2023-2024学年云南省昭通一中教研联盟高二（上）期末数学试卷（B卷）(含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年云南省昭通一中教研联盟高二（上）期末数学试卷（B卷）(含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 118.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-12 10:14:50 | ||
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文档简介
2023-2024学年云南省昭通一中教研联盟高二（上）期末数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是( )
A. B. C. D.
2.已知直线：，则该直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
3.已知数列的前项和，，则( )
A. B. C. D.
4.若，，，且，，三点共线，则( )
A. B. C. D.
5.椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为( )
A. B. C. D.
6.设，，则以线段为直径的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
7.夏季高山上气温从山脚起每升高降低，已知山顶的气温是，山脚的气温是那么，此山相对于山脚的高度是( )
A. B. C. D.
8.如图，在正方体中，，分别为，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点是双曲线上任意一点，，是的左、右焦点，则下列结论正确的是( )
A. B. 的离心率为
C. D. 的渐近线方程为
10.已知函数，设数列的通项公式为，则此数列( )
A. 图象是二次函数的图象
B. 是递减数列
C. 从第项往后各项均为负数
D. 有两项为
11.过点且与圆相切的直线方程为( )
A. B.
C. D.
12.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点已知抛物线：，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则平分
D. 若，延长交直线于点，则，，三点共线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若在等差数列中，，，则 ______．
14.请写出一个焦点在轴上，且与直线没有交点的双曲线的标准方程： ．
15.斜率为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，则椭圆的离心率为______．
16.如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标为，，．
求直线的方程；
求边上高所在的直线方程．
18.本小题分
在等差数列中，，．
求数列的通项公式；
记为等差数列的前项和，求使不等式成立的的最小值．
19.本小题分
已知圆和圆．
Ⅰ求证：圆和圆相交；
Ⅱ求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，底面为正方形，、分别为，的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
21.本小题分
已知椭圆的长轴是短轴的倍，且右焦点为．
求椭圆的标准方程；
直线：交椭圆于，两点，求的面积．
22.本小题分
过点作直线与抛物线相交于，两点．
若直线的斜率是，求弦的长度；
若，求直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了投影向量的定义，属于基础题．
根据投影向量的定义即可得出正确的选项．
【解答】
解：，
在坐标平面上的投影向量是．
故本题选B．
2.【答案】
【解析】解：设该直线倾斜角为，，
由题意，可知直线的斜率，可得．
故选：．
求得直线的斜率，然后根据斜率与倾斜角的关系算出答案．
本题主要考查直线的方程、直线的斜率与倾斜角等知识，考查了概念的理解能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：数列的前项和，，
则．
故选：．
利用即可得出．
本题考查了数列前项和公式与通项公式之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，，且，，三点共线，
直线，的斜率存在且相等，
故，解得．
故选：．
由三点共线可得，直线，的斜率存在且相等，再结合直线的斜率公式，即可求解．
本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：椭圆，所以，，由椭圆的定义可知：
椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为：．
故选：．
直接利用椭圆的定义求解即可．
本题考查椭圆的基本性质，定义的应用，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题设，所求圆的圆心为，半径为，
所以以线段为直径的圆的方程是．
故选：．
根据已知确定圆的圆心和半径，即可得圆的方程．
本题主要考查圆的标准方程，考查计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：山顶与山脚的温度差为，
因为每升高，气温降低，
所以山顶相对于山脚的高度为．
故选：．
求出温度差，利用从山脚起每升高降低，即可求得结论．
本题考查了函数模型的实际应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，，，
，，．，
．
故选：．
建立适当空间直角坐标系，利用异面直线求夹角公式，即可得出答案．
本题考查异面直线夹角余弦值的公式，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由题意得，，，则，故A正确；
的离心率，故B正确；
由双曲线的定义或，故C错误；
的渐近线方程为，即，故D错误．
