2023-2024学年新疆喀什地区巴楚一中高二（上）期末数学试卷(含解析）

2023-2024学年新疆喀什地区巴楚一中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
3.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
4.已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
5.已知直线，则之间的距离为
( )
A. B. C. D.
6.下列说法中正确的是( )
A. 若直线与的斜率相等，则
B. 若直线与互相平行，则它们的斜率相等
C. 在直线与中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则与定相交
D. 若直线与的斜率都不存在，则
7.斜率为，在轴上的截距为的直线的一般式方程是( )
A. B. C. D.
8.双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为( )
A. B. C. D.
9.已知直线与圆相切，那么的值为( )
A. 或 B. C. 或 D.
10.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则( )
A. B. C. D.
11.圆的圆心坐标和半径分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
12.抛物线上有两个点，，焦点，已知，则线段的中点到轴的距离是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.圆：与圆：的公共弦所在直线方程为______．
14.已知点与点之间的距离为，则实数的值为______．
15.若椭圆的离心率为，短半轴长为，则该椭圆的长半轴长为______．
16.已知两定点，，曲线上的点到、的距离之差的绝对值是，则该曲线的方程为______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知点，，直线：．
求线段的中点坐标及直线的斜率；
若直线过点，且与直线平行，求直线的方程．
18.本小题分
如图，已知矩形所在平面外一点，平面，、分别是、的中点．
求证：共面；
求证：．
19.本小题分
椭圆的左、右焦点分别为，，其中，为原点．椭圆上任意一点到，距离之和为．
求椭圆的标准方程及离心率；
过点的斜率为的直线交椭圆于、两点．求的面积．
20.本小题分
已知直线：．
若直线过点，且，求直线的方程；
若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程．
21.本小题分
已知抛物线：的准线方程为，为抛物线的焦点．
Ⅰ求抛物线的方程；
Ⅱ若是抛物线上一点，点的坐标为，求的最小值．
22.本小题分
已知双曲线的中心在原点，焦点、在坐标轴上，离心率为，且过点，点在双曲线上．
求双曲线的方程；
求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：向量，，且，
，解得，
故选：．
利用空间向量平行的坐标关系求解．
本题主要考查了空间向量平行的坐标关系，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，
，
则．
故选：．
由已知求得的坐标，再由空间向量数量积的坐标运算求解．
本题考查空间向量的坐标运算，是基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．
求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．
【解答】
解：因为直线的斜率为：，
设直线的倾斜角为：．
所以，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：由题意，圆心为的中点，直径为，
半径为，
所以，圆的标准方程为，
故选：．
由题意先求出圆心和半径，可得圆的标准方程，
本题考查圆的标准方程，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平行线间的距离计算，属于基础题．
根据题意，将的方程变形可得，由平行线间距离公式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，直线：，即，
又由：，
则与之间的距离；
故选D．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与直线的位置关系，是基础题．
根据题意，判断各个选项的正误即可．
【解答】
解：对于，若直线与的斜率相等，则或与重合，所以不正确；
对于，若直线与互相平行，则它们的斜率相等或者斜率都不存在，所以不正确；
对于，在直线与中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，两条直线不平行，则与定相交，正确；
对于，若直线与的斜率都不存在，则或与重合，所以不正确；
故选：．
7.【答案】
【解析】解：在轴上的截距为的直线经过点，
又斜率为，
点斜式可得直线的方程为：，
即，
故选：．
由已知条件知，直线经过点，又斜率为，可用点斜式写出直线方程，并化为一般式．
本题考查直线方程的求法，先找出直线经过的点的坐标，再根据斜率，点斜式斜直线方程．
8.【答案】
【解析】解：双曲线的一条渐近线方程为，
可得，
所以双曲线的离心率为：．
故选：．
利用双曲线的渐近线方程，求解，关系，然后求解离心率即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的应用，离心率的求法，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：圆
