北京市延庆区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷（含答案）

延庆区2023—2024学年第一学期期末试卷
高 一 数 学 2024.1
本试卷共4页，150分。考试时长120 分钟.
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共10 小题，每小题4分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1) 已知集合A=(-2,0), 集合B=[-1,2) , 则A∪B=
(A) [-1，0] (B) (-1,0) (C) (-2,2) (D) [-2,2]
(2) 当a>1时, 在同一坐标系中, 函数y= 与y=logax的图象可能是
(3) 下列函数中是奇函数且在(0，+∞)上单调递增的是
(A)y=
4) 向量=(2,1), =(1,x), 若⊥, 则
(C) x=2 (D) x=-2
的大小关系为
(A) a(6) 已知函数 则 的值为
(C) -2 (D) 2
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(7)甲、乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下，中间一码的双半表示零件个数的十位数，两边的数字状示零件个数的个位数，则下列结论正确的是
(A) 在这5天中，甲加工零件数的极差小于乙加工零件数的极差
(B) 在这5天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同
(C) 在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数
(D) 在这5天中，甲加工零件数的方签小于乙加工零件数的方差
(8)一个袋子中有大小和质地相同的4个球 其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机揽出2个球，每次摸出一个球，设事件S="第一次摸到红球"，T="第二次摸到红球"。R="两次都摸到红球"。G="两次都摸到绿球”。M=“两球颜色相同”。N=“两球颜色不同”。则下列说法错误的是
(A) M=(B)R与G互斥但不对立 (C) RUG=M (D)S与T相互独立
(9) 已知等边△ABC的边长为6, D在AC上且AD=2DC, E为线段AB上的动点, 求的取值范围
(D) [4,6]
(10) 假设有机体生存吋碳14的含量为。，那么有机体死亡x年后体内碳l4的含征少满足的关系为 (其中m ，a都是非零实数)。若测得死亡5730年后的古生物样品，体内碳14的含量为0.5，又测得死亡11460年后这类古生物样品。体内碳14的含量为0.25.如果测得某古生物样品碳14的含量为0.3，推测此古生物的死亡时间为(取
(A) 10550年 (B) 7550年 (C) 8550年 (D) 9550年
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第二部分 (非选择题 共110分)
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
(11) 函数 的定义域为 .
(13) 已知=(1,2), -=( -2, -2), 则|2|=
(14)甲同学进行投篮练习,每次投中的概率都是 连续投3次。每次投篮互不影响。则该同学恰好只有第3次战中的概率为 ：该同学至少两次投中的概率为 .
(15) 设a>0, 函数 给出下列四个结论：
①f(x)在区间(a-1,+∞)上单调递减:
②当f(x)存在最大值时，
③存在 ,使得|MN|<1:
④若存在两个不同的x，使得 则a的取值范围是
其中所有正确结论的序号是
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三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
(16) (木小题14分)
如图,在△ABC中, ,D为BC中点, E为AD上一点,且 BE的延长线与AC的交点为F.
(17) (本小题14分)
(Ⅱ) 从样本成绩优秀的[90,95), [95,100]两组学生中任意选取2人, 记为 [90,95)中的学生为(i=1,2…)。[95,100]中的学生为 ，求这2人来自同一组的概率：
(Ⅲ)从成绩在[80，85)的学生中任取3名学生记为A组。从成绩在[85，90)的学生它任取3名学生记为B组，这两组学生的得分记录如下：
A组: 82。83, a; B组: 8S。86。87.
写出a为何值时，A、B两组学生得分的方差相等(结论不要求证明).
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(18) (本小题13分)
已知函数①f(x)=log x ②f(x)=. 从这两个函数中选择一个、并完成以下问题.
(】) 求 的价：
(Ⅱ) 在x轴上取两点A(1,0)和B(8,0),设线段AB的中点为C,过点A,B,C分别作x轮的垂线，与函数f(x)的图象交于 线段 中点为M.
(i) 求
(jī) 判断 与 的大小。并说明理由.
(Ⅲ)石 对于 邵有 恒成立。马出 的取值范围(不要求计算过程).
(20) (本小题15分)
已知函数
(Ⅰ) 当m=0时, 若f(x)=-2, 求x的值:
(Ⅱ) 若f(x)是偶函数,求出m的值:
([1]) 当 时，讨论方程f(x)=b根的个数。并说明理由.
