(共15张PPT)
19.2.2 第1课时 一次函数
八年级下
人教版
1. 结合具体情境理解一次函数的意义；
2. 能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式；
3. 明确正比例函数与一次函数之间的联系；
学习目标
重点
难点
重点
新课引入
问题1：某登山队大本营所在地的气温为 5℃，海拔每升高 1 km 气温下降 6℃. 登山队员由大本营向上登高 x km 时，他们所处位置的气温是 y℃. 试用函数解析式表示 y 与 x 关系．
分析：y 随 x 变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加 x km 时，气温从 5℃ 减少 6x ℃.
当登山队员由大本营向上登高 0.5 km 时，他们所在位置的气温就是当 x=0.5 时函数 y=-6x+5 的值，即 y=-6×0.5+5=2(℃)
函数解析式为 y=5-6x，
也可以写为 y=-6x+5.
思考
函数解析式y=-6x+5有什么特点？
解析式为：函数=常数k×自变量+常数 b 的形式.
一、一次函数的定义
新知学习
思考
下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.
(1) 有人发现，在 20 ℃ ~ 25℃ 时蟋蟀每分钟鸣叫次数 c 与温度 t (单位：℃) 有关，且 c 的值约是 t 的 7 倍与 35 的差；
c与t 是函数关系 c = 7t - 35(20 ≤ t ≤ 25)
(2) 一种计算成年人标准体重 G (单位：kg) 的方法是，以厘米为单位量出身高值 h ，再减常数 105，所得差是 G 的值；
G与h 是函数关系 G = h - 105
(3) 某城市的市内电话的月收费额 y (单位：元) 包括月租费 22 元和拨打电话 x min 的计时费 (按 0.1 元/min 收取)；
y与x 是函数关系 y = 0.1x + 22
(4) 把一个长 10 cm，宽 5 cm 的矩形的长减少 x cm，宽不变，矩形面积y (单位：cm2) 随 x 的值而变化.
y与x 是函数关系 y = -5x + 50 (0 ≤ x<10)
思考
这些函数解析式有哪些共同特征？
c = 7t - 35 G = h - 105
y = 0.1x + 22 y = -5x + 50
都是常数k与自变量的积与常数 b 的和的形式.
思考
当 b = 0 时，y = kx + b 是什么函数？
归纳
一次函数的定义：
一般地，形如 y = kx + b (k，b 为常数，k ≠ 0) 的函数，叫做一次函数.
y = kx (k 为常数，k ≠ 0)，是正比例函数！
正比例函数是一种特殊的一次函数！
例1 下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
(1) y = 8x
(2) y = + 3
(3) y =
(4) y = 3(3 - x)
(5) y = 3x - x2
(6) y = 5
正比例函数
正比例函数
y = - 3x+9 一次函数
一次函数
一次函数
例2 已知一次函数 y = kx + b (k，b 为常数，k ≠ 0)，当 x = 1 时，y = 5；当 x = -1 时，y = 1. 求 k 和 b 的值.
解：将x = 1 ，y = 5； x = -1 时，y = 1分别代入 y = kx + b中，可得： k + b = 5
-k + b = 1
解得：k = 2
b = 3
∴k 和 b 的值分别为2、3.
1. 说出下列一次函数中的 k 和 b 的值.
(1) y = 8x
(2) y = 3(3 - x)
k = 8，b = 0
y = - 3x+9，k = -3，b = 9
随堂练习
2.如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加 2 m/s.
(1) 求小球速度 v (单位：m/s) 关于时间 t (单位：s) 的函数解析式．它是一次函数吗？
(2) 求第 2.5 s 时小球的速度；
解：(1) v = 2t ,是一次函数.
(2) 将 t = 2.5 代入v = 2t 中，
得 v = 5(m/s)；
3.已知函数 y=(3-m)x+2m-4
（1）当 m 为何值时，函数是正比例函数？
（2）当 m 为何值时，函数是一次函数？
分析：（1）由正比例函数的定义可知：①3-m≠0；②2m-4=0.