其圆心为，半径为，
因为直线与圆相切，则圆心到切线的距离等于圆的半径，
即，
解得或．
故选：．
找出圆心坐标与半径，由圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式，即可解得的值．
此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由椭圆：知：，
由椭圆定义得：，
又，所以．
故选：．
根据椭圆定义求解即可．
本题考查了椭圆的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查圆的标准方程的特征，属于基础题．
把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径．
【解答】
解：把圆化成标准方程为，
表示以为圆心、半径为的圆，
故答案选：．
12.【答案】
【解析】解：抛物线的准线方程为，
分别过，作准线的垂线，垂足分别为，，则，
设的中点为，过作准线的垂线交轴于，交准线于，则，，
．
故选：．
分别过，向准线作垂线，利用梯形的中位线性质计算距离．
本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：圆：与圆：，
故两圆相减得：．
故答案为：．
直接利用圆与圆的位置关系求出结果．
本题考查的知识要点：圆与圆的位置关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
14.【答案】或
【解析】解：与点之间的距离为，
，
解得或．
故答案为：或．
由已知条件直接利用两点间距离公式能求出的值．
本题考查两点间距离公式的应用，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意得，，，又，
解得，则，椭圆的长半轴长为．
故答案为：．
由题意可得关于，，的方程组，求解得答案．
本题考查椭圆的简单性质，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为，
所以曲线的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线，
所以，，，
所以曲线的方程为．
故答案为：．
根据双曲线的定义进行求解．
本题双曲线标准方程的求解，属于基础题．
17.【答案】解：根据题意，设的中点坐标为，
又由点，，
则，，
故AB中点的坐标为；
直线的斜率；
设直线的方程为，
又由直线经过点，
则有，则；
即直线的方程为．
【解析】【试题解析】
本题考查直线的点斜式方程以及中点坐标公式，涉及直线的斜率计算，属于基础题．
根据题意，设的中点坐标为，由中点坐标公式和直线的斜率公式计算可得答案；
根据题意，设直线的方程为，将的坐标代入其方程计算可得的值，即可得答案．
18.【答案】证明：如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，
设，，，
则：，，，
，，
为的中点，为的中点，
，，
，，，
，
共面．
，，
，
，
．
【解析】本题考查三个空间向量共面的证明，考查两直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，是基础题．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，，，求出，，，从而，由此能证明共面；
求出，，由，能证明．
19.【答案】由题意可得，，
所以椭圆的标准方程为，离心率为．
直线的方程为，代入椭圆方程得，设，，
则，
，
又点到直线的距离，
，
即的面积为．
【解析】根据题意和椭圆的定义可知，，再根据，即可求出，由此即可求出椭圆的方程和离心率；
求出直线的方程，将其与椭圆方程联立，设，，求出，，根据弦长公式求出的长度，再根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离，再根据面积公式即可求出结果．
本题主要考查椭圆方程的求解，椭圆离心率的求解，椭圆中的面积问题，直线与椭圆的位置关系等知识，属于中等题．
20.【答案】解：因为直线 的方程为，
所以直线 的斜率为．
因为，
所以直线的斜率为．
因为直线 过点，
所以直线的方程为，即．
因为直线，且直线与直线之间的距离为，
所以可设直线的方程为，
所以，解得或．
故直线的方程为或．
【解析】本题考查两直线平行、垂直与斜率的关系，属于中档题．
由直线的方程求出斜率，再由可得的斜率，由点斜式求出直线的方程；
直线可设的方程，再由平行线之间的距离公式求出参数的值，即求出的的方程．
21.【答案】解：Ⅰ抛物线：的准线方程为，
即，得，
则抛物线的方程为；
Ⅱ过点作准线的垂线，垂足为，则，
，
当，，三点共线时，取得最小值．

【解析】本题考查抛物线的定义和方程、性质，属于基础题．
Ⅰ由抛物线的准线方程，由题意可得，进而得到抛物线方程；
Ⅱ过点作准线的垂线，垂足为，运用抛物线的定义和三点共线取得最值的性质，可得所求最小值．
22.【答案】解：因为双曲线的中心在原点，焦点、在坐标轴上，离心率，
不妨设双曲线方程为，
因为双曲线过点，
所以，
解得，
则双曲线方程为；
证明：由知，
所以，
此时，，
因为，
所以，
此时，
因为点在双曲线上，
所以，
解得，
则，
所以，
故．
【解析】由题意，根据双曲线的离心率先设出双曲线的方程，将点代入双曲线方程中，进而即可求解；
结合中信息以及，，之间的关系，求出双曲线的焦点坐标，结合点在双曲线上以及斜率公式再进行求解即可．
本题考查双曲线的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
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