故选：．
根据方程可得，，的值，结合选项，即可得出答案．
本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：函数，数列的通项公式为，
，
对于，数列的图象是取正整数时的图象上的对应点的坐标，
此数列图象不是二次函数的图象，故A错误；
对于，，，此数列是递减数列，故B正确；
对于，，，
，，，此数列是递减数列，
从第项往后各项均为负数，故C正确；
对于，，，
，，，此数列有一项为，故D错误．
故选：．
对于，数列的图象是取正整数时的图象上的对应点的坐标，不是二次函数的图象；对于，，，此数列是递减数列；对于，，，，从而由递减数列的性质得到从第项往后各项均为负数；对于，此数列有一项为．
本题考查命题真假的判断，考查数列的函数特性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆的切线方程，属于基础题．
讨论切线的斜率是否存在，然后结合直线与圆相切的性质可求．
【解答】
解：圆，圆心坐标为，半径为，
过点作圆的切线，
当切线的斜率不存在时，直线符合题意；
当切线的斜率存在时，可设切线方程为，即，
则，
解得，此时切线方程为，即，
故过点且与圆相切的直线方程为或．
故选AC．
12.【答案】
【解析】解：对于选顶，若，则抛物线：，的焦点为，
由已知条件得，直线的方程为，可得，，选项A正确；
对于选项B，若，则抛物线：，的焦点为，
由已知条件得，直线的方程为，可得，
，选项B不正确；
对于选项C，时，，，
又，平分，选项C正确；
对于选项D，若，则抛物线：，的焦点为，，
延长交直线于点，则，
由选顶可知，则，，三点共线，故D正确；
故选：．
运用数形结合的思想，将问题转化为解析几何问题，再结合抛物线的性质及几何图形特点逐项验证结果即可得出答案．
本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，在等差数列中，有，
又，则有，变形可得．
故答案为：．
根据题意，由等差数列的性质可得，变形可得答案．
本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的通项公式，属于基础题．
14.【答案】答案不唯一，满足的焦点在轴上的标准方程均可
【解析】解：设焦点在轴上的双曲线的标准方程为，，
该双曲线的渐近线方程为，
又该双曲线与直线没有交点，
，
，
取，，
则可得满足题意的一个双曲线方程为，
故答案为：答案不唯一，满足的焦点在轴上的标准方程均可．
设焦点在轴上的双曲线的标准方程为，，根据题意可得，再取一组值，即可得解．
本题考查双曲线的几何性质，不等式思想，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：设，，
因为为线段的中点，
所以直线斜率，，
即，，
因为，在椭圆上，
所以，两式相减得，
代入化简得，，
由题意知，，，所以化简得，
则，显然，椭圆的焦点位于轴，
所以椭圆的离心率．
故答案为：．
设，，结合题意得到，，再代入椭圆方程化简，结合椭圆离心率公式即可得到答案．
本题主要考查椭圆的性质，考查计算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由题意得，
故
，
故．
故答案为：．
根据空间向量基本定理得到，平方后，利用向量数量积公式得到．
本题考查空间向量的应用，属于基础题．
17.【答案】解：因为，．
所以直线的方程：
整理得；
因为边上高为，所以的斜率为，
又，所以的方程为，
整理得所求方程：．
【解析】利用两点式求直线方程；
由可求的斜率，利用点斜式求方程．
本题考查了直线方程的确定；用到了两点式、点斜式求直线方程．
18.【答案】解：设数列的公差为，
，，
，解得，
故；
，
令，即，解得，
故的最小值为．
【解析】根据已知条件，结合等差数列的性质，求出首项、公差，即可求解；
先求出，再令，即可求解．
本题主要考查等差数列的前项和公式，属于基础题．
19.【答案】解：Ⅰ证明：根据题意，圆，其圆心为，半径，
圆，其圆心为，半径，
圆心距，
由于，则圆和圆相交；
Ⅱ根据题意，联立两个圆的方程，有，即两圆公共弦的方程为，
点到的距离，
故公共弦的弦长．
【解析】Ⅰ分析两个圆的圆心和半径，由圆与圆的位置关系分析可得答案；
Ⅱ求出两个圆的公共弦所在直线的方程，由直线与圆的位置关系分析可得答案．
本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系，涉及圆的一般方程，属于基础题．
20.【答案】解：Ⅰ证明：，分别为，的中点，
，
又平面，平面，
平面；
Ⅱ已知，，又底面为正方形，
所以，
故DA、、两两互相垂直，
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
则，，，，，，
设平面的法向量为，则，可取，
设直线与平面所成角为，
则．
【解析】本题考查线面平行的判定，利用空间向量求解线面角，考查计算能力，属于基础题．
Ⅰ利用中位线的性质可得，由此即可得证；
Ⅱ建立空间直角坐标系，求出及平面的法向量，利用向量公式即可得解．
21.【答案】解：因为长轴是短轴的倍，
所以，
因为右焦点为，
所以，
又，
联立，
解得，
则椭圆的标准方程为；
不妨设，，
联立，消去并整理得，
解得或，
即，
此时，
易知点到直线的距离，
则的面积．
【解析】由题意，根据焦点坐标求得，根据长轴和短轴的对应关系，以及列方程，可求得，的值，进而求得椭圆的标准方程；
联立直线和椭圆的方程，求出，的坐标，得到，利用点到直线的距离公式求得点到直线的距离，由此求得的面积．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
22.【答案】解：直线的方程为，
由，得，
设，，解得，，
即，
所以．
由于直线过且与抛物线相交于，两点，
所以可设直线的方程为，
由，得，
，，，
由，得，
所以，由，解得或，
所以，
所以直线的方程为或，
即或．
【解析】根据条件求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，求得，两点的坐标，进而求得．
设出直线的方程并与抛物线方程联立，利用根与系数关系以及求得直线的方程．
本题考查直线与抛物线的位置关系，属中档题．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是( )
