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2024年广东省九年级中考数学仿真模拟训练卷（解析版）
满分120分，考试用时90分钟．
选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1 . 2024的倒数是（ ）
A． B．2024 C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了倒数，解题的关键是熟练掌握倒数的定义，“乘积为1的两个数互为倒数”．
【详解】解：2024的倒数．
故选：A．
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意．
故选：C．
3 .港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，全长约55000米，
把55000用科学记数法表示为（ ）
A．55×103 B．5.5×104 C．5.5×105 D．0.55×105
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】55000是5位整数，小数点向左移动4位后所得的数即可满足科学记数法的要求，由此可知10的指数为4，
所以，55000用科学记数法表示为5.5×104，
故选B．
4 . 如图．直线，将一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直线，上，
如果．那么度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】C
【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，过E作EF∥直线a，
则EF∥直线b，
∴∠3=∠1，∠4=∠2=20°，
∴∠1=45°∠2=25°；
故选：C．
5. 某语文教师调查了本班10名学生平均每天的课外阅读时间，统计结果如下表所示：
课外阅读时间（小时） 0.5 1 1.5 2
人数 2 3 4 1
那么这10名学生平均每天的课外阅读时间的平均数和众数分别是（ ）
A．1.2和1.5 B．1.2和4 C．1.25和1.5 D．1.25 和4
【答案】A
【分析】根据平均数、众数的计算方法求出结果即可．
【详解】解：10名学生的每天阅读时间的平均数为；
学生平均每天阅读时间出现次数最多的是1.5小时，共出现4次，因此众数是1.5；
故选：A．
如图，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，
已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求得AC，再说明△ABE∽△ACD，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可．
【详解】解：∵，
∴AC=1.2m+12.8m=14m
∵标杆和建筑物CD均垂直于地面
∴BE//CD
∴△ABE∽△ACD
∴,即,解得CD=17.5m．
故答案为A．
7 . 若点，，都在反比例函数的图象上，
则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求出，，的值，即可得出结论．
【详解】解：，，都在反比例函数的图象上，
∴，，．
∴．
故选C．
8 .如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆内接四边形性质：对角互补可知，从而由得到，再根据圆周角定理即可得到．
【详解】解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
故选：D．
9 . 如图，在中，，以点B为圆心任意长为半径画弧，
分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O，
连接，并延长交于点D，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】证，再证，得则，则点D是的黄金分割点，求出的长，即可求解．
【详解】解：，
，
由题意得：平分，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D是的黄金分割点，，
，，
，
．
故选：B．
10 . 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：
①； ②； ③；
④ ⑤（m为实数）；⑥一元二次方程有两个实数根．
其中错误结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：由抛物线可知：，，
对称轴，
，
∴，故①正确；
由对称轴可知：，
，
时，有，
，
，故②正确；
关于的对称点为，
时，，故③正确；
抛物线与x轴有两个交点，
，即，故④正确；
当时，y的最小值为，
时，，
，即，故⑤错误；
的最小值为负数，
二次函数的图象与直线的图象有两个交点，
一元二次方程有两个实数根，故⑥正确；
错误的有⑤，
故选：A．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 因式分解： ．
【答案】
【分析】直接利用平方差公式分解即可得．
【详解】解：原式．
故答案为：．
12.在一个不透明的布袋中，有红球、白球共20个，它们除颜色外其他完全相同．
小明通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，
则随机从口袋中摸出一个球是红球的概率是 ．
【答案】25%
【分析】根据频率与概率的关系解答．
【详解】解：根据频率与概率的关系可得所求概率即为25%，
故答案为：25% ．
13..分式方程＝的解是 ．
【答案】x＝－6
【分析】去分母后化为整式方程求解后检验即可．
【详解】方程两边同时乘以x（x－3）得：
3x=2(x－3)
3x－2x=－6
x=－6
检验：当x=－6时，x（x－3）≠0
所以x=－6是原分式方程的解．
故答案为： x=－6
14 . 如图，在中，，，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点M、N；
②分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；
③作射线，交于点D．
若，则的长为 ．
【答案】
【分析】过D点作DH⊥AB于H点，由题中作法得平分，根据得，根据得，在中，根据勾股定理得，
根据得，则，进行计算即可得．
【详解】解：如图，过D点作DH⊥AB于H点，
由题中作法得平分，
∵
∴
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
故答案为：．
15 . 如图，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处．
已知，，则 ．
【答案】6
【分析】由折叠可知，，进而得到，由同角的余角相等可得，则，在中，，以此即可求解．
【详解】解：四边形为矩形，
，，，
根据折叠的性质可得，，，
，
，
，
，
，
在中，，即，
解得：．
故答案为：6．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．
