表中数值描点(x,y)，并用平滑曲线连接这些点.
从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当 x由小变大时，y=x+0.5 随之增大.
x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 5 6 …
y … 12 6 4 3 2.4 2 1.5 1.2 1 …
解：(2) y= (x>0).
列表.
根据表中数值描点(x,y)，并用平滑曲线连接这些点.
O
1
2
1
3
2
3
4
x
y
5
6
4
5
6
从函数图象可以看出，曲线从左向右下降，即当 x 由小变大时,y= (x>0)随之减小.
描点法画函数图象的一般步骤如下：
归纳
第一步，列表---表中给出一些自变量的值及其对应的函数值.
第二步，描点---在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点.
第三步，连线---按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.
思考
如何判断一个点是否在该函数的图象上呢？请你分别判断点 A (1.5 , 2) 、B (10 , 9.5) 是否在 y = x + 0.5 的函数图象上.
自变量 x 的值 —— 横坐标
对应的 y 的值 —— 纵坐标
当 x = 1.5 时，y = 1.5 + 0.5 = 2，
点 A (1.5 , 2) 在函数图象上；
当 x = 10 时，y = 10 + 0.5 = 10.5 ≠ 9.5，
点 B (10 , 9.5) 不在函数图象上.
若一个点的横、纵坐标满足某个函数的解析式，那么这个点就在这个函数图象上；
若不满足，则不在.
归纳
随堂练习
1.（1）画出函数 y = 2x-1 的图象；
（2）判断点A（-2.5,-4）、B（1,3）、C（2.5,4）是否在函数y = 2x-1的图象上.
解：（1）列表；
x …… -3 -2 -1 0 1 2 3 ……
y …… -7 -5 -3 -1 1 3 5 ……
O
1
2
1
-1
2
-2
-1
x
y
描点;
连线.
（2）将x=-2.5代入y = 2x-1，得y=-6，所以点A（-2.5,-4）不在函数y = 2x-1的图象上；
将x=1代入y = 2x-1，得y=1，所以点B（1,3）不在函数y = 2x-1的图象上；
将x=2.5代入y = 2x-1，得y=4，所以点C（2.5,4）在函数y = 2x-1的图象上；
2.八年级 (2) 班从学校出发去某景点旅游，全班分成甲、乙两组. 甲组乘坐大客车，乙组乘坐小轿车. 已知甲组比乙组先出发，汽车行驶的路程 s (单位：km) 和行驶时间 t (单位：min) 之间的函数关系如图所示：
给出下列说法：
① 学校到景点的路程为 55 km；
② 甲组在途中停留了 5 min；
③ 甲、乙两组同时到达景点；
④ 相遇后，乙组的速度小于甲组的速度.
根据图象信息，以上说法正确的有 _______.
① 学校到景点的路程为 55 km；
由纵坐标看出，两组最终行驶路程为 55 km，① 正确.
② 甲组在途中停留了 5 min；
由横坐标看出，35 - 30 = 5，甲组在途中停留了 5 min，② 正确.
③ 甲、乙两组同时到达景点；
由横坐标看出，甲组在 t = 70 时到达，乙组在 t = 60 时到达，不同时，③ 错误.
④ 相遇后，乙组的速度小于甲组的速度.
由横坐标看出，相遇后，乙组到达目的地所花时间比甲组少，所以乙组速度大于甲组速度，④ 错误.
根据图象信息，以上说法正确的有 _______.
①②
概念
函数的
图象
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.
1.列表；2.描点；3.连线.
课堂小结
描点法步骤(共18张PPT)
19.1.2 第2课时 函数的
表示方法
八年级下
人教版
1.全面理解函数的三种表示方法及各自的优点；
2.会根据实际情况选择合适的函数表示方法并解决具体问题.
学习目标
重点
难点
通过前几节课的学习，我们知道，写出函数解析式、或者列表格，或者画函数图象，都可以表示具体的函数.这三种表示函数的方法，分别称为解析式法、列表法和图象法.
新课引入
y = x + 0.5
解析式法
列表法
图象法
探究
新知学习
如图，要做一个面积为12m2 的花坛，该花坛的一边长为xm，周长为ym.
