安庆市部分中学2023-2024学年高一上学期期末考试
数学学科试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．＝（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，，则＝（ ）
A． B． C． D．
4．若，是函数两个相邻的最值点，则等于（ ）
A． B．2 C．1 D．
5．函数的图象大致形状是（ ）
A．B．C．D．
6．“关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，函数在区间上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若函数恰有8个不同零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，共5分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．下列说法不正确的是（ ）
A．命题：使得，则：，
B．若是奇函数，则一定有
C．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是
D．若的定义域为，则的定义域为
10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于对称
C．函数在的值域为
D．要得到函数的图象，可将函数的图象向左平移个单位
11．下列式子中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
12．已知和都是定义在上的函数，则（ ）
A．若，则的图象关于点中心对称
B．函数与的图象关于轴对称
C．若，则函数是周期函数，其中一个周期
D．若方程有实数解，则不可能是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知幂函数在区间上单增，则实数＝______．
14．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值(记为)也可以表示为，若，则的值等于______．
15．对于函数，若在其图象上存在两点关于原点对称，则称为“倒戈函数”，设函数是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是______．
16．对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当的定义域是时，的值域是，则称是该函数的“倍值区间”．若函数存在“倍值区间”，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．(本小题10分)
(1)求的值；
(2)已知，，求的值．
18．(本小题12分)
设函数．
(1)求函数的对称中心；
(2)若，且，求的值．
19．(本小题12分)
已知函数．
(1)判断在上的单调性，并用定义证明：
(2)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
20．(本小题12分)
某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯(米)的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌，如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度，，某人在扶梯上点处(异于点)观察广告牌的视角，，当人在点时，观测到视角，的正切值为，
(1)求扶梯的长；
(2)当某人在扶梯上观察广告牌的视角最大时，求的长．
21．(本小题12分)
设定义域为的奇函数，(其中为实数)．
(1)求的值；
(2)是否存在实数和，使不等式成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
22．(本小题12分)
设为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“函数”．
(1)若函数为“函数”，求实数的值；
(2)证明：函数为“函数”；
(3)若函数为“函数”，求实数的取值范围．2023-2024学年度第一学期高一年级期末考试
数学学科试卷
2024.1
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1． sin 600 ( )
A. 3
1 1 3
B. C. D.
2 2 2 2
【答案】A【解答】解： sin 600 sin(360 240 ) sin 240 sin(180 60 ) sin 60 3 ，故选： A.
2
2．函数 f (x) log2 (1 x)的定义域是( )
A． ( ,1) B． (0, ) C．(0,1) D． ( ,0]
1 x 0 1 x 0
【答案】D【详解】由 x 0log (1 x) 0，得 ，解得 ，所以函数的定义域为
( , 0] . 故选：D．
2 1 x 1
3．已知集合 A x Z 1 x 4 ,B x x2 4x 0 ，则 A B ( )
A. [0,4) B. 1,2,3 C. 0,1,2,3 D. 1,2,3,4
【答案】C【解答】解： A {x Z∣ 1 x 4} 1,0,1, 2,3 ,B x∣0 x 4 ，所以 A B 0,1,2,3 .故选：C.
x 4．若 1 ， x
3
2 是函数 f (x) sin x( 0)两个相邻的最值点，则 等于( )4 4
3 1
A. B. 2 C. 1 D.
2 2
3
【答案】B 【解答】解：由 x1 ， x2 是函数 f (x) sin x( 0) 两个相邻的最值点，4 4
T 3
，T , 2 2
2 4 4 2
x
5．函数 f x 1 e x cos x的图象大致形状是( )1 e
A. B.
C. D.
x
【答案】D 1 e【解答】解： f x x cos x，1 e
f ( x) 1 e
x x x
cos( x) e 1 cosx f (x) 1 e，由 f x cos x，可得函数定义域为： ,0 0,
1 e x ex 1 1 ex
f (x) A C x f 1 e
2
cos 函数 为奇函数，故排除 ， 选项，当 时， 02 2 2 21 e
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1
即在 x正半轴 f (x) 1 1 1 e
2 1
距离原点最近的零点为： x ，当 x 时， f 1 cos 0.2 2 2 2 21 e
故排除 B选项.故选：D.