16. （1）计算：－tan60°；
（2）化简：．
【答案】（1）-2；（2）
【分析】（1）先化简二次根式，绝对值，计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，再合并即可；
（2）先计算括号内的分式的减法，再把除法转化为乘法运算，约分后可得结果．
【详解】解：（1）－tan60°
=2+1－－3－
=－2；
（2）
．
如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），
其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．
可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，
求此时点与桌面的距离．（结果精确到，取1.732）
【答案】
【分析】过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，
分别在和中，利用锐角三角函数的知识求出和的长，再由矩形的判定和性质得到，最后根据线段的和差计算出的长，问题得解．
【详解】过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，
在中，，，
∵
∴(cm)，
在中，，，
∵，
∴(cm)，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴(cm)．
答：点与桌面的距离约为．
18 . 某小区为了绿化环境，分两次购买A，B两种树苗，第一次购买A种树苗10棵，B种树苗20棵，共花费600元；第二次购买A种树苗25棵，B种树苗10棵，共花费1100元．（两次购买的A，B两种树苗各自的单价均不变）
(1)A，B两种树苗每棵的单价分别是多少元？
(2)若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍．求W与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．
【答案】(1)A种树苗每棵的价格40元，B种树苗每棵的价格10元
(2)W＝30t+420（t≥14），购进A种树苗的数量为14棵、B种28棵，费用最省；最省费用是840元
【分析】（1）设A种树苗每棵的价格x元，B种树苗每棵的价格y元，根据第一次购买A种树苗10棵，B种树苗20棵，共花费600元；第二次购买A种树苗25棵，B种树苗10棵，共花费1100元；列出方程组，即可解答．
（2）设A种树苗的数量为t棵，则B种树苗的数量为（42-t）棵，根据B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍，得出t的范围，设总费用为W元，根据总费用=两种树苗的费用之和建立函数关系式，由一次函数的性质就可以求出结论．
【详解】（1）解：（1）设A种树苗每棵的价格x元，B种树苗每棵的价格y元，根据题意得：
，
解得，
答：A种树苗每棵的价格40元，B种树苗每棵的价格10元；
（2）解：（2）设A种树苗的数量为t棵，则B种树苗的数量为（42﹣t）棵，
∵B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍，
∴42﹣t≤2t，
解得：t≥14，
∵t是正整数，
∴t最小值＝14，
设购买树苗总费用为W＝40t+10（42﹣t）＝30t+420，
∵k＞0，
∴W随t的减小而减小，
当t＝14时，W最小值＝30×14+420＝840（元）．
答：购进A种树苗的数量为14棵、B种28棵，费用最省；最省费用是840元．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19 .解不等式组：，并求出它的所有整数解的和．
【答案】，0
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，
找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解的和即可．
【详解】
解：不等式组，
由①得，
由②得：，
不等式组的解集为，即整数解为，0，1，
则整数解的和为．
20. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了_______人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为_______；
（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“_______”；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【答案】（1）200、81°；（2）补图见解析；（3）
【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“支付宝”人数所占比例即可得；
（2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）本次活动调查的总人数为（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）=200人，
则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×=81°，
故答案为200、81°；
（2）微信人数为200×30%=60人，银行卡人数为200×15%=30人，
补全图形如下：
由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”，
故答案为微信；
（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，
画树状图如下：
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为=．
21. 如图，为的直径，C为上的一点，AD与过点C的直线互相垂直，垂足为D，AC平分．
（1）求证：DC为的切线；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）详见解析；（2）2
【分析】（1）连接OC，利用角平分线的性质及同圆半径相等的性质求出∠DAC=∠OCA，得到AD∥OC，即可得到OC⊥CD得到结论；
（2）连接BC，先求出，得到∠CAB=∠DAC=30°，AC=2CD=，再根据为的直径得到∠ACB=90°，再利用三角函数求出AB.
【详解】（1）连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∴∠ADC+∠OCD=180°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∴DC为的切线；
（2）连接BC，
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，，
∴，
∴∠DAC=30°，
∴∠CAB=∠DAC=30°，AC=2CD=，
∵AB是的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=，
∴的半径为2.