（2）由一次函数的定义可知：3-m≠0.
解得m≠3，m=2,
解：（1）由题意可得，
所以当 m=2 时，函数是正比例函数.
解得m≠3,
所以当 m≠3 时，函数是一次函数.
（2）由题意可得，3-m≠0，
概念
一次函数
一般地，形如 y = kx + b (k，b 为常数，k ≠ 0) 的函数，叫做一次函数.
正比例函数是一种特殊的一次函数
课堂小结
注意(共21张PPT)
19.2.2 第2课时 一次函数的图象和性质
八年级下
人教版
1. 会画一次函数的图象；
2. 能从图象角度理解正比例函数与一次函数的关系；
3. 能根据一次函数图象的规律探究一次函数的性质.
学习目标
重点
难点
重点
新课引入
1. 什么是一次函数？
一般地，形如 y = kx+b (k、b是常数，k ≠ 0) 的函数，叫做一次函数.
2. 描点法画函数图象一般步骤是什么？
列表、描点、连线.
新知学习
例1 画出函数 y=-6x+5 ，y=-6x ，y=-6x-5 的图象.
解：函数 y=-6x+5 ，y=-6x ，y=-6x-5 中，自变量 x 可以是任意实数.列表表示几组对应值.
x -1 -0.5 0 0.5 1
y=-6x+5 11 8 5 2 -1
y=-6x 6 3 0 -3 -6
y=-6x-5 1 -2 -5 -8 -11
一 一次函数图象及画法
描点：描出表中列出的几组对应点；
连线：画出函数 y=-6x+5 ，y=-6x ，y=-6x-5 的图象.
y
x
O
y=-6x+5
y=-6x-5
y=-6x
5
-5
1
-1
思考
比较上面两个函数的图象的相同点和不同点，填出你的观察结果：
（1）这三个函数的图象形状都是 ，并且倾斜的程度 ；
（2）函数y=-6x的图象经过原点，
一次函数y=-6x+5的图象与y轴交于点 ，即它可以看作是由直线y=-6x向 平移 个单位长度得到的；
一次函数y=-6x-5的图象与y轴的交点坐标是 ，可以看作是由直线y=-6x向 平移 个单位长度得到的.
直线
相同
（0,5）
上
5
（0,-5）
下
5
思考
联系上面结果，考虑一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是什么形状，它与直线y=kx（k≠0）有什么关系.
一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 的图象是一条直线，我们称它为直线
y = kx + b .
一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以由直线y=kx平移 个单位长度得到(当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移).
例2 画出函数 y=2x-1 与 y=-0.5x+1 的图象.
分析：由于一次函数的图象是直线，因此只要确定两个点就能画出它.
x 0 1
y=2x-1 -1 1
y=-0.5x+1 1 0.5
解：列表表示当 x=0，x=1 时两个函数的对应值.
y=2x-1
y=-0.5x+1
过点(0,-1)与点(1,1)画出直线 y=2x-1；
过点(0,1)与点(1,0.5)画出直线 y=-0.5x+1.
你还有其他方法可以画出这两个函数图象吗？
两点法画一次函数图象.
分析：先画直线 y=2x与 y=-0.5x，再分别平移它们，也能得到直线
y=2x-1 与 y=-0.5x+1.
x 0 1
y=2x 0 2
y=-0.5x 0 -0.5
解：列表.
描点；
连线.
y=2x
y=-0.5x
y=2x-1
y=-0.5x+1
平移法画一次函数图象.