(21) (本小题14分)
已知集合A为非空数集。定义：
(Ⅰ) 若集合A={1,3} 直接写出集合S,T：
(Ⅱ) 若集合 且 求证：
(Ⅲ) 若集合. 记为集合A中元素的个数,求|A|的最大值.
(考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效)
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高一数学参考答案及评分标准 2024.1
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)
(1) C (2) B (3) A (4) A (5) D
(6) C (7) C (8) D (9) B (10) D
二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)
(11) [0,1) (12) 15 (13) 10
(注：第一空3分，第二空2分)
(15)②④ (注：选对一个得3分，全部正确的5分，有错误选项得0分)
三、解答题(共6小题，共85分)
(16)(本小题 14分)
解: ………………2分
………………5分
……10分
(Ⅲ) 设 则 …………11分
, …………12分
(17)(本小题 14分)
解：(Ⅰ) 成绩优秀的学生共有6人， ……2分
所以这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率为0.3. ……4分
(Ⅱ) [90,95)中有4人, [95,100]中有2人 ……6分
从样本成绩优秀的[90，95)，[95，100]两组学生中任意选取2人，其样本空间可记为：Ω={{a ,a },{a ,a },{a ,a },{a ,b },{a ,b },{a ,a },{a ,a },{a ,b },{a ,b },
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{a ,a },{a ,b },{a ,b },{a ,b },{a ,b },{b ,b }} 共包含15 个样本点. ……8分记A：两人来自同一组，则
A={{a ,a },{a ,a },{a ,a },{a ,a },{a ,a4},{a ,a },{b ,b }}共包含7个样本点, 9分
所以 ……11分
(Ⅲ)81或84 ……14分(对一个2分)
(18)(本小题13 分)
选择①
…3分
(Ⅱ) 线段AB的中点为C为 ……4分
A , B , C 分别为((1,0),(8,3), ……7分
线段 A B 中点M 为 ……8分
……9分
……11分
所以 ……12分
所以 即 ……13分
选择②
…3分
(Ⅱ) 线段AB的中点为C为 …4 分
A , B , C 分别为(1,1),(8,2), …7 分
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线段A B 中点M 为 …8 分
…9分
…11 分
…12 分
所以 即 …13 分
(19)(本小题 15 分)
(Ⅰ ) 当x∈[0，2]时，图像是二次函数的一部分，设解析式为 或 …1分(3分)
根据题意可知： 解得： 分
当x∈(2，+∞)时，图像是指数函数的一部分，设解析式为 f(x)=a ,(a>1) …5 分
根据题意可知： 所以a=2. …7 分
所以 …8 分
解得 …10分
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天 …
解得. …12分
综上，不等式f(x)>7的解集为 …13 分
(20)(本小题15分)
即: …6 分
所以
所以 …7分
(Ⅲ) 当 时, 由(Ⅱ) 可知
令
在(0,+∞)上任取(
因为 所以 分
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所以 即 在(0,+∞)单调递增 …9 分
所以 在(0,+∞)单调递减 …10 分
又因为 是偶函数, 所以在(-∞,0)单调递增 …11 分
当x=0时,
当b>-log 2时, 方程f(x)=b, 没有实数根. ……12分
当.b=-log 2时, 方程f(x)=b, 1个实数根. ……13分
当 b<-log 2时,
取
在 且f(x)在(0,+∞)单调递减…14 分
此时, 方程f(x)=b, 2个实数根. …15 分
(21)(本小题 14分)
解( Ⅰ ) 根据题意, 由A={1,3}, 则S={2,4,6}, T={0,2}; …………………4分
(Ⅱ) 由于集合 且T=A,
所以T中也只包含四个元素，因为
即 且 …………………6分
所以
所以 …………………8分
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(Ⅲ) 设 满足题意，其中
贝 2
∵S∩T= , |S∪T|=|S|+|T|≥3k-1, …………………10分
S∪T中最小的元素为0，最大的元素为2a ，
, …………………11分
设 A={m,m+1,m+2…,2024}, m∈ N
则S={2m,2m+1,2m+2…,4048}, T={0,1,2…,2024-m},
因为S∩T= , 可得2024-m<2m, 即 …………………12分
故m的最小值为675， 于是当m=675时，A中元素最多， ……………13分
即A={675,676,677…,2024}时满足题意,
综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350. …………………14分
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