(共22张PPT)
4.2.1 公因式为单项式的因式分解
八年级下
北师版
1.能准确找出各项多项式的单项式公因式；
2.能运用提公因式法进行因式分解.
学习目标
难点
重点
m
m
m
m
还记得我们上节课做的拼图吗？写出相应的关系式.
认真观察等式两边各有什么特点？
________________ = ____________
am+bm+cm
(a+b+c)m
新课引入
多项式ma+mb+mc有哪几项？
每一项的因式都分别有哪些？
这些项中有没有公共的因式，若有，公共的因式是什么？
三项：ma，mb，mc
依次为 m，a 和 m，b 和 m，c
有，公共的因式为m
探究
新知学习
归纳
公因式 m
多项式各项都含有的相同因式 ， 叫做这个多项式的公因式.
am+bm+cm
相同的因式 m
议一议
（1）多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？
2x2 + 6x3
系数的
最大公因数
2
x
相同
字母
字母的
最小指数
2
多项式2x2+6x3的公因式是2x2
思考
多项式中的公因式是如何确定的？
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母：字母取多项式各项中都有的相同的字母.
（2）你能尝试将多项式2x2y+6x3y2因式分解吗？
议一议
2x2+6x3
=2x2 · 1+2x2 · 3x
=2x2 （1+3x）
归纳
提公因式法：
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
提公因式法因式分解的步骤：
第一步，找出公因式；
第二步，提取公因式；
第三步，将多项式分解为两个因式的积.
归纳
(3)提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系？
提公因式法与单项式乘多项式是互逆关系.
逆用乘法分配律
议一议
例1 将下列各式分解因式：
（1） 3x+x3
解：原式 = x · 3 + x · x2
= x(3 + x2)
（2）7x3 - 21x2
解：原式 = 7x2 · x - 7x2 · 3
= 7x2(x-3)
x
x2
注意：公因式要提尽.
（3）8a3b2 -12ab3c+ab.
解：8a b -12ab c+ab
= ab·8a b- ab·12b c +ab·1
= ab(8a b -12b c+1).
a
b
注意：当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.
（4） – 24x3 –12x2 +28x
解：原式= - (24x3 + 12x2 - 28x)
= - (4x · 6x2 + 4x · 3x - 4x · 7)
= - 4x( 6x2 + 3x - 7)
-4
x
当多项式第一项系数是负数，通常先提出“－”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号.
用提公因式法分解因式应注意的问题：
归纳
（1）多项式是几项，提公因式后也剩几项.
（2）当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括
号内第一项的系数变为正数，注意括号内各项都要变号.
例2 已知，求的值.
解：
∵
∴原式=28.
1.把下列各式因式分解
（1）3x+x3 （2）7x3 - 21x2 （3）-4x3+12x2 - 28x
=x(3+x2)
=7x2(x-3)
（4）ma+mb （5）5y3 + 20y2 （5）6x - 9xy （7）a2b - 5ab
（8）4m3 - 6m2 （9）a2b - 5ab+9b （10）-a2+ab - ac（11）-2x3+4x2 - 6x
=-4x(x2-3x+7)
=m(a+b)
=5y2(y+4)
=3x(2-3y)
=ab(a-5)
=2m2(2m-3)
=b(a2-5a+9)
=-a(a-b+c)
=-2x(x2-2x+3)
随堂练习
2.把a2－2a分解因式，正确的是( )
A．a(a－2)
B．a(a＋2)
C．a(a2－2)
D．a(2－a)
A
3. 计算（ ）
A. B. C. D.
D
4. 肯定能被（ ）整除.
A. 79 B.80 C.82 D.83
B
5.如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是( )
A．12(m－1)
B．4m＋8( m－2)
C．12( m－2)＋8
D．12m－16
A
6.已知: 2x+y=4，xy=3，求代数式2x2y+xy2的值.
解：2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 ×4=12.
课堂小结
公因式为单项式的因式分解
确定公因式的方法
注意
定系数，定字母，定指数
一找； 二提； 三分解.
提公因式法的步骤
1、因式分解要彻底；
2、不要漏项；
3、提取“-”号要变号.(共16张PPT)
4.2.2 公因式为多项式的
因式分解
八年级下
北师版
1.能进一步准确找出多项式各项的公因式；
2.能运用提公因式法进行因式分解.
