(共22张PPT)
5.1.1 分式的概念
八年级下
北师版
1.了解分式的概念.
2.理解分式有意义的条件及分式值为零的条件．
3.能熟练地求出分式有意义的条件及分式值为零的条件．
学习目标
难点
重点
1.我国现有耕地19.5亿亩(用占世界7%的耕地养活着占世界22%的人口)，人均1.59亩，不及世界平均水平(3.75亩)的43%.人均少于1亩的省级行政单位有7个.在2800多个县级行政单位中，人均耕地低于联合国粮农组织所确定的0.8亩警戒线的有666个，占总数的23.7%，低于0.5亩的463个，占16.5%.
新课引入
面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定期限内固沙造林 2400 hm2，实际每月固沙造林的面积比原计划多 30 hm2，结果提前完成原计划的任务.如果设原计划每月固沙造林 x hm2，那么
（1）原计划完成造林任务需要多少个月？
（2）实际完成造林任务用了多少个月？
这一问题中有哪些等量关系
实际每月固沙造林的面积=______________________+_______
原计划每月固沙的面积
30hm2
原计划每月固沙的面积
固沙造林的总面积
完成固沙造林任务所需的时间（月）=
解：
思考
2. 2010年上海世博会吸引了成千上万的参观者，某一时段内的统计结果显示，前 a 天日均参观人数 35 万人，后 b 天日均参观人数 45 万人，这（a + b）天日均参观人数为多少万人？
解：
3. 文林书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册 a 元，现每册降价 x 元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为 b 元．降价销售开始时，文林书店这种图书的库存量是多少？
解：
上面问题中出现了代数式
它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？
共同特征：类似分数 ,分母中都含有字母.
与整式不同是：整式的分母中不含有字母.
一、分式的概念
新知学习
议一议
一般地，如果A，B表示两个整式，A÷B可以表示成 的形式，如果B中含有字母，那么称 为分式.其中A称为分式的分子，B称为分式的分母.对任意一个分式，分母都不能为零.
分式的定义
①分子分母都是整式
②分母中含有字母
分式的概念要点
分母不能为零
分式有意义条件:
归纳
例1 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
解：属于整式的有（2）（4），属于分式的有（1）（3）.
分母含有字母的是分式，分母不含字母的是整式.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
为什么（2）（4）不是分式？判断的关键是什么？
分式与分数有何区别？
分式中的字母可以表示不同的数，更具一般性.
思考
整式
整式
(分母含有字母）
分式
整数
整数
分数
分式 的值为零应满足什么条件？有意义呢？
当A=0且 B≠0时，分式 的值为零.
当 B≠0时，分式 有意义.
注意：分式值为零是分式有意义的一种特殊情况.
思考
例2 (1)当a=1，2，-1时，分别求分式 的值；
解(1)： 当a=1时，
当a=2时，
当a=-1时，
解(2)： 当分母的值等于零时，分式没有意义，除此之外，分式都有意义.
由分母2a-1=0，得
所以，当 时，分式 都有意义.
(2)当a为何值时，分式 有意义？
例3 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
（1） （2） （3） （4）
解：
（1）要使分式 有意义，则分母3x≠0，即x ≠0.
（2）要使分式 有意义，则分母x-1≠0，即x ≠1.
（3）要使分式 有意义，则分母5-3b≠0,即 ;
（4）要使分式 有意义，则分母x-y≠0,即x≠y.
1.下列各式哪些是整式？哪些是分式？
分式有
整式有
解：
随堂练习
解：当分子等于零且分母不等于零时，分式的值为零，
的值为零.
∴当x = 1时，分式
∴ x ≠ -1.
而 x+1≠0，
∴x = ±1.
则 x2 - 1=0，
2.当x为何值时，分式 的值为零
3.下列分式中的字母满足什么条件时分式值为 0？
解:(1)由题意得 ，解得x=0,即x=0时，分式 的值为0.
(2) 要使分式为0，则 ，所以 x=-y且 x≠y，即x=-y
(3) 要使分式值为 0，则 所以 x≠0 且 x≠1，所以 x=-1
求使分式的值为0的字母的值的方法：首先求出使分子的值等于0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值等于0，只有当它使分母的值不为0时，才是我们所要求的字母的值．
方法总结
4.当x=0，-2， 时，分别求分式 的值.
解：x=0时，
x=-2时，
x= 时，
5.把甲、乙两种饮料按质量比x∶y混合在一起，可以调制成一种混合饮料.调制1 kg这种混合饮料需多少甲种饮料？
一般地，如果A,B表示整式，且B中含有字母，式子 叫做分式 ，其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.
分式 有意义的条件是B ≠0.
分式 值为零的条件是A=0且B ≠0.
分式
定义
值为零
的条件
有意义
的条件
课堂小结(共31张PPT)
5.1.2 分式的基本性质
八年级下
北师版
1.类比分数的基本性质，理解并掌握分式的基本性质.