6．“关于 x的不等式 ax2 2x 1 0对 x R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
1
A．a＞0 B．a＞1 C．0＜a＜ D．a＞2
2
【答案】A【详解】不等式 ax2 2x 1 0（ a R）恒成立，显然a 0不成立，
a 0
故应满足 ，解得 a 1，所以不等式 ax2 2x 1 0（ a R）恒成立的充要条件是 a 1，
Δ 4 4a 0
故选：A
7．已知 0，函数 f (x) 3sin ( x ) 2在区间 , 上单调递减，则 的取值范围是( )4 2
0, 1 1 3 1 5 A. B. 0,2 C. , 2 2 4 D. , 2 4
log (x 2), 2 x 0 2
8．已知函数 f (x) 2 ，若函数 g(x) [ f ( f (x))] (a 1) f ( f (x)) a(a R)恰
x2 2x 1, x 0
有 8个不同零点，则实数 a的取值范围是( )
A. (0,1) B. [0,1] C. (0, ) D. [0,+ )
【答案】A 【解答】解：由 g(x)=[f (f (x))]2 -(a+1) f (f (x))+a=0得[f (f (x))-1][f (f (x)-a]=0,
则 f ( f (x))=1或 f ( f (x))=a，
作出 f (x)的图象如图，
则若 f (x)=1，则 x=0或 x=2，设 t=f (x)，由 f ( f (x))=1得 f (t)=1，此时 t=0或 t=2，
当 t=0时， f (x)=t=0，有两个根，当 t=2时， f (x)=t=2，有 1 个根，则必须有 f ( f (x))=a， (a 1)有 5
个根，设 t=f (x)，由 f ( f (x))=a得 f (t)=a，若 a=0，由 f (t)=a=0得 t=-1，或 t=1， f (x)=-1有一个根，
f (x) 1有两个根，此时有 3个根，不满足条件．
若 a 1，由 f (t)=a得 t 2， f (x)=t 有一个根，不满足条件．
若 a 0，由 f (t)=a得 2 t -1， f (x)=t 有一个根，不满足条件．
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若 0 a 1，由 f (t)=a得 1 t1 0，或 0 t2 1或，1 t3 2，
当 1 t1 0时， f (x)=t1，有一个根，当 0 t2 1时， f (x)=t2，有 3个根，
当1 t3 2时， f (x)=t3，有一个根，此时有1+3+1=5个根，满足条件．
故 0 a 1，即实数 a的取值范围是 (0,1)，故选： A.
