(共20张PPT)
5.4.1 分式方程的概念
八年级下
北师版
1.理解分式方程的意义，掌握解分式方程的基本思路和解法.
2.能根据题意列分式方程.
3. 理解分式方程产生增根的原因，掌握分式方程验根的方法.
学习目标
难点
重点
问题1 为了帮助遭受自然灾害地区重建家园，某学校号召同学自愿捐款．已知七年级同学捐款总额为4800元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等．
(1)你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
八年级捐款人数=七年级捐款人数+20人
年级捐款总额=年级捐款人数×年级人均捐款额
七年级人均捐款额=八年级人均捐款额
新课引入
(2)设七年级捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？
捐款总额 捐款人数 人均捐款额
七年级 4800元 x
八年级 5000元
x+20
问题2 甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍．
(1)你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
等量关系：
①乘高铁列车所用时间=乘特快列车所用时间-9，
②高铁列车的平均行驶速度=特快列车的平均速度×2.8倍；
(3)如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh. 那么y满足怎样的方程？
(2)如果设特快列车的平均行驶速度为x km/h，那么x满足怎样的方程？
由上面的问题，我们得到了三个方程，它们有什么共同特点？
分母中都含有未知数.
思考
新知学习
分式方程的特征
（1）是等式；
（2）方程中含有分母；
（3）分母中含有未知数.
分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．
归纳
分式方程与整式方程有什么区别？
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
区别分式方程和整式方程：
看分母是否含有未知数
分母中不含有未知数的方程叫做整式方程
思考
例1.判断下列方程是不是分式方程？
(1)的方程分母中不含有未知数，所以不是分式方程.
(2)(3)(4)的方程分母中含有未知数，所以是分式方程.
例2.面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前 4 个月完成计划任务.原计划每月固沙造林多少公顷？
(1)这一问题中有哪些已知量和未知量？
未知量：原计划每月固沙造林多少公顷.
已知量：造林总面积2 400公顷；实际每月造林面积比原计划多30公顷；提前4个月完成计划任务.
等量关系：
实际每月固沙造林的面积 = 计划每月固沙造林的面积+30 公顷
原计划完成的时间 - 实际完成的时间 = 4 个月
(2)这一问题中有哪些等量关系？
(3)设原计划每月固沙造林 x 公顷，那么原计划完成一期工程需
要 个月，
实际完成一期工程用了 个月，
根据题意，可得方程 .
列分式方程的步骤：
(1)审清题意，明确题目中的未知数；
(2)根据题意找等量关系，列出分式方程.
1.在方程 中，分式方程有( )
B
思路引导：根据分式方程的概念可知，
是分式方程. 故选B.
A.1个 B.2个 C. 3个 D.4个
随堂练习
2.学习完分式方程的概念，小唯唯举出了以下方程，你认为不是分式方程的是( )
B.
C. D.
B
3.下列式子中，属于分式方程的是 ，
属于整式方程的是 （填序号）．
(2)(3)
(1)
4. 某市为处理污水，需要铺设一条长为5000m的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设20m，结果提前15天完成任务．设原计划每天铺设管道x m，则可得方程
.
5. “退耕还林还草”是在我国西部地区实施的一项重要生态工程.某地规划退耕面积共 69 000 km2，退耕还林与退耕还草的面积比为5∶3，设退耕还林的面积为 x km2 ，那么 x 满足怎样的分式方程？
1.什么叫分式方程？
2.根据实际问题的数量关系列出分式方程
分母中含有未知数的方程叫分式方程
(1)审清题意，明确题目中的未知数；
(2)根据题意找等量关系，列出分式方程.
课堂小结(共23张PPT)
5.4.2 分式方程的解法
八年级下
北师版
1 掌握解分式方程的基本方法和步骤.
2 了解分式方程增根产生的原因并能解决与增根有关的问题.
学习目标
难点
重点
2.解整式方程的一般步骤是什么？
（1）去分母；
（2）去括号；
（3）移项；
（4）合并同类项；
（5）系数化为1.
新课引入
1.还记得什么是方程的解吗？
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.
那怎么解分式方程呢？
分式方程
整式方程
还记得什么是方程的解吗？你能设法求出上一节课列出的分式方程
的解吗？
新知学习
转化
分式基本性质
一起来试试吧！
问题：你能试着解分式方程 吗？
分析：方程各分母的最简公分母是2.8x
解：方程两边同乘2.8x，得
1400×2.8-1400=9×2.8x，
解得 x=100.