2.会运用分式的基本性质进行分式的约分和通分．
学习目标
难点
重点
填一填
5
5
3
3
思考
你能得出什么规律？
分数的分子与分母乘（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变.
分式也适用吗？
新课引入
你认为分式 与 相等吗？ 与 呢？与同伴交流.
分式 与 相等，在分式 中，a≠0，
所以
分式 与 也相等，在分式 中，n≠0，
所以
思考
一、分式的基本性质
新知学习
上述性质可以用式子表示为：
其中a，b，m是整式.
分式的分子与分母都乘以（或都除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
想一想
类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？
温馨提示
应用时要注意是否符合两个“同”：
要同时作“乘法”或“除法”运算；
“乘(或除以)”的对象必须是同一个不等于0的整式．
例1.下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1） （2）
解：（1）因为y≠0，利用分式的基本性质，在 的分子、分母中同乘y ，即可得到右边，即
解：（2）因为x≠0，所以 可以由 的分子、分母同除以x得到，即
例2.化简下列各式：
（1）
思考：分式的分子、分母都是单项式，把公有的因式分离出来，然后利用分式的基本性质，把公因式约去即可.这样的公因式如何分离出来呢？
方法总结：如果分子、分母是单项式，公因式应取系数的最大公因数，相同的字母取它们的最低次数.
想一想上一章因式分解的提公因式法哦！
解：（2）
思考：分式的分子、分母都是多项式，如何化简呢？
（2）
把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.
方法总结：通过对分子、分母因式分解，找到它们的公因式.
在化简分式 时，小颖和小明的做法出现了分歧：
小颖：
小明：
你对他们俩的解法有何看法？说说看！
一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式.
议一议
注意：判断一个分式是不是最简分式，要严格按照定义来判断，就是看分子、分母有没有公因式.分子或分母是多项式时，要先把分子、分母因式分解.
最简分式的定义
分子和分母都没有公因式的分式叫做最简分式.
约分的基本步骤：
(1)若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
(2)若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．
方法总结
例3 当a=4,b=2012时，计算 的值
方法一：直接代入法
计算量好大哦！有没有简便的方法呢？先化简再求值会不会计算量小一点呢？
方法二：化简再求值
当a=4,b=2012
当a=4,b=2012时，原式=a=4
易错警示
1.约分前后分式的值要相等.
2.约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
3.约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式.
分式的分子与分母都除以同一个不等于零的整式是分数的约分,那同时乘以不等于零的整式呢？
思考
通分：根据分式的基本性质，分式的分子与分母都除以同一个不等于零的整式，分式的值不变.把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．
（b≠0）
最简公分母：通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母．
注意：确定最简公分母是通分的关键.
分析：最简公分母是(x+5)(x-5).
在分式的约分与通分中，通常碰到如下因式符号变形：a2-b2=(a+b)(a-b)
例4 通分：
.
方法归纳：先将分母因式分解，再将每一个因式看成一个整体，最后确定最简公分母．
分析：x2-y2=(x+y)(x-y)， x2+xy=x(x+y) ，最简公分母是x(x+y)(x-y).
确定最简公分母的方法：
(1)当各分母都是单项式时，取各分母系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积
(2)当各分母能因式分解时，要先把它们分解因式，再按照各分母都是单项式求最简公分母的方法来确定．
(3)多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂
方法总结
(1) 有什么关系？
二、分式的符号准则
观察
两个负号都去掉
(2) 有什么关系？
观察
一个负号任你放
分式的符号准则：
将分式、分子、分母的符号改变其中的任意两个，其结果不变．
即：
方法总结
1.当分式的分子、分母是多项式时，若分子、分母的首项系数是负数，应先提取“－”号并添加括号，再利用分式的基本性质化成题目要求的结果；
2.变形时注意不要把分子、分母的第一项的符号误认为是分子、
分母的符号．
1.下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1)
由 ,
知
(2)
(2)
解: (1)
由
知
为什么给出 ？
为什么本题未给 ？
课堂练习
2.(1)若a＝2,b≠0，则 的值为______．
1.5
(2)若a＝2,b＝1，则 的值为______．
3.下列各式成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
D
4. 通分：
解：(1) 最简公分母是2a2b2c.
解：(2) 最简公分母是(2x+1)(2x-1).
在分式的约分与通分中，通常碰到如下因式符号变形：(b-a)2=(a-b)2；b-a = -(a-b).
5.不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数.
（1）
解：
（1）
（2）
（2）
方法指引
将分式的分子、分母的各项系数化整的方法：
第一步：找出分子、分母中各项的系数，确定使系数能化成整数的最小正整数；
第二步：分子、分母同时乘以这个最小正数．
6.约分：（1） （2） （3）
解：
解：（1）因为 的分母xy除以x才能化为y，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需除以x，即
（2）因为 的分母a2乘b才能化为a2b，
所以分子也需乘b，即
所以，括号中应分别填x2和2ab-b2.
7.填空：
（1）
（2）
基本性质
分式的符号准则
分式的
基本性质
约分和通分
课堂小结