二、多选题：本题共 4小题，共 5分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．下列说法不正确的是( )
A．命题 p : x R使得 x 2 2x 3 0，则 p : x R, x2 2x 3 0
B．若 g x 是奇函数，则一定有 g 0 0
x2 ax 5 x 1
C．已知函数 f x a 在 R上是增函数，则实数 a的取值范围是 3, 1
x 1 x
1 3
D．若 f x 的定义域为 2,2 ，则 f 2x 1 的定义域为 , 2 2
【答案】ABC【解析】命题 p : x R使得 x 2 2x 3 0，则 p : x R, x2 2x 3 00，故 A不正确；当
g x 1是奇函数时， g 0 可能无意义，比如 g x ，故 B不正确；
x
a
1
2
因为 f x 是增函数，所以 a 0 ，解得 3≤ a≤ 2，故 C不正确；因为 f x 的定义域为 2,2 ，
1 a 5 a
1 3 1 3
所以 2 2x 1 2，解得 x ，即 f 2x 1 的定义域为 , ，故 D正确.故选：ABC.2 2 2 2
π
10．已知函数 f x Asin x A 0, 0,| | 的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
2
π
A．
3
1
B ．函数 f (x)的图象关于 , 0 对称
6
1 , 2C．函数 f (x) 在 的值域为[ 2, 3] 6 3
1
D．要得到函数 g x Acos x 的图象，可将函数 f (x)的图象向左平移 个单位
4
【答案】ACD【详解】如图所示：
T 1 1 1 2π
由图可知 A 2, ，又T ，所以T 1, 2π，所以
4 3 12 4
f x 2sin 2πx π 1 1 π ，又函数图象最高点为 , 2 ，所以 f 2sin 2，即 sin 1，
12 12 6 6
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π π
所以 2kπ,k Z
π
，解得 2kπ,k Z | | π
π
，由题意 ，所以只能 k 0, ，故 A选项正确；
6 2 3 2 3
f x 2sin 由 A选项分析可知 2πx
π
，而 x0 , 0 是 f x 2sin
π
2πx
的对称中心当且仅当
3 3
f x 2sin 2πx π 1 π π 10 0
0，但 f 2sin
3 0
，从而函数 f (x)的图象不关于 , 0 对称，
3 6 3 3 6
1 2 π 4π π 2π 5π 2π 3π
故 B选项错误；当 x , 时， 2πx , ， t 2πx , ，而函数 y 2sin t在 , 6 3 3 3 3 3 3 3 2
上
3π 5π 1 2 3
单调递减，在 , 上单调递增，所以当 x , 时，2 3 6 3 2 2 1 f x 2 3，所以函数 f (x) 2
1 , 2 π 1在 的值域为[ 2, 3]，故 C选项正确；若将函数 f x 2sin 2πx 的图象向左平移 个单位， 6 3 3 4
h x 2sin 2π x 1 π 2sin 2πx π π 则得到的新的函数解析式为
2cos
2πx π g x ，故
4 3 3 2 3
D选项正确.故选：ACD.
11．下列式子中最小值为 4的是( )
4
A sin 2 x B 2x 22 x． ．
sin 2 x
C．8 log2 (2x) log
x 1 1
2 D． 8 sin 2 x cos2 x
BCD 4 4【答案】 【详解】对于选项 A：因为 sin2x 0，则 sin2x 22 2 sin x 2 4，sin x sin x
2 4
当且仅当 sin x ，即 sinx 2时等号成立，
sin 2x
但 sinx 2，所以 sin2x
4
的最小值不为 4，故 A错误；
sin2x
对于选项 B：因为 2x 0, 22 x 0，则2x 22 x 2 2x 22 x 4，当且仅当 2x 22 x ，即 x 1时，等号成立，
所以 2x 22 x 的最小值为 4，故 B正确；对于选项 C：展开换元即可，正确；对于选项 D：因为 sin2x, cos2x 0，
1 1 sin2x cos2x 1 1 cos
2x sin2x cos2x sin2x
则 2 2 2 2 2 2 4，sin x cos x sin x cos2x sin2x cos2x sin2x cos2x
cos2x sin2x
当且仅当 ，即 tan x 1时，等号成立，故 D成立；
sin2x cos2x
故选：BCD.
