2023-2024学年广东省揭阳市揭西县高二（上）期末数学试卷(含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年广东省揭阳市揭西县高二（上）期末数学试卷(含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 168.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-12 10:11:20 | ||
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文档简介
2023-2024学年广东省揭阳市揭西县高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若直线经过，两点，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.图是第七届国际数学教育大会简称的会徽图案，会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图中的直角三角形继续作下去，记，，，的长度构成的数列为，由此数列的通项公式为( )
A. B. C. D.
4.若点在椭圆，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
5.已知，，点在轴上，则使取得最小值的点的坐标是( )
A. B. C. D.
6.已知圆截直线所得弦的长度为，则实数的值是( )
A. B. C. D.
7.以下四个命题中，正确的是( )
A. 向量与向量平行
B. 为直角三角形的充要条件是
C.
D. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
8.过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为，则这样的直线有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等比数列是递增数列，是其公比，下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知实数，满足圆的方程，则下列说法正确的是( )
A. 圆心，半径为
B. 过点作圆的切线，则切线方程为
C. 的最大值是
D. 的最大值是
11.定义设，则下列结论正确的是( )
A. 有最大值．无最小值 B. 当，的最大值为
C. 不等式的解集为 D. 的单调递减区间为
12.已知棱长为的正方体的中心为，用过点的平面去截正方体，则( )
A. 所得的截面可以是五边形 B. 所得的截面可以是六边形
C. 该截面的面积可以为 D. 所得的截面可以是菱形
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知圆，圆，若圆与圆相外切，则 ______．
14.周髀算经中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、小寒、大寒的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则立春的日影子长为 尺
15.函数，的部分图象如图所示，则______．
16.双曲线的光学性质为：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图，其方程为，、为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，已知．
求；
若，且的面积为，求的周长．
18.本小题分
已知椭圆的长轴长为，焦距为．
求的方程；
若直线与交于，两点，且线段的中点坐标为，求的方程．
19.本小题分
如图，在直三棱柱中，，为的中点，．
证明：；
求二面角的余弦值．
20.本小题分
已知各项均不为零的数列满足，且．
证明：为等差数列，并求的通项公式；
令为数列的前项和，求．
21.本小题分
某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”单位：小时，按照，，，分成组，制成样本的频率分布直方图如图所示．
求图中的值；
估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；
采用分层抽样的方法从，这两组中抽取人，再从人中随机抽取人，求抽取的人恰好在同一组的概率．
22.本小题分
已知抛物线：，过焦点的直线与抛物线交于两点，，当直线的倾斜角为时，．
求抛物线的标准方程和准线方程；
记为坐标原点，直线分别与直线，交于点，，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，
，
．
故选：．
求出集合，，由此能求出．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了斜率公式，考查直线的倾斜角，是基础题．
根据斜率公式求出的值，从而求出倾斜角即可．
【解答】
解：若直线经过，两点，
则，
故直线的倾斜角为，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由题意知，，且，，，都是直角三角形，
所以，且，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，由．
故选：．
由几何关系得且，即可求出等差数列的通项，从而求得的通项．
本题主要考查了归纳推理，还考查了等差数列通项公式的求解，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：点在椭圆，可得，所以，
所以椭圆的离心率为：．
故选：．
点的坐标代入方程求解，然后求解椭圆的离心率即可．
本题考查椭圆的离心率的求法，简单性质的应用，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意，点关于轴的对称点为，
连接，交轴于点，此时取得最小值，如图所示；
设点，则，，
与共线，则，
解得，
所以点的坐标是．
故选：．
求出点关于轴的对称点，连接，交轴于点，利用向量共线求出点的坐标即可．
本题考查了直线方程的应用问题，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：圆的方程，圆心，半径，
圆心到直线的距离，
根据弦长公式可知，解得．
故选：．
利用弦长公式，列式求解．