归纳
一次函数图象的画法
（1）两点法：因为两点确定一条直线，所以一般选取直线y=kx+b上两点（0，b）与（1，k+b）画直线.
x
y
O
y=kx+b
(0，b)
(1， k+b)
（2）平移法：一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象可以由直线y=kx平移 个单位长度得到(当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移).
x
y
O
y=kx
y=kx+b(b>0)
y=kx+b(b<0)
二 一次函数的性质
画出函数 y=x+1 、 y=-x+1、y=2x+1 、 y=-2x+1 的图象.由它们联想：一次函数解析式 y=kx+b（k，b是常数，k≠0）中 ，k 的正负对函数图象有什么影响？
探究
y = x + 1
y = 2x + 1
y = -x + 1
y = -2x + 1
观察图象，可以发现规律：
当k > 0 时，直线y=kx+b从左向右上升；
当k < 0 时，直线y=kx+b从左向右下降.
还有其他规律吗？
一次函数 y=kx+b (k≠0)的图象是一条直线
b>0时，直线经过第一、二、三象限
b<0时，直线经过第一、三、四象限
当k>0
当k<0
b>0时，直线经过第一、二、四象限
b<0时，直线经过第二、三、四象限
y = x + 1
y = 2x + 1
y = -x + 1
y = -2x + 1
一次 函数 y=kx+b（k，b是常数，k≠0） k,b的符号 k>0 k<0 b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0
图象
性质 经过的象 限
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
一、二、三
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
一、三、四
一、三
一、二、四
二、三、四
二、四
归纳
1. 一次函数 y = kx - 6 (k < 0) 的图象大致是 ( )
D
随堂练习
2. 直线 y = 2x - 3 与 x 轴交点的坐标为 ________；与 y 轴交点的坐标为 _________ ；图象经过 ____________ 象限，y 随 x 的增大而 _______.
3. 一次函数 y = kx + b，y 随 x 的增大而减小，b > 0，则它的图象经过第 ____________ 象限.
(1.5 , 0)
(0 , -3)
一、三、四
增大
一、二、四
4. 如果一次函数 y = kx + b (k、b 是常数，k ≠ 0) 的图象经过第二、三、四象限，那么 k、b 应满足的条件是 _______________.
k < 0且 b < 0
5.直线 y=3x+5 可以由直线y=3x向_________平移_______个单位得到.
6.已知直线 y=kx+b 过点（0,3），且与直线 y=2x-5 平行，则k=____; b=____.
上
5
2
3
图象
一次函数的
图象与画法
一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b.
①两点法；②平移法.
课堂小结
画法
k>0
一次函数的
性质
①b>0，经过一、二、三象限，y随x的增大而增大；
②b<0，经过一、三、四象限，y随x的增大而增大；
①b>0，经过一、二、四象限，y随x的增大而减小；
②b<0，经过二、三、四象限，y随x的增大而减小；
k<0(共19张PPT)
19.2.2 第3课时 一次函数解析式的确定
八年级下
人教版
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1. 掌握用待定系数法求一次函数解析式的方法；
2. 会用分类讨论的思想求具体问题中的一次函数的解析式.
学习目标
重点
难点
新课引入
我们已经学习了一次函数的图象和性质，你能写出两个具体的一次函数的解析式吗？如何画出它们的图象？
y = 3x - 1
y = -2x + 3
使用两点法 ——— 两点确定一条直线.
反过来，已知一个一次函数的图象上两个点的坐标，你能求出它的解析式吗？
新知学习
例1 已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,-9)，求这个一次函数的解析式.
分析：求一次函数 y=kx+b 的解析式，关键是求出 k，b 的值.
从已知条件可以列出关于 k ，b 的二元一次方程组，并求出 k ，b.
因为图象过(3,5)与(-4,-9)点，所以这两点的坐标必适合解析式.
解：设这个一次函数的解析式为 y=kx+b（k≠0）
∵ y=kx+b 的图象过点（3,5）与（-4,-9）,
3k+b=5,
-4k+b=-9,
∴
∴ 这个一次函数的解析式为 y=2x-1.
k=2,
b=-1,
解方程组得
一 设
二 代
三 解
四还原
归纳
像上面这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法.
由于一次函数y=kx＋b中有k 和b两个待定系数，因此用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k和b为未知数).解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.