(1) 变量 y 是变量 x 的函数吗？如果是，写出自变量的取值范围；
(2) 能求出这个问题的函数解析式吗？
(3) 当 x 的值分别为 1，2，3，4，5，6 时，请列表表示变量之间的对应
关系；
(4) 能画出函数的图象吗？
(1) 变量 y 是变量 x 的函数吗？如果是，写出自变量的取值范围；
解： y 是 x 的函数，自变量 x 的取值范围是 x > 0.
(2) 能求出这个问题的函数解析式吗？
(3) 当 x 的值分别为 1，2，3，4，5，6 时，请列表表示变量之间的对应关系；
(4) 能画出函数的图象吗？
思考
(1) 对于每一个大于 0 的自变量的值，想准确确定对应的函数值，用什么表示法较好？
解析式法
(2) 对于 x 的值分别为 1，2，3，4，5，6 时，想知道其对应的函数值，用什么表示方法较好？
列表法
图象法
(3) 想知道当 x 的值增大时，函数值 y 怎样变化，用什么表示方法较好？
归纳
函数的三种表示方法各有优点：
列表法：一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接找到与它对应的函数值.
解析式法：能明显地表示自变量与函数的对应关系.
图象法：直观、形象地反映出函数关系的变化趋势和某些性质.
例1 一个水库的水位在最近 5 h 内持续上涨，下表记录了这 5 h 内 6 个时间点的水位高度，其中 t 表示时间，y 表示水位高度．
(1) 在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你发现水位变化有什么规律？
解：(1) 如图，描出表中数据对应的点.可以看出，这 6 个点在一条直线上.
再结合表中数据，可以发现每小时水位上升0.3m. 由此猜想，如果画出这5 h内其他时刻(如t=2.5 h等)及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上，即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度匀速上升的.
(2) 水位高度 y 是否为时间 t 的函数？如果是，试写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出函数图象. 这个函数能表示水位的变化规律吗？
解：由于水位在最近 5 h内持续上涨，对于时间 t 的每一个确定的值，水位高度 y 都有唯一的值与其对应，所以 y 是 t 的函数.开始时水位高度为 3 m，以后每小时水位上升 0.3 m.
函数 y=0.3t+3(0≤t≤5) 是符合表中数据的一个函数，它表示经过 t h 水位上升 0.3t m，即水位 y 为(0.3t+3) m. 其图象是图中点 A(0,3)和点B(5,4.5)之间的线段 AB.
如果在这 5 h内，水位一直匀速上升，即升速为 0.3 m/h，那么函数y=0.3t+3(0≤t≤5)就精确地表示了这种变化规律.
即使在这5h内，水位的升速有些变化，而由于
每小时水位上升 0.3m 是确定的，因此这个函
数也可以近似地表示水位的变化规律.
(3) 据估计这种上涨规律还会持续 2 h，预测再过 2 h 水位高度将达到多少米.
如果水位的变化规律不变，则可利用上述函数预测，再过 2 h，即 t=5+2=7(h) 时，水位高度y=0.3×7+3=5.1(m).
把图中的函数图象(线段AB)向右延伸到 t=7 所对应的位置，如图，从图象也能看出这时的水位高度约为 5.1 m.
由上面的例题可以看出，函数的不同表示法之间可以转化.
随堂练习
1.用列表法与解析式法表示n边形的内角和m(单位:度)关于边数n的函数.
解：列表如下：
边数 n 3 4 5 …
内角和 m/度 …
180
360
540
解析式为m=180(n-2),n≥3，且n为整数.
2.一条小船沿直线向码头匀速前进. 在 0 min，2 min，4 min，6 min 时，测得小船与码头的距离分别为 200 m， 150 m，100 m，50 m. 小船与码头的距离 s 是时间 t 的函数吗？如果是，写出函数解析式，并画出函数图象. 如果船速不变，多长时间后小船到达码头？
解：由题意得，小船的速度为 50÷2=25(m/min)，
则 s=200-25t (0≤t≤8) ，故小船与码头的距离 s 是时间 t 的函数，
函数关系式为 s=200-25t (0≤t≤8) ，图象如图所示.
由图象可知，8 min后船到码头.
x
y
O
1
2
3
5
4
6
7
50
100
150
200
y=200-25x(0≤x≤8)
8
列表法
函数的
表示方法
一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接找到与它对应的函数值.
解析式法
直观、形象地反映出函数关系的变化趋势和某些性质.
能明显地表示自变量与函数的对应关系.
课堂小结
图象法