本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设与向量平行，则存在实数使得，则，此方程组无解，因此与不共线，故不正确．
B.为直角三角形，若，则推不出，因此不正确；
C.，因此不正确；
D.假设存在不全为的实数，使得，化为，
为空间的一个基底，，此方程组无解，因此，，是不共面向量，可构成空间的另一个基底．
综上可知：只有D正确．
故选：．
A.利用向量共线定理即可判断出；
B.为直角三角形，若，则推不出；
C.；
D.利用向量共面定理即可判断出．
本题考查了向量共线定理、向量垂直于数量积的关系、数量积运算、向量共面定理等基础知识，考查了推理能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为，
即，
要使与两坐标轴能围成三角形，则且，
由令，得；
令，得，
因为直线与两坐标轴围成三角形的面积为，
所以
，
所以或，
即或，
令，则或，
则或，
解得或，
所以或，
即或，
所以这样的直线有条．
故选：．
先求得横截距和纵截距，然后根据三角形的面积列方程，解方程求得正确答案．
本题考查直线方程的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，等比数列是递增数列，
则，对于任意的恒成立，
当时，不能保证对于任意的恒成立，故必有，
进而可得．
故选：．
根据题意，由数列的函数特性可得，由不等式的性质分析的范围，进而分析可得答案．
本题考查等比数列的性质，涉及数列的函数特性，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对选项A：，即，圆心为，半径为，错误；
对选项B：在圆上，则和圆心均在轴上，故切线与轴垂直，为，
正确；
对选项C：表示圆上的点到点的斜率，如图所示：
当与圆相切时，斜率最大，此时，，故AB，
故此时斜率最大为，错误；
对选项D：表示圆上的点到原点距离的平方，故最大值为，
正确．
故选：．
确定圆心和半径得到A错误，计算切线得到B正确，将选项中的代数式转化为斜率和到原点的距离，计算得到C错误，D正确，得到答案．
本题考查直线圆的位置关系的应用，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：由题意得，作出函数的图象，如图所示：
根据图象，可得无最大值，无最小值，所以A错误；
根据图象得，当，的最大值为，所以B正确；
由，得，解得：，
结合图象得不等式的解集为，所以C正确；
由图象得，的单调递减区间为，所以D正确．
故选：．
由题意，写出不同区间的解析式，并作出函数图象，然后由图象逐一判断即可．
本题考查了二次函数、一次函数的性质，也考查了数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：过点的平面去截正方体，考虑从正方体的上底面开始截入，不妨设上底面与截面的交线为线段，截取有两种情况，
第一种情况是：点和分别分别在两对边上或相邻边上，如图，
直线与相交于点，直线与相交于点，易知所得截面为平形四边形；
第二种情况是：如图：
直线与相交于点，直线与相交于点，直线与相交于点，与相交于点，直线与相交于点，与相交于点，易知所得到的截面为六边形，故A错误，B正确；
当截面为平行四边形时，正六边形边长为，它的面积为，故C正确；
当截面为平行四边形时，由对称性可知：，，，，
若四边形为菱形时，则，
可得：，可得，
可得：，或，
所以或，故D正确．
故选：．
直接利用分类讨论思想和截面与正方体的关系，判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：正方体的性质，正方体和截面的关系，三角形的面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
13.【答案】
【解析】解：圆的圆心为，半径为，
将化成标准方程为：，
圆的圆心为，半径为，
若圆与圆相外切，则，
即，解得．
故答案为：．
根据圆心距等于两圆半径之和计算即可．
本题考查圆和圆的位置关系，属于基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的基本量计算问题，主要考查了等差数列的应用，属于一般题．
由题意构造等差数列，然后得到关于和的关系，求出和，然后利用等差数列的通项公式求解即可．
【解答】
解：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，设公差为，
由已知可冬至、小寒、大寒的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，
所以，解得，
所以立春的日影子长为尺．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：由函数的部分图象知，的周期为，且，
所以．
故答案为：．
根据正弦型函数的部分图象知的周期为，由此计算即可．
本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：设，
由，，
可得，即，
在直角三角形中，可得，，
由双曲线的定义可得，
则，
由双曲线的定义可得，
即，解得，
在直角三角形中，，，，
则，
即，可得，
故答案为：．
设，由同角的基本关系式求得，可得，，再由双曲线的定义，求得，结合勾股定理和双曲线的离心率公式，计算可得所求值．
本题考查双曲线的定义和性质，以及直角三角形的勾股定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：由，得，
在中，，，
在中，，．
，
，
由余弦定理得，
，，
的周长为．
【解析】利用二倍角公式化简即可求得．
利用面积公式和余弦定理即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：不妨设的焦距为，长轴长为，
此时，，
解得，，
所以，
则的方程为；
设，，
因为，两点都在椭圆上，
代入椭圆方程得，
两式相减得，
即，
线段的中点坐标为，
所以，
此时的斜率，
则的方程为，
即．
【解析】由题意得，的值，由，即可得所求方程；
先用点差法及中点公式求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程．
本题考查椭圆的方程，考查了逻辑推理和运算能力．
19.【答案】解：证明：在直三棱柱中，平面，平面，
，
，平面，且，
平面，
平面，E.