检验：将x=100代入原分式方程中，左边=9=右边，
因此x=100是原分式方程的解.
去分母
转化为整式方程
解整式方程
你能总结一下怎么解分式方程？
归纳
解分式方程的基本思路：
是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.
解分式方程后为什么还要检验呢？
例1 解方程
解：方程两边都乘x(x－2)，得x＝3(x－2).
解这个方程，得x＝3.
检验：将x＝3代入原方程，得
左边＝1，右边＝1，左边＝右边.
所以，x＝3是原方程的根.
x=3是否是原分式方程的解吗？
方程两边都乘以x-2,得：1-x=-1-2(x-2)
解这个方程，得：x=2
在解方程 时，小亮的解法如下：
x=2是否是原分式方程的解？
检验：将x=2代入原分式方程中，左边和右边分母都为0，分式无意义，因此x=2不是原分式方程的解.
议一议
上面两个分式方程的求解过程中，同样是去分母将分式方程化为整式方程，为什么整式方程 x＝3(x－2)的解x＝3是分式方程
的解，而整式方程1-x=-1-2(x-2)的解x=2却不是分式方程
的解？
思考
在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0．
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根 .
增根产生的原因： 对于分式方程，当分式中分母的值为零时无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.
当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的取值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.
产生增根的原因什么？
检验的方法主要有两种：
（1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；
（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．
温馨提示
(1)回顾解分式方程 与方程 的过程，你能概括出解分式方程的基本思路吗？
解分式方程基本思路
思考
分式方程
x=a是分式方程的解
整式方程
x=a
x=a不是分式方程的解
目标
解分式方程
检验
最简公分母不为0
最简公分母为0
分式基本性质
例2 解方程：
解：方程两边都乘 2x，得
960-600=90x.
解这个方程，得x=4.
经检验， x=4是原方程的根.
1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去.
4.写出原方程的根.
简记为：“一化二解三检验”.
思考
(2)你能概括出解分式方程的一般步骤吗
思路引导：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：整式方程无解与分式方程有增根．
若关于x的分式方程 无解，求m的值．
例3
解：方程两边同乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，
即(m－1)x＝－10.
①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；
②方程有增根，则x＝2或x＝－2.
当x＝2时，代入(m－1)x＝－10，
得2(m－1)＝－10，m＝－4；
当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10，
得－2(m－1)＝－10，解得m＝6.
综上所述，m的值是1，－4或6.
1.解下列方程：(1)
解：(1)方程两边同乘2x－5，得x－(2x－5)＝－5.
解这个方程，得x＝10.
检验：当x＝10时，2x－5≠0，
所以x＝10是原方程的解．
随堂练习
解：(2)方程两边同乘x(x－2)，
得5(x－2)＝7x.
得-2x＝10
解这个方程，得x＝-5.
检验：当x＝-5时，x－2≠0，
所以x＝-5是原方程的解．
解：(3)方程两边同乘(x+3)(x－1)，
得2(x－1)＝x+3.
解这个方程，得x＝5.
检验：当x＝5时，左边= 右边，且分母≠0
所以x＝5是原方程的解．
2. 解分式方程：
思路引导：方程各分母的最简公分母是x2-25
解：方程左边同乘x2-25，得
x+5=10
解得 x=5.
检验：将x=5代入原分式方程中，左边和右边分母都为0，分式无意义，因此x=5不是原分式方程的解.
3.解方程
解：方程两边乘x(x － 3)，得2x=3x －9.
解得x=9.
检验：当x = 9时， x(x － 3) ≠0.
所以，原分式方程的解为x= 9.
4.解方程
解:方程两边乘(x-1)(x +2)，得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.
解得x=1.
检验:当x=1时，(x-1)(x+2)=0，因此x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
5.若关于x的分式方程 =m-3无解,求m的值.
解:分式方程去分母得:m(x+1)-5=(m-3)(2x+1),
整理得:mx+m-5=(2m-6)x+m-3,即(m-6)x=-2,
当m-6=0,即m=6时,方程无解;
由分式方程有增根,得到2x+1=0,即x=- ,
把x=- 代入整式方程得:m=10,
综上,m的值为6或10.
课堂小结
分式方程的解法
步骤
一化（