(共18张PPT)
4.3.1 用平方差公式
因式分解
八年级下
北师版
1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．
2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．
学习目标
难点
重点
a米
b米
b米
a米
(a-b)
如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能发现什么？
a2- b2=(a+b)(a-b)
新课引入
分解因式，填空并观察下列式子有什么共同特征？
（x+5）（x-5）
（3x+y）（3x-y）
（3m+2n）（3m–2n）
等式左边是两个数的平方差，等式右边都可以写成两个整式的乘积，即a2-b2= (a+b)(a-b)
新知学习
归纳
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
——平方差公式
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
b2
a2
-
整式乘法
因式分解
例1 把下列各式因式分解：
（1）25 - 16x2；
（2）9a2 – b2.
解: (1) 25 - 16x2 = 52 – (4x)2 = (5+4x)(5-4x);
(2) 9a2 - b2 = (3a)2 – ( b)2 = (3a+ b)(3a- b).
例2 把下列各式因式分解：
（1）9(m+n)2 – (m-n)2；
（2）2x3 – 8x.
解: (1) 9(m+n)2 – (m-n)2
= [3(m+n)]2 – (m–n)2
= [3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]
= (4m+2n)(2m+4n)
= 4(2m+n)(m+2n);
（2）2x3 – 8x = 2x(x2-4)
= 2x(x2-22)
= 2x(x+2)(x-2).
当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解.
归纳
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再用公式法进行因式分解．
例3 已知x2 - y2 ＝－2，x＋y＝1，求 x - y，x，y 的值.
∴ x - y ＝ -2②.
解：∵ x2 - y2 ＝ (x＋y)(x - y)＝ -2，
x＋y ＝ 1①，
联立①②组成二元一次方程组，
解得
1.判断正误：
（1）x2+y2=（x+y）(x-y） （ ）
（2）x2-y2=（x+y）(x-y） （ ）
（3）-x2+y2=（-x+y）(-x-y） （ ）
（4）-x2-y2= -（x+y）(x-y） （ ）
×
√
×
×
随堂练习
2.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（ ）
A．3(x2+4x+3)
B．3(x2+2x+3)
C．(3x+3)(x+3)
D．3(x+1)(x+3)
D
3.徐茜的银行卡密码符合如下因式分解的原理：将一个多项式分解因式，如多项式a4－b4，因式分解的结果是(a2＋b2)(a＋b)(a－b)，当a＝8，b＝7时，各个因式的值是：a2＋b2＝113，a＋b＝15，a－b＝1，得到一组数字密码为113151，那么对于多项式9a3－ab2，当a＝10，b＝2时，得到的数字密码可能为______________________．
103228(答案不唯一)
4.把下列各式因式分解
(1) x2y－4y；
解：(1)原式＝y(x2－4)＝y(x＋2)(x－2)；
(2) a3b － ab.
解：(2) 原式＝ab(a2-1)＝ab(a+1)(a-1).
(3)5m2a4－5m2b4； (4)a2－4b2－a－2b.
＝(a＋2b)(a－2b－1).
＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b)；
解：原式＝5m2(a4－b4)
＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)
解：原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)
＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)
5.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．
原式=-40×5=-200．
解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)
=(4m+n)(-2m + 3n)
=-(4m+n)(2m-3n).
当4m+n=40，2m-3n=5时，
6.如图，在一块长为a cm的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b cm的正方形.求剩余部分的面积，并求当 a =3.6 cm ，b =0.8 cm时的面积.
解：a2-4b2 =(a+2b)(a-2b).
当 a=3.6，b=0.8 时，
原式 =(3.6+2×0.8) ×(3.6-2×0.8)
=5.2×2
=10.4 (cm2).