函数解析式
y=kx+b
满足条件的两定点(x1，y1)与(x2，y2)
一次函数的图象直线 l
选取
解出
选取
画出
从数到形
从形到数
一 设
设一次函数解析式y=kx+b（k≠0）
二 代
将已知的两组x，y的对应值分别代入所设的解析式中，列出关于k ，b的二元一次方程组
三 解
解上述方程组，求出k ，b的值
四还原
将求出的k ，b的值代入所设解析式中，得到所求一次函数的解析式
用待定系数法求一次函数解析式的步骤：
归纳
例2 已知直线 y = kx + b (k ≠ 0) ，与直线 y = 2x 平行且与 y 轴的交点是 (0 , -2)，求此直线的解析式.
解：∵两直线平行
∴k=2
又∵直线 y = kx + b (k ≠ 0)与 y 轴的交点是 (0 , -2)，
∴-2=b
∴直线解析式是y = 2x - 2
例3 “黄金1号”玉米种子的价格为 5 元/kg，如果一次购买 2 kg 以上的种子，超过 2 kg 部分的种子价格打 8 折.
购买量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
付款金额/元
2.5
5
7.5
10
12
14
16
18
（1）填写表：
（2）写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象.
分析：付款金额与种子价格相关.
问题中种子价格不是固定不变的，它与购买量有关.
设购买 x kg 种子，当 0≤x≤2 时，种子价格为 5元/kg；
当 x＞2 时，其中有 2 kg 种子按 5元/kg 计价，其余的（x-2）kg(即超出 2 kg 部分)种子按 4元/kg（即8折）计价.
因此，写函数解析式与画函数图象时，应对 0≤x≤2 和 x＞2 分段讨论.
当 0≤x≤2 时，y=5x.
当 x＞2时，y=4（x-2）+10=4x+2.
函数图象如图所示.
y 与 x 的函数解析式也可以合起来表示为
（2）设购买量为 x kg，付款金额为 y 元.
分段函数.
思考
你能由上面的函数解析式解决以下问题吗？由函数图象也能解决这些问题吗？
（1）一次购买 1.5 kg 种子，需付款多少元？
（2）一次购买 3 kg 种子，需付款多少元？
7.5
14
解：(1)1.55=7.5(元).
解：(2)34+2=14(元).
题目中没有给出一次函数的解析式，而是通过语言、表格和图象给出一次函数的情境，这时需要先根据题目给出的信息求出一次函数的解析式，再利用一次函数的性质求解.
归纳
分段函数的图象由几段曲线组成，画图时要注意分段点的位置.
随堂练习
1.已知一次函数的图象经过点（9,0）,（ 24,20），写出函数解析式.
解：设这个一次函数的解析式为 y=kx+b（k≠0）
∵ y=kx+b 的图象过点（9,0）与（ 24,20）,
9k+b=0,
24k+b=20,
∴
∴ 这个一次函数的解析式为 y= x-12.
k= ,
b=-12,
解方程组得
2．一个试验室在0:00—2:00保持20 ℃的恒温，在2:00—4:00 匀速升温，每小时升高5℃．写出试验室温度T(单位:℃)关于时间t(单位:h)的函数解析式，并画出函数图象.
分析：试验室温度不是固定不变的，它与时间有关.
当 0≤t≤2 时，试验室温度T为20 ℃；
当2＜t≤4 时，试验室温度T关于时间t的解析式为T=20+5(t-2).
因此，写函数解析式与画函数图象时，应对 0≤t≤2 和2＜t≤4 分段讨论.
解：当0≤t≤2 时，T=20.
当 2＜t≤4 时，T=20+5(t-2)=5t+10.
函数图象如图所示.
∴T 与 t 的函数解析式为
T
y
x
O
30
20
2
4
待定系数法
一次函数
解析式的
确定
①设；②列；③解；④还原.
分段函数的图象由几段曲线组成，画图时要注意分段点的位置.