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
由，，得，
，，，，
设平面的一个方向向量为，
，，
，令，得，
平面，是平面的一个法向量，
，
二面角的余弦值为．
【解析】利用线面垂直的性质定理和判定定理可证明；
建立空间直角坐标系，能求出二面角的余弦值．
本题考查线面垂直的判定与性质、二面角的定义及其余弦值的求法、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：证明：，
，
又，
数列是首项为，公差为的等差数列，
，
故；
由得，则，
，
，
由得，
．
【解析】由题意变形得，利用等差数列的定义，即可证明结论；
由得，利用错位相减法，即可得出答案．
本题考查等差数列的定义和错位相减法求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：由题意，高一学生周末“阅读时间”在，，，的频率分别为，，，，，，，，．
由，得．
设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为小时．
因为前组频率和为，前组频率和为，
所以，
由，得．
故可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为小时．
周末阅读时间在，中的人分别有人、人，按分层抽样的方法应分别抽取人、人，分别记作，，及，，，．
从人中随机抽取人，这个试验的样本空间，共包含个样本点，且这个样本点出现的可能性相等，
抽取的人在同一组包含的样本点有，，，，，，，，，共个，
故所求概率．
【解析】根据频率分布直方图中小长方形的面积之和等于即可求出结果；
根据中位数的概念设出中位数，然后列出方程即可求出结果；
根据古典概型的计算公式即可求出结果．
本题考查频率分布直方图，考查中位数的求法，即中位数两边的面积相等，都为，属于中档题．
22.【答案】解：由已知可得，抛物线的焦点坐标为，直线的方程为，
联立抛物线与直线的方程，可得，
设，，
由韦达定理可得，
所以，
所以，
所以抛物线的方程为，准线方程为．
证明：设直线：，
联立直线与抛物线的方程，可得，
所以，，
又，，
所以，
同理可得，
设圆上任意一点为，
则由，可得圆的方程为，
整理可得，
令，可得或，
所以为直径的圆过定点，定点坐标为和．
【解析】根据已知得出直线的方程，与抛物线联立，根据过焦点的弦长公式，列出关系式，即可得出；
设直线的方程为，联立方程根据韦达定理得出，的关系．进而表示出，的方程，求出，的坐标，得出圆的方程．取，即可得出定点坐标．
直线或圆过定点问题，先根据已知表示出直线或圆的方程，令变参数为，得出方程，求解即可得出求出定点的坐标．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若直线经过，两点，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.图是第七届国际数学教育大会简称的会徽图案，会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图中的直角三角形继续作下去，记，，，的长度构成的数列为，由此数列的通项公式为( )
A. B. C. D.
4.若点在椭圆，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
5.已知，，点在轴上，则使取得最小值的点的坐标是( )
A. B. C. D.
6.已知圆截直线所得弦的长度为，则实数的值是( )
A. B. C. D.
7.以下四个命题中，正确的是( )
A. 向量与向量平行
B. 为直角三角形的充要条件是
C.
D. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
8.过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为，则这样的直线有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等比数列是递增数列，是其公比，下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知实数，满足圆的方程，则下列说法正确的是( )
A. 圆心，半径为
B. 过点作圆的切线，则切线方程为
C. 的最大值是
D. 的最大值是
11.定义设，则下列结论正确的是( )
A. 有最大值．无最小值 B. 当，的最大值为
C. 不等式的解集为 D. 的单调递减区间为
12.已知棱长为的正方体的中心为，用过点的平面去截正方体，则( )
A. 所得的截面可以是五边形 B. 所得的截面可以是六边形
C. 该截面的面积可以为 D. 所得的截面可以是菱形
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知圆，圆，若圆与圆相外切，则 ______．
14.周髀算经中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、小寒、大寒的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则立春的日影子长为 尺
15.函数，的部分图象如图所示，则______．
16.双曲线的光学性质为：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图，其方程为，、为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，已知．
求；
若，且的面积为，求的周长．
18.本小题分
已知椭圆的长轴长为，焦距为．
求的方程；
若直线与交于，两点，且线段的中点坐标为，求的方程．
19.本小题分
如图，在直三棱柱中，，为的中点，．
证明：；
求二面角的余弦值．
20.本小题分
已知各项均不为零的数列满足，且．