学习目标
难点
重点
请回顾下什么是公因式？运用提公因式法进行因式分解的步骤是什么？
多项式各项都含有的相同因式 ， 叫做这个多项式的公因式.
提公因式法因式分解的步骤：
第一步，找出公因式；
第二步，提取公因式，
第三步，将多项式分解为两个因式的积.
新课引入
1.因式分解：
（1）多项式的公因式是什么？
（2）如何将多项式因式分解？
整体思想
新知学习
探究
可将看做整体.
分析：设，则原式变形为，
∴ ，
即
多项式的公因式是什么？
2.因式分解y(x+1)+y (x+1) .
解：（2）原式=y(x+1)(1+xy+y)
公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式，单项式与多项式的积.
y
x+1
例 把下列各式因式分解
（1）a(x-y)+b(y-x)； （2）6(m-n) -12(n-m) .
解：（1）a(x-y)+b(y-x)
= a(x-y)-b(x-y)
= (a-b)(x-y)
解：（2）6(m-n) -12(n-m)
=6(m-n) [(m-n) -2]
=6(m-n) (m-n-2)
请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”，使等式成立：
（1）2-a = ___(a-2); （2）y-x=___(x-y);
（3）b+a =___(a+b); （4）(b-a)2=___(a-b)2;
（5）-m-n=___(m+n);（6）-s2+t2=___(s2-t2).
-
-
+
+
-
-
做一做
归纳
（1）a-b与b-a互为相反数.
（2）a+b与-a-b互为相反数.
(a-b) =(b-a) （n是偶数）
(a-b) =-(b-a) （n是奇数）
(-a-b) =(a+b) （n是偶数）
(-a-b) =-(a+b) （n是奇数）
（1）x(a+b)+y(a+b)
（2）3a(x-y)-(x-y)
解：（1）x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)
解：（2）3a(x-y)-(x-y) =(x-y)(3a-1)
1.把下列各式因式分解
随堂练习
（3）6(p+q) -12(q+p)； （4）a(m-2)+b(2-m).
解：（3）6(p+q) -12(q+p)
= 6(p+q) -12(p+q)
= 6(p+q)(p+q-2)
解：（4）a(m-2)+b(2-m)
= a(m-2)-b(m-2)
= (m-2)(a-b)
（5）2(y-x) +3(x-y)； （6）mn(m-n)-n(n-m) .
解：（5）2(y-x) +3(x-y)；
= 2(x-y) +3(x-y)
=(x-y)(2x-2y+3)
解：（6）mn(m-n)-n(n-m)
= mn(m-n)-n(m-n)
= (m-n)(mn-mn+n )
= n (m-n)
2.因式分解：x(x－2)－x＋2＝_______________.
(x－2)(x－1)
3.把多项式（x+2）（x-2）+（x-2）提取公因式（x-2）后，余下的部分是（ ）
A．x+1 B．2x
C．x+2 D．x+3
D
4.先因式分解，再计算求值：
4x(m-2)-3x(m-2)2，其中x=1.5，m=6
解：4x(m-2)-3x(m-2)2
= x(m-2)[4-3(m-2)]
= x(m-2)(10-3m)
将x=1.5，m=6代入x(m-2)(10-3m) 中，得
1.5×(6-2)(10-3×6)=-48
5.观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2；
…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，
若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是( )
A．2S2－S B．2S2＋S
C．2S2－2S D．2S2－2S－2
【分析】∵2100＝S，
∴2100＋2101＋2102＋…＋2199＋2200
＝S＋2S＋22S＋…＋299S＋2100S
＝S(1＋2＋22＋…＋299＋2100)
＝S(1＋2100－2＋2100)＝S(2S－1)＝2S2－S
【答案】A
提公因式法：
公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式，单项式与多项式的积.
（1）a-b与b-a互为相反数.
（2）a+b与-a-b互为相反数.
(a-b) =(b-a) （n是偶数） (a-b) =-(b-a) （n是奇数）
(-a-b) =(a+b) （n是偶数） (-a-b) =-(a+b) （n是奇数）
当公因式为多项式时：
课堂小结