12．已知 f (x)和 g (x)都是定义在 R上的函数，则( )
A. 若 f (x 1) f (1 x) 2，则 f (x)的图象关于点 (1,1)中心对称
B. 函数 y f (x 1) 与 y f (1 x)的图象关于 y轴对称
C. 若 g(x 1) g(x)，则函数 g (x)是周期函数，其中一个周期T 2
D. 若方程 x g[ f (x)] 0有实数解，则 f [g (x)]不可能是 x2 x 1
【答案】ACD 【解答】解：对于 A：若 f (x 1) f (1 x) 2
(x 1) (1 x)
，对称中心横坐标为 1，
2
2
纵坐标为 1，故对称中心的坐标为 (1,1)，A选项正确.对于 B：因为函数 f (x 1)的图象是 f (x)的图象
2
向右平移 1个单位得到的，因为 f (1 x) f [ (x 1)]，所以 f (1 x)的图象是 f ( x)的图象向右平移 1
个单位得到的；又因为 f (x)与 f ( x)的图象是关于 y轴对称，所以函数 y f (x 1)与 y f (1 x) 的图
象关于直线 x 1对称，B选项错误.对于 C：若 g(x 1) g(x)，则 g(x 2) g(x 1) g(x)，则函
数 g (x)是周期函数，其中一个周期T 2，C选项正确.对于 D：设 x0是方程 x g[ f (x)] 0的一个根，
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则 x0 g[ f (x0 )]，故 f (x0 ) f g[ f (x0 )] ，再令 t f (x0 )，则 t f [g(t)]，即方程 x f [g(x)]有解，
又方程 x x2 x 1无解，则 f [g (x)]不可能是 x2 x 1，D选项正确
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13．已知幂函数 f (x) (m 2 2m 2)x m 1 在区间 (0, )上单增，则实数m __________．
【答案】3【详解】由幂函数的定义知，m2 2m 2 1，即m2 2m 3 0，解得m 3或m 1，
当m 1时， f (x) x 2在区间 (0, )上单调递减，不符合题意，当m 3时，在 f (x) x2区间 (0, )上单
调递增，符合题意，所以m 3 .故答案为：3
14．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形，发现了黄金分割值约为 0.618，
m n
这一数值 (记为m)也可以表示为m 2sin18 .若m 2 n 4，则 的 值等于__________．
sin 63
【答案】2 2【解答】解：因为m 2sin18 ，m 2 n 4，所以 n 4 m 2 4 4sin 2 18 4 cos2 18 ，
m n 2sin18 2cos18 2 2 sin(18 45 )
所以 2 2.故答案为： 2 2.
sin 63 sin 63 sin 63
15．对于函数 f (x) ，若在其图象上存在两点关于原点对称，则称 f (x) 为“倒戈函数”，设函数
f x 3x tan x 2m 1 m R 是定义在 1,1 上的“倒戈函数”，则实数 m的取值范围是__________．
16．对于函数 f x ，如果存在区间 m,n ，同时满足下列条件：① f x 在 m,n 上是单调的；②当 f x 的
定义域是 m,n 时，f x 的值域是 3m,3n ，则称 m,n 是该函数的“倍值区间”．若函数 f x x 1 a存
在“倍值区间”，则 a的取值范围是__________．
【答案】
( 37 , 3]
12
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17． (本小题 10分 )
（1）求 (lg 2)2 lg 2 lg50 lg 25 31.5 612 3 的值；
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3
（2）已知 2cos2 3cos sin 3sin2 1 ， ,
2sin( ) 3sin
2
，求 2 的值． 4sin 9cos
【答案】解： ((12))(lg 2)2 lg 2 lg 50 lg 25 3 1.5 6 12 3
1 1 1 1
1
lg 2 lg 2 lg50 2lg5 33 2 3 36 23 32
1 1 1 1 1
2 lg 2 lg5 33 6 2 2 3 3
2 3 20 5. --------------------5 分
（2）因为 2cos2 3cos sin 3sin2 1，
所以 cos2 3cos sin 4sin2 0，即 cos sin cos 4sin 0.----------------7 分
因为 ( 3 , )，所以 cos 0 且 sin 0，因此 cos sin 0，
2