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22 综合探究
在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE，点E在△ABC的内部，
连接EC，EB和ED，设EC＝k BD（k≠0）．
（1）当∠ABC＝∠ADE＝60°时，如图1，请求出k值，并给予证明；
（2）当∠ABC＝∠ADE＝90°时：
①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由；
②如图3，当D，E，C三点共线，且E为DC中点时，请求出tan∠EAC的值．
【答案】（1）k＝1，理由见解析；（2）①k值发生变化，k＝，理由见解析；②tan∠EAC＝．
【分析】（1）根据题意得到△ABC和△ADE都是等边三角形，证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质解答；
（2）①根据等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质计算；
②作EF⊥AC于F，设AD＝DE＝a，证明△CFE∽△CAD，根据相似三角形的性质求出EF，根据勾股定理求出AF，根据正切的定义计算即可．
【详解】（1）k＝1，
理由如下：如图1，∵∠ABC＝∠ADE＝60°，BA＝BC，DA＝DE，
∴△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS）
∴EC＝DB，即k＝1；
（2）①k值发生变化，k＝，
∵∠ABC＝∠ADE＝90°，BA＝BC，DA＝DE，
∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴，，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴，∠DAB＝∠EAC，
∴△EAC∽△DAB，
∴，即EC＝BD，
∴k＝；
②作EF⊥AC于F，
设AD＝DE＝a，则AE＝a，
∵点E为DC中点，
∴CD＝2a，
由勾股定理得，AC＝，
∵∠CFE＝∠CDA＝90°，∠FCE＝∠DCA，
∴△CFE∽△CAD，
∴，即，
解得，EF＝，
∴AF＝，
则tan∠EAC＝．
23 .综合运用
如图，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中A(-3,-4)，B(0,-1)．
(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值．
(3)在二次函数的对称轴上找一点C，使得△ABC是等腰三角形，求满足条件的点C的坐标．
【答案】(1)；(2)；(3)C点坐标为，，，，
【分析】(1)直接把A、B坐标代入抛物线解析式求解即可；
(2)先求出直线AB的解析式为y=x-1，设P(a，a2+4a-1)，则Q(a，a-1)，PQ=-a2-3a，可得，利用二次函数的性质求解即可；
(3)分当AB=BC时，当AB=AC时，当BC=AC时，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：(1)将A(-3，-4)，B(0，-1)代入y=x2+bx+c，
得，
解得，
∴抛物线解析式为y=x2+4x-1；
(2)设直线AB的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线AB的解析式为y=x-1，
设P(a，a2+4a-1)，则Q(a，a-1)，
∴PQ=-a2-3a，
∴，
∵，
∴当a=时，△PAB的面积有最大值；
(3)∵抛物线解析式为y=x2+4x-1，
∴抛物线的对称轴为，
设点C(-2，y)，
∵B(0，-1)，A(-3，-4)，
∴AB2=32+32=18，BC2=22+(y+1)2，AC2=12+(y+4)2，
①当AB=BC时，
∴22+(y+1)2=18，
解得，
∴，；
②当AB=AC时，
∴12+(y+4)2=18，
解得，
∴，；
③当BC=AC时，
∴，
解得，
∴；
综上所述：C点坐标为，，，，．
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满分120分，考试用时90分钟．
选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1 . 2024的倒数是（ ）
A． B．2024 C． D．
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3 .港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，全长约55000米，
把55000用科学记数法表示为（ ）
A．55×103 B．5.5×104 C．5.5×105 D．0.55×105
4 . 如图．直线，将一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直线，上，
如果．那么度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
5. 某语文教师调查了本班10名学生平均每天的课外阅读时间，统计结果如下表所示：
课外阅读时间（小时） 0.5 1 1.5 2
人数 2 3 4 1
那么这10名学生平均每天的课外阅读时间的平均数和众数分别是（ ）
A．1.2和1.5 B．1.2和4 C．1.25和1.5 D．1.25 和4
如图，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，
已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（ ）
A． B． C． D．
7 . 若点，，都在反比例函数的图象上，
则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8 .如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
9 . 如图，在中，，以点B为圆心任意长为半径画弧，
分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O，
连接，并延长交于点D，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10 . 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：
①； ②； ③；
④ ⑤（m为实数）；⑥一元二次方程有两个实数根．
其中错误结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 因式分解： ．
12.在一个不透明的布袋中，有红球、白球共20个，它们除颜色外其他完全相同．
小明通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，
则随机从口袋中摸出一个球是红球的概率是 ．
13.分式方程＝的解是 ．
14 . 如图，在中，，，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点M、N；
②分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；
③作射线，交于点D．
若，则的长为 ．
15 . 如图，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处．
已知，，则 ．
解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．
16. （1）计算：－tan60°；
（2）化简：．
如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），
其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．
可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，
求此时点与桌面的距离．（结果精确到，取1.732）
18 . 某小区为了绿化环境，分两次购买A，B两种树苗，第一次购买A种树苗10棵，B种树苗20棵，共花费600元；第二次购买A种树苗25棵，B种树苗10棵，共花费1100元．（两次购买的A，B两种树苗各自的单价均不变）
(1)A，B两种树苗每棵的单价分别是多少元？
(2)若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍．求W与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．
解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19 .解不等式组：，并求出它的所有整数解的和．
20. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了_______人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为_______；
（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“_______”；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
21. 如图，为的直径，C为上的一点，AD与过点C的直线互相垂直，垂足为D，AC平分．
（1）求证：DC为的切线；
（2）若，求的半径．
解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22 综合探究
在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE，点E在△ABC的内部，
连接EC，EB和ED，设EC＝k BD（k≠0）．
（1）当∠ABC＝∠ADE＝60°时，如图1，请求出k值，并给予证明；
（2）当∠ABC＝∠ADE＝90°时：
①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由；
②如图3，当D，E，C三点共线，且E为DC中点时，请求出tan∠EAC的值．
23 .综合运用
如图，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中A(-3,-4)，B(0,-1)．
(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值．
(3)在二次函数的对称轴上找一点C，使得△ABC是等腰三角形，求满足条件的点C的坐标．
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