课堂小结
应用(共25张PPT)
19.2.2 第4课时 一次函数的实际应用
八年级下
人教版
1. 能应用一次函数解决简单的实际问题，体会一次函数的应用价值；
2. 理解实际问题中自变量取值范围要符合实际意义；
3. 了解分段函数的表示及其图象.
学习目标
重点
难点
已知某一次函数的图象如图所示.
(1) 求这个一次函数的解析式.
(2) 请直接写出该直线关于 y 轴对称的直线解析式.
解：(1) 由图可以得到两个点的坐标 (2 , 0)、(0 , 3)，
用待定系数法可求出解析式为 y = x + 3.
(2) 该直线关于 y 轴对称的直线解析式为 y = x + 3.
新课引入
下图是生活中的弹簧称、电子称，同学们想过它们的原理吗？
弹簧的全长与所挂砝码重量之间的关系
探究
1. 实验目的：确定弹簧的全长与所挂砝码重量之间的关系.
2. 实验器材：弹簧称、砝码、直尺.
3. 实验记录：
砝码重量 x (克) 0 100 150 200 250 300 350 400
弹簧全长 y (厘米) 5 7.2 8 9 10 11 12.1 13
新知学习
4. 以测得的对应数值为点的坐标，画出图象.
例1 司机张师傅在距离始发地 A 处 10 km 的一个加油站出发后开始计时，假设汽车行驶的平均速度为 60 km/h，出发 t 小时后距离始发地 A的距离为 S (km)，请写出 S 与 t 的函数关系式. 并画出函数的图象.
解： S 与 t 的函数关系式为 S = 60t + 10 (t ≥ 0).
例2 “黄金 1 号”玉米种子的价格为 5 元/kg，如果一次购买 2 kg 以上的种子，超过 2 kg 部分的种子的价格打 8 折.
(1) 填写下表：
2.5
5
7.5
10
12
14
16
18
例2 “黄金 1 号”玉米种子的价格为 5 元/kg，如果一次购买 2 kg 以上的种子，超过 2 kg 部分的种子的价格打 8 折.
(2) 写出付款金额 y (单位：元) 与购买种子数量 x (单位：kg) 之间的函数解析式.
解：(2) .
这是一个分段函数！
例3 某市出租车的价格是这样规定的：不超过 3 km，付车费 13 元，超过的部分按每千米 2.4 元收费. 已知某人乘坐出租车行驶了 x km，付车费 y 元. (不足 1 km 的里程按 1 km 计算)
(1) 请写出出租车行驶的路 x (km) 与付费用 y 之间的关系式.
解：(1)
3
(2) 小明坐完出租车后付费 25 元，则出租车行驶了多少千米.
由图可知，出租车行驶距离大于 7 千米，不超过 8 千米.
解：
3
例4 从 A 地向 B 地打长途电话，通话时间不超过 3 min 收费 2.4 元，超过 3 min 后每分钟加收 1 元.
(1) 写出通话费用 y (单位：元) 关于通话时间 x (单位：min) 的函数解析式，并画出函数图象；
解：(1) .
例4 从 A 地向 B 地打长途电话，通话时间不超过 3 min 收费 2.4 元，超过 3 min 后每分钟加收 1 元.
(2) 小明有 10 元钱，他打一次电话最多可以通话多长时间？(不足 1 min的通话时间按 1 min 计费).
解：(2) 由图可知，他打一次电话最多可以通话 10 分钟.
若本题中的 x 从 3 分钟起都取整数，那么此时函数图象会是什么样呢？
例4 从 A 地向 B 地打长途电话，通话时间不超过 3 min 收费 2.4 元，超过 3 min 后每分钟加收 1 元.
若本题中的 x 从 3 分钟起都取整数，那么此时函数图像会是什么样呢？
此时函数图象是一个个孤立的点！
如果超过 3 分钟后按实际通话时间收费，函数图象又会是什么样子呢？
例4 从 A 地向 B 地打长途电话，通话时间不超过 3 min 收费 2.4 元，超过 3 min 后每分钟加收 1 元.