所以由 cos sin cos 4sin 0得 cos 4sin ，--------------------8 分
2sin ( ) 3sin ( )
因此 2 2sin 3cos 2sin 12sin 7 .--------------------10 分
4sin 9cos 4sin 9cos 4sin 36sin 20
18． (本小题 12分 )
2
设函数 f (x) cos(2x ) 2sin x.．
3
（1）求函数 f (x)的对称中心；
( , ) f ( ) 2（2）若 ，且 ，求 sin 2 .的值．
4 2 5
2
【答案】解： (Ⅰ)
f (x) cos(2x ) 2sin x
函数 3
1 cos2x 3 sin 2x 2 1 cos2 x
2 2 2
1 3
cos2x sin 2x 1
2 2
sin(2x ) 1
6 ，，--------------------4 分
令 2x k k ，故 x ，，--------------------5 分
6 2 12
所以函数 f (x)的对称中心 k ；，--------------------6 分( ,1)(k Z )
2 12
(Ⅱ)因为 (
, ) 2 7 ，可得 2 ( , )，
4 2 6 3 6
又 f ( ) sin(2
) 1 2 ，
6 5
3 2
可得 sin(2 ) 0，可得 2 ( , )，
6 5 6 3
cos(2 ) 1 sin2 (2 ) 4 ，--------------------10 分
6 6 5
sin 2 sin[(2 ) ] sin(2 ) cos cos(2 ) sin 3 3 4 1 4 3 3所以
6 6 ( ) .6 6 6 6 5 2 5 2 10
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--------------------12 分
19． (本小题 12分 )
已知函数 f (x)
x
2 ．x 4
（1）判断 f (x)在 [ 2, 2]上的单调性，并用定义证明；
（2）设 g (x) kx2 2kx 1(k 0) ，若对任意的 x1 [ 2,2]，总存在 x2 [ 1,2]，使得 f (x1) g(x2 )
成立，求实数 k的取值范围．
【答案】
((21) f (x)在 [ 2, 2]上单调递增，--------------------1 分
证明如下：任取 2 x ，1 x2 2
x x x 2 2f (x ) f (x ) 1 2 1(x2 4) x2 (x1 4) (x1x2 4)(x2 x1)1 2 x2 4 x2 4 (x2 4)(x2
，其中 x x 4 0， x x 0，
1 2 1 2 4) (x
2 4)(x21 2 4)
1 2 2 1
所以 f (x1) f (x2 ) 0，即 f (x1) f (x2 )，故 f (x)在 [ 2, 2]上单调递增；----------------6 分
(2)由于对任意的 x1 [ 2,2]，总存在 x2 [ 1,2]，使得 f (x1) g(x2 )成立，
20． (本小题 12分 )
某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯 AC(AC 5米 )的 C点的上方悬挂竖直高度为 5 米的广告牌
DE.如图所示，广告牌底部点 E正好为 DC的中点，电梯 AC的坡度 CAB 30 .某人在扶梯上点 P处 (
异于点C)观察广告牌的视角 DPE .当人在 A 3点时，观测到视角 DAE 的正切值为 .．
9
（1）求扶梯 AC的长；
（2）当某人在扶梯上观察广告牌的视角 最大时，求 CP的长．
【答案】解： (1)设 BC a，由 CAB 30 ，则 AB 3a，
tan DAB 10 a 5 a ， tan EAB ，
a a -------2 分3 3
tan DAE tan ( DAB EAB)
10 a 5 a
3a 3a 5 3a 3
1 10 a 5 a
2 ，
4a 15a 50 9
3a 3a
a 5解得 a 5或 ，
2
由于 AC 5所以 a 5，所以 AC 2a 10.
所以扶梯 AC的长为 10米;------------------5 分
(2)过 P作 PM BD于 M，
令CM x ，所以 PM 3x ，CP 2x ，
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tan DPM 10 x ， tan EPM
5 x
，-------7 分
3x 3x
tan tan ( DPM EPM )
10 x 5 x
3x 3x 5 3x
10 x 5 x 2 -------9 分1 4x 15x 50
3x 3x
5 3 5 3 5 3
4x 50 15 50 20 2 15 ，-------11 分
x 2 4x 15x
4x 50当且仅当 ，即 x 5 2 时，x 2
即CP 5 2 时 tan 取得最大值.