证明：为等差数列，并求的通项公式；
令为数列的前项和，求．
21.本小题分
某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”单位：小时，按照，，，分成组，制成样本的频率分布直方图如图所示．
求图中的值；
估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；
采用分层抽样的方法从，这两组中抽取人，再从人中随机抽取人，求抽取的人恰好在同一组的概率．
22.本小题分
已知抛物线：，过焦点的直线与抛物线交于两点，，当直线的倾斜角为时，．
求抛物线的标准方程和准线方程；
记为坐标原点，直线分别与直线，交于点，，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，
，
．
故选：．
求出集合，，由此能求出．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了斜率公式，考查直线的倾斜角，是基础题．
根据斜率公式求出的值，从而求出倾斜角即可．
【解答】
解：若直线经过，两点，
则，
故直线的倾斜角为，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由题意知，，且，，，都是直角三角形，
所以，且，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，由．
故选：．
由几何关系得且，即可求出等差数列的通项，从而求得的通项．
本题主要考查了归纳推理，还考查了等差数列通项公式的求解，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：点在椭圆，可得，所以，
所以椭圆的离心率为：．
故选：．
点的坐标代入方程求解，然后求解椭圆的离心率即可．
本题考查椭圆的离心率的求法，简单性质的应用，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意，点关于轴的对称点为，
连接，交轴于点，此时取得最小值，如图所示；
设点，则，，
与共线，则，
解得，
所以点的坐标是．
故选：．
求出点关于轴的对称点，连接，交轴于点，利用向量共线求出点的坐标即可．
本题考查了直线方程的应用问题，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：圆的方程，圆心，半径，
圆心到直线的距离，
根据弦长公式可知，解得．
故选：．
利用弦长公式，列式求解．
本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设与向量平行，则存在实数使得，则，此方程组无解，因此与不共线，故不正确．
B.为直角三角形，若，则推不出，因此不正确；
C.，因此不正确；
D.假设存在不全为的实数，使得，化为，
为空间的一个基底，，此方程组无解，因此，，是不共面向量，可构成空间的另一个基底．
综上可知：只有D正确．
故选：．
A.利用向量共线定理即可判断出；
B.为直角三角形，若，则推不出；
C.；
D.利用向量共面定理即可判断出．
本题考查了向量共线定理、向量垂直于数量积的关系、数量积运算、向量共面定理等基础知识，考查了推理能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为，
即，
要使与两坐标轴能围成三角形，则且，
由令，得；
令，得，
因为直线与两坐标轴围成三角形的面积为，
所以
，
所以或，
即或，
令，则或，
则或，
解得或，
所以或，
即或，
所以这样的直线有条．
故选：．
先求得横截距和纵截距，然后根据三角形的面积列方程，解方程求得正确答案．
本题考查直线方程的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，等比数列是递增数列，
则，对于任意的恒成立，
当时，不能保证对于任意的恒成立，故必有，
进而可得．
故选：．
根据题意，由数列的函数特性可得，由不等式的性质分析的范围，进而分析可得答案．
本题考查等比数列的性质，涉及数列的函数特性，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对选项A：，即，圆心为，半径为，错误；
对选项B：在圆上，则和圆心均在轴上，故切线与轴垂直，为，
正确；
对选项C：表示圆上的点到点的斜率，如图所示：
当与圆相切时，斜率最大，此时，，故AB，
故此时斜率最大为，错误；
对选项D：表示圆上的点到原点距离的平方，故最大值为，
正确．
故选：．
确定圆心和半径得到A错误，计算切线得到B正确，将选项中的代数式转化为斜率和到原点的距离，计算得到C错误，D正确，得到答案．
本题考查直线圆的位置关系的应用，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：由题意得，作出函数的图象，如图所示：
根据图象，可得无最大值，无最小值，所以A错误；
根据图象得，当，的最大值为，所以B正确；
由，得，解得：，
结合图象得不等式的解集为，所以C正确；
由图象得，的单调递减区间为，所以D正确．
故选：．
由题意，写出不同区间的解析式，并作出函数图象，然后由图象逐一判断即可．
本题考查了二次函数、一次函数的性质，也考查了数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：过点的平面去截正方体，考虑从正方体的上底面开始截入，不妨设上底面与截面的交线为线段，截取有两种情况，
第一种情况是：点和分别分别在两对边上或相邻边上，如图，
直线与相交于点，直线与相交于点，易知所得截面为平形四边形；
第二种情况是：如图：
直线与相交于点，直线与相交于点，直线与相交于点，与相交于点，直线与相交于点，与相交于点，易知所得到的截面为六边形，故A错误，B正确；
当截面为平行四边形时，正六边形边长为，它的面积为，故C正确；
当截面为平行四边形时，由对称性可知：，，，，