此时函数图象就是一次函数 y = x - 0.6 (x ≥ 3) 的图象.
如果超过 3 分钟后按实际通话时间收费，函数图象又会是什么样子呢？
1. 已知函数 y = kx + b 的部分函数值如表所示，则关于 x 的方程 kx + b + 3 = 0 的解是 _________．
x = 2
解：∵当 x = 0 时，y = 1；当 x = 1，y = 1.
∴ ，解得： ，∴y = 2x + 1，
当 y = 3 时， 2x + 1 = 3，
解得：x = 2.
随堂练习
2. 节约用水是我们的美德，水龙头关闭不严会造成滴水，容器内盛水 w(L) 与滴水时间 t(h) 的关系用可以显示水量的容器做如图 1 的试验，并根据试验数据绘制出如图 2 的函数图象，结合图象解答下列问题．
(1) 容器内原有水多少升．
(2) 求 w 与 t 之间的函数关系式，并计算在这种滴水状态下一天的滴水量是多少升.
(1) 容器内原有水多少升.
解：(1) 根据图象可知，t = 0 时，w = 0.3，即容器内原有水 0.3 升；
(2) 求 w 与 t 之间的函数关系式，并计算在这种滴水状态下一天的滴水量是多少升.
解：(2) 设 w 与 t 之间的函数关系式为 w = kt + b，将 (0 , 0.3)，(1.5 , 0.9) 代入，
得： ，解得： ，
故 w 与 t 之间的函数关系式为 w = 0.4t + 0.3；
由解析式可知，每小时滴水量为 0.4L，一天的滴水量为：0.4×24 = 9.6L，
即在这种滴水状态下一天的滴水量是 9.6 升．
3. 某公司开发出一款新包装的牛奶，牛奶的成本价为 6 元/盒，这种新包装的牛奶在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月 (30 天) 的试营销，售价为 8 元/盒. 前几天的销量每况愈下，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，图中的线段表示前 12 天日销售量 y (盒) 与销售时间 x (天) 之间的函数关系，于是从第 13 天起采用打折销售 (不低于成本价)，时间每增加 1 天，日销售量就增加 10 盒.
(1) 打折销售后，第 17 天的日销售量为 ________ 盒；
解：(1) 由图象可得第 12 天的日销售量为 190 盒，
因为从第 13 天起采用打折销售 (不低于成本价)，时间每增加 1 天，日销售量就增加 10 盒，
故日销售量比第 12 天增加 50 盒，为 240 盒；
240
(2) 求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围；
解：(2) 当 1 ≤ x ≤ 12 时，
令 y = kx + b.
由图知：当 x = 1 时，y = 300；x = 12，y = 190．
∴ ，∴ ，
∴y = -10x + 310 (1 ≤ x ≤ 12)．
当 12 < x ≤ 30 时，y = 190 + 10(x - 12).
∴y = 10x + 70 (12 < x ≤ 30).
∴
(3) 已知日销售利润不低于 560 元的天数共有 6 天，设打折销售的折扣为 a 折，试确定 a 的最小值．
(3) 当 1 ≤ x ≤ 12 时，由 (8 - 6)y ≥ 560 得， 2(-10x + 310) ≥ 560，
解得：x ≤ 3. ∴1 ≤ x ≤ 3，x = 1，2，3，共三天.
∵日销售利润不低于 560 元的天数共有 6 天，
∴当 12 < x ≤ 30 时，有三天日销售利润不低于 560 元，
由 y = 10x + 70 (28 < x ≤ 30) 得 y 随 x 的增大而增大，
∵x 为整数，∴x = 28，29，30 时，日销售利润不低于 560 元，且当 x = 28 时，利润最低.
由题意得，(8×0.1a - 6)(10×28 + 70) ≥ 560.
∴a ≥ 9.5， ∴ a 的最小值为 9.5．
1. 应用一次函数模型解决实际问题；
2. 书写分段函数的解析式时要注意自变量的取值范围不重不漏.
课堂小结