7.已知a,b,c是△ABC的三边,且满足a2-b2+ac-bc=0,请判断△ABC的形状,请判断并说明理由
解：a2-b2+ac-bc
=(a+b)(a-b)+c(a-b)
=(a-b)(a+b+c)
∵a2-b2+ac-bc=0
∴(a-b)(a+b+c)=0
∵a,b,c是△ABC的三边
∴a,b,c>0
∴a+b+c>0,a-b=0
∴a=b
∴△ABC是等腰三角形
步骤
公式
运用平方差
公式因式分解
a2-b2=(a+b)(a-b)
一提：提公因式；
二套：套公式；
三查：检查多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止
课堂小结(共19张PPT)
4.3.2 用完全平方公式因式分解
八年级下
北师版
1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．
2.灵活应用完全平方公式分解因式并进行计算．
学习目标
难点
重点
做一做：你能把右面4个图形拼成一个正方形，并求出你拼成的图形的面积吗？
a
a
b
b
a
b
a
b
ab
a
b
ab
新课引入
思考：这个大正方形的面积可以怎么求？
a
b
a
b
a
ab
ab
b
完全平方公式
a2+2ab+b2 a2-2ab+b2
探究
形如 的多项式称为完全平方式.
完全平方式的特点：
新知学习
简记口诀：“首平方，尾平方，首尾两倍在中央”.
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
2
a
b
+ b2
±
=(a ± b)2
a2
归纳
根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法.
平方差公式法：适用于平方差形式的多项式
a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式法：适用于完全平方形式的多项式
例1 分解因式：
（1）x2+14x+49；
分析：x2=(x)2， 49=7 ，14x=2×x·7， 所以x2+14x+49是一个完全平方式，即x2+14x+49= (x)2+ 2×x·7 + 72.
a2
2
a
b
b2
解：x2+14x+49
= (x + 7)2；
= (x)2 + 2×x·7 + 72
（2）(m+n) -6(m+n)+9；
=[(m+n)-3]
=(m+n-3) ；
（3）4-12(x-y) +9(x-y) .
=2 -2×2×3(x-y)+[3(x-y)]
=[2-3(x-y)]
=(2-3x+3y) .
解：原式
解：原式
完全平方式中的“首项”和“尾项”，可以是单项式，也可以是多项式.
例2 把下列各式因式分解
（1）3ax +6axy+3ay ； （2）-x -4y +4xy
解：原式
=3a(x +2xy+y )
=3a(x+y) ；
1.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再进一步分解因式;
2.首项是负数，要把负号提出来.
解：原式
=- (x -4xy+4y )
=-[x -2·x·2y+(2y)]
=-(x-2y) ；
1.把2xy－x2－y2因式分解，结果正确的是( )
A．(x－y)2
B．(－x－y)2
C．－(x－y)2
D．－(x＋y)2
C
随堂练习
2.下列各式中，能用完全平方公式分解的是（ ）
A. x2+2xy-y2 B. x2-xy+y2
C. D.
D
(1)如果x2－mx+25是一个完全平方式那么m的值为_________.
±10
4.如果x2－8x+N是一个完全平方式，那么N是( )
A . 16 B. 9 C. －16 D. －9
A
(2)利用因式分解计算 ________.
(3)因式分解: .
3.填空
5.把下列多项式因式分解：
(1) x2－12x+36;
解：原式 =x2－2·x·6+62
=(x－6)2;
(2) -2xy - x2 -y2 ；
解：原式 = - (2xy+ x2 +y2)
= - (x+y)2.
(3) 4(2a+b)2-4(2a+b)+1;
解： (3)原式=[2(2a+b)] －2×2(2a+b)×1+1
=(4a+2b－1)2;
解： (4)原式=(y+1) －x
=(y+1+x)(y+1－x).
(4) y2+2y+1－x2.
6. 用简便方法计算
7. (1) 已知 a－b＝3，求 a(a－2b)＋b2 的值；
(2) 已知 ab＝2，a＋b＝5，求 a3b＋2a2b2＋ab3 的值.
原式＝2×52 ＝ 50.
解：(1) 原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
当 a－b＝3 时，原式＝32＝9.
(2) 原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
当 ab＝2，a＋b＝5 时，
(3)已知,，求的值；
(4)已知,，求的值；
解：(3) ∵, ，
∴ ；
(4) ∵, ，
∴
∴ ， ∴ ；
步骤
公式
运用完全平方
公式因式分解
a2±2ab+b2=(a±b)2
一提：提公因式；
二套：套公式；
三查：检查多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止
课堂小结