若四边形为菱形时，则，
可得：，可得，
可得：，或，
所以或，故D正确．
故选：．
直接利用分类讨论思想和截面与正方体的关系，判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：正方体的性质，正方体和截面的关系，三角形的面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
13.【答案】
【解析】解：圆的圆心为，半径为，
将化成标准方程为：，
圆的圆心为，半径为，
若圆与圆相外切，则，
即，解得．
故答案为：．
根据圆心距等于两圆半径之和计算即可．
本题考查圆和圆的位置关系，属于基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的基本量计算问题，主要考查了等差数列的应用，属于一般题．
由题意构造等差数列，然后得到关于和的关系，求出和，然后利用等差数列的通项公式求解即可．
【解答】
解：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，设公差为，
由已知可冬至、小寒、大寒的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，
所以，解得，
所以立春的日影子长为尺．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：由函数的部分图象知，的周期为，且，
所以．
故答案为：．
根据正弦型函数的部分图象知的周期为，由此计算即可．
本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：设，
由，，
可得，即，
在直角三角形中，可得，，
由双曲线的定义可得，
则，
由双曲线的定义可得，
即，解得，
在直角三角形中，，，，
则，
即，可得，
故答案为：．
设，由同角的基本关系式求得，可得，，再由双曲线的定义，求得，结合勾股定理和双曲线的离心率公式，计算可得所求值．
本题考查双曲线的定义和性质，以及直角三角形的勾股定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：由，得，
在中，，，
在中，，．
，
，
由余弦定理得，
，，
的周长为．
【解析】利用二倍角公式化简即可求得．
利用面积公式和余弦定理即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：不妨设的焦距为，长轴长为，
此时，，
解得，，
所以，
则的方程为；
设，，
因为，两点都在椭圆上，
代入椭圆方程得，
两式相减得，
即，
线段的中点坐标为，
所以，
此时的斜率，
则的方程为，
即．
【解析】由题意得，的值，由，即可得所求方程；
先用点差法及中点公式求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程．
本题考查椭圆的方程，考查了逻辑推理和运算能力．
19.【答案】解：证明：在直三棱柱中，平面，平面，
，
，平面，且，
平面，
平面，E.
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
由，，得，
，，，，
设平面的一个方向向量为，
，，
，令，得，
平面，是平面的一个法向量，
，
二面角的余弦值为．
【解析】利用线面垂直的性质定理和判定定理可证明；
建立空间直角坐标系，能求出二面角的余弦值．
本题考查线面垂直的判定与性质、二面角的定义及其余弦值的求法、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：证明：，
，
又，
数列是首项为，公差为的等差数列，
，
故；
由得，则，
，
，
由得，
．
【解析】由题意变形得，利用等差数列的定义，即可证明结论；
由得，利用错位相减法，即可得出答案．
本题考查等差数列的定义和错位相减法求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：由题意，高一学生周末“阅读时间”在，，，的频率分别为，，，，，，，，．
由，得．
设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为小时．
因为前组频率和为，前组频率和为，
所以，
由，得．
故可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为小时．
周末阅读时间在，中的人分别有人、人，按分层抽样的方法应分别抽取人、人，分别记作，，及，，，．
从人中随机抽取人，这个试验的样本空间，共包含个样本点，且这个样本点出现的可能性相等，
抽取的人在同一组包含的样本点有，，，，，，，，，共个，
故所求概率．
【解析】根据频率分布直方图中小长方形的面积之和等于即可求出结果；
根据中位数的概念设出中位数，然后列出方程即可求出结果；
根据古典概型的计算公式即可求出结果．
本题考查频率分布直方图，考查中位数的求法，即中位数两边的面积相等，都为，属于中档题．
22.【答案】解：由已知可得，抛物线的焦点坐标为，直线的方程为，
联立抛物线与直线的方程，可得，
设，，
由韦达定理可得，
所以，
所以，
所以抛物线的方程为，准线方程为．
证明：设直线：，
联立直线与抛物线的方程，可得，
所以，，
又，，
所以，
同理可得，
设圆上任意一点为，
则由，可得圆的方程为，
整理可得，
令，可得或，
所以为直径的圆过定点，定点坐标为和．
【解析】根据已知得出直线的方程，与抛物线联立，根据过焦点的弦长公式，列出关系式，即可得出；
设直线的方程为，联立方程根据韦达定理得出，的关系．进而表示出，的方程，求出，的坐标，得出圆的方程．取，即可得出定点坐标．
直线或圆过定点问题，先根据已知表示出直线或圆的方程，令变参数为，得出方程，求解即可得出求出定点的坐标．
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