A. B. C. D.
2.已知直线：，则该直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
3.已知数列的前项和，，则( )
A. B. C. D.
4.若，，，且，，三点共线，则( )
A. B. C. D.
5.椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为( )
A. B. C. D.
6.设，，则以线段为直径的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
7.夏季高山上气温从山脚起每升高降低，已知山顶的气温是，山脚的气温是那么，此山相对于山脚的高度是( )
A. B. C. D.
8.如图，在正方体中，，分别为，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点是双曲线上任意一点，，是的左、右焦点，则下列结论正确的是( )
A. B. 的离心率为
C. D. 的渐近线方程为
10.已知函数，设数列的通项公式为，则此数列( )
A. 图象是二次函数的图象
B. 是递减数列
C. 从第项往后各项均为负数
D. 有两项为
11.过点且与圆相切的直线方程为( )
A. B.
C. D.
12.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点已知抛物线：，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则平分
D. 若，延长交直线于点，则，，三点共线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若在等差数列中，，，则 ______．
14.请写出一个焦点在轴上，且与直线没有交点的双曲线的标准方程： ．
15.斜率为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，则椭圆的离心率为______．
16.如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标为，，．
求直线的方程；
求边上高所在的直线方程．
18.本小题分
在等差数列中，，．
求数列的通项公式；
记为等差数列的前项和，求使不等式成立的的最小值．
19.本小题分
已知圆和圆．
Ⅰ求证：圆和圆相交；
Ⅱ求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，底面为正方形，、分别为，的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
21.本小题分
已知椭圆的长轴是短轴的倍，且右焦点为．
求椭圆的标准方程；
直线：交椭圆于，两点，求的面积．
22.本小题分
过点作直线与抛物线相交于，两点．
若直线的斜率是，求弦的长度；
若，求直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了投影向量的定义，属于基础题．
根据投影向量的定义即可得出正确的选项．
【解答】
解：，
在坐标平面上的投影向量是．
故本题选B．
2.【答案】
【解析】解：设该直线倾斜角为，，
由题意，可知直线的斜率，可得．
故选：．
求得直线的斜率，然后根据斜率与倾斜角的关系算出答案．
本题主要考查直线的方程、直线的斜率与倾斜角等知识，考查了概念的理解能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：数列的前项和，，
则．
故选：．
利用即可得出．
本题考查了数列前项和公式与通项公式之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，，且，，三点共线，
直线，的斜率存在且相等，
故，解得．
故选：．
由三点共线可得，直线，的斜率存在且相等，再结合直线的斜率公式，即可求解．
本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：椭圆，所以，，由椭圆的定义可知：
椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为：．
故选：．
直接利用椭圆的定义求解即可．
本题考查椭圆的基本性质，定义的应用，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题设，所求圆的圆心为，半径为，
所以以线段为直径的圆的方程是．
故选：．
根据已知确定圆的圆心和半径，即可得圆的方程．
本题主要考查圆的标准方程，考查计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：山顶与山脚的温度差为，
因为每升高，气温降低，
所以山顶相对于山脚的高度为．
故选：．
求出温度差，利用从山脚起每升高降低，即可求得结论．
本题考查了函数模型的实际应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，，，
，，．，
．
故选：．
建立适当空间直角坐标系，利用异面直线求夹角公式，即可得出答案．
本题考查异面直线夹角余弦值的公式，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由题意得，，，则，故A正确；
的离心率，故B正确；
由双曲线的定义或，故C错误；
的渐近线方程为，即，故D错误．
故选：．
根据方程可得，，的值，结合选项，即可得出答案．
本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：函数，数列的通项公式为，
，
对于，数列的图象是取正整数时的图象上的对应点的坐标，
此数列图象不是二次函数的图象，故A错误；
对于，，，此数列是递减数列，故B正确；
对于，，，
，，，此数列是递减数列，
从第项往后各项均为负数，故C正确；