所以，当CP 5 2m时，视角 最大.-------12 分
21． (本小题 12分 )
R f (x) 2 a 2
x
设定义域为 的奇函数 x 1 ,(其中 a为实数)．2 2a
（1）求 的值;
（2）是否存在实数 和 ,使不等式 成立 若存在,求出实数 的取值范围;若不
存在,请说明理由．
【解析】(1)由 是 上的奇函数, ,即 ,从而
,
当 时, ,
即 为奇函数,所以 满足题意.-------4 分
(2)存在实数 ,使不等式 成立.
由 为奇函数,则 .
由 为 上的减函数,得 ,即 .-------6 分
令 ,
则依题意只需 ,易得 的对称轴是 ,
①当 即 时, 在 上单减, ,即 , .--8 分
②当 即 时, 在 上单减,在 上单
增, .
解得: 或 , .------10 分
③当 即 时, 在 上单增, ,即
, .------11 分
综上可知:存在实数 ,使不等式 成立------12 分
（备注：此题也可以用分离参数法，请酌情给分）
22． (本小题 12分 )
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设m为给定的实常数，若函数 y f (x)在其定义域内存在实数 x0，使得 f (x0 m) f (x0 ) f (m)成立，则
称函数 f (x)为“G(m)函数”．
（1）若函数 f (x) 2x为“G(2)函数”，求实数 x0的值；
（2）证明：函数 h(x) 2x x2为“G(1)函数”；
a
（3）若函数 f (x) lg G(1) a
x2
为“ 函数”，求实数 的取值范围．
1
【详解】解：（1）由 f (x) 2x为“G(2)函数”，得 f (x0 2) f (x0 ) f (2)
即 2x0 2 2x0 2 2
4
，解得 x0 log2 ，故实数 x0的值为 log
4
2 ；3 -------3 分3
x
（2）由 即 即 2 2x 2 0 -------4 分
记 g(x) 2x 2x 2， , g(2) 6 ,
所以 2x 2x 2 0有解
h(x) 2x函数 x2为“G(1)函数”-------7 分
a
（3）由函数 f (x) lg 2 为“G(1)函数”可知，存在实数 x ，x 1 0
a a a
使得 f (x0 1) f (x0 ) f (1)， lg lg lg(x0 1)
2 1 x20 1 2
，
a a 2
即 ；
(x 1)2 1 2(x 2 1) -------8 分0 0
a
由 2 0，得 a 0
2
， 整理得 (a 2)x 2ax
x 1 0 0
2a 2 0 .
1
① 当a 2时， x0 ，符合题意；-------9 分2
② 当 a 2时，由 4a2 4(a 2)(2a 2) 0 ，即 a2 6a 4 0，
解得3 5 a 3 5且 a 2；
综上，实数 a的取值范围是 [3 5,3 5]；-------12 分
其实还有个第四问，仅供讲评试卷时参考：（4）已知 f (x) x b (b R )为“G(0)函数”，设 g(x) x | x 4 |.
g(x1) g(x2)
若对任意的 x1, x2 [0, t]，当 x1 x2 时，都有 2f (x ) f (x ) 成立，求实数
t的最大值．
1 2
（4）由 f (x) x b为“G(0)函数”，得 f (x0 0) f (x0) f (0) ，
即 f (0) 0，从而b 0， f (x) x，
g(x1) g(x2) 2 g(x1) g(x2 )不妨设 x1 x2 ，则由 2f (x1) f (x
，即
2) x1 x
，
2
得 g(x1) 2x1 g(x2) 2x2 ，
令 F (x) g(x) 2x，则 F (x)在区间[0, t]上单调递增，
2
F x x x x x 6x, x 4又 ( ) 4 2 ，
2x x
2, x 4
如图，可知0 t 1，故实数 t的最大值为 1.
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