对于，，，
，，，此数列有一项为，故D错误．
故选：．
对于，数列的图象是取正整数时的图象上的对应点的坐标，不是二次函数的图象；对于，，，此数列是递减数列；对于，，，，从而由递减数列的性质得到从第项往后各项均为负数；对于，此数列有一项为．
本题考查命题真假的判断，考查数列的函数特性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆的切线方程，属于基础题．
讨论切线的斜率是否存在，然后结合直线与圆相切的性质可求．
【解答】
解：圆，圆心坐标为，半径为，
过点作圆的切线，
当切线的斜率不存在时，直线符合题意；
当切线的斜率存在时，可设切线方程为，即，
则，
解得，此时切线方程为，即，
故过点且与圆相切的直线方程为或．
故选AC．
12.【答案】
【解析】解：对于选顶，若，则抛物线：，的焦点为，
由已知条件得，直线的方程为，可得，，选项A正确；
对于选项B，若，则抛物线：，的焦点为，
由已知条件得，直线的方程为，可得，
，选项B不正确；
对于选项C，时，，，
又，平分，选项C正确；
对于选项D，若，则抛物线：，的焦点为，，
延长交直线于点，则，
由选顶可知，则，，三点共线，故D正确；
故选：．
运用数形结合的思想，将问题转化为解析几何问题，再结合抛物线的性质及几何图形特点逐项验证结果即可得出答案．
本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，在等差数列中，有，
又，则有，变形可得．
故答案为：．
根据题意，由等差数列的性质可得，变形可得答案．
本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的通项公式，属于基础题．
14.【答案】答案不唯一，满足的焦点在轴上的标准方程均可
【解析】解：设焦点在轴上的双曲线的标准方程为，，
该双曲线的渐近线方程为，
又该双曲线与直线没有交点，
，
，
取，，
则可得满足题意的一个双曲线方程为，
故答案为：答案不唯一，满足的焦点在轴上的标准方程均可．
设焦点在轴上的双曲线的标准方程为，，根据题意可得，再取一组值，即可得解．
本题考查双曲线的几何性质，不等式思想，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：设，，
因为为线段的中点，
所以直线斜率，，
即，，
因为，在椭圆上，
所以，两式相减得，
代入化简得，，
由题意知，，，所以化简得，
则，显然，椭圆的焦点位于轴，
所以椭圆的离心率．
故答案为：．
设，，结合题意得到，，再代入椭圆方程化简，结合椭圆离心率公式即可得到答案．
本题主要考查椭圆的性质，考查计算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由题意得，
故
，
故．
故答案为：．
根据空间向量基本定理得到，平方后，利用向量数量积公式得到．
本题考查空间向量的应用，属于基础题．
17.【答案】解：因为，．
所以直线的方程：
整理得；
因为边上高为，所以的斜率为，
又，所以的方程为，
整理得所求方程：．
【解析】利用两点式求直线方程；
由可求的斜率，利用点斜式求方程．
本题考查了直线方程的确定；用到了两点式、点斜式求直线方程．
18.【答案】解：设数列的公差为，
，，
，解得，
故；
，
令，即，解得，
故的最小值为．
【解析】根据已知条件，结合等差数列的性质，求出首项、公差，即可求解；
先求出，再令，即可求解．
本题主要考查等差数列的前项和公式，属于基础题．
19.【答案】解：Ⅰ证明：根据题意，圆，其圆心为，半径，
圆，其圆心为，半径，
圆心距，
由于，则圆和圆相交；
Ⅱ根据题意，联立两个圆的方程，有，即两圆公共弦的方程为，
点到的距离，
故公共弦的弦长．
【解析】Ⅰ分析两个圆的圆心和半径，由圆与圆的位置关系分析可得答案；
Ⅱ求出两个圆的公共弦所在直线的方程，由直线与圆的位置关系分析可得答案．
本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系，涉及圆的一般方程，属于基础题．
20.【答案】解：Ⅰ证明：，分别为，的中点，
，
又平面，平面，
平面；
Ⅱ已知，，又底面为正方形，
所以，
故DA、、两两互相垂直，
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
则，，，，，，
设平面的法向量为，则，可取，
设直线与平面所成角为，
则．
【解析】本题考查线面平行的判定，利用空间向量求解线面角，考查计算能力，属于基础题．
Ⅰ利用中位线的性质可得，由此即可得证；
Ⅱ建立空间直角坐标系，求出及平面的法向量，利用向量公式即可得解．
21.【答案】解：因为长轴是短轴的倍，
所以，
因为右焦点为，
所以，
又，
联立，
解得，
则椭圆的标准方程为；
不妨设，，
联立，消去并整理得，
解得或，
即，
此时，
易知点到直线的距离，
则的面积．
【解析】由题意，根据焦点坐标求得，根据长轴和短轴的对应关系，以及列方程，可求得，的值，进而求得椭圆的标准方程；
联立直线和椭圆的方程，求出，的坐标，得到，利用点到直线的距离公式求得点到直线的距离，由此求得的面积．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
22.【答案】解：直线的方程为，
由，得，
设，，解得，，
即，
所以．
由于直线过且与抛物线相交于，两点，
所以可设直线的方程为，
由，得，
，，，
由，得，
所以，由，解得或，
所以，
所以直线的方程为或，
即或．
【解析】根据条件求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，求得，两点的坐标，进而求得．
设出直线的方程并与抛物线方程联立，利用根与系数关系以及求得直线的方程．
本题考查直线与抛物线的位置关系，属中档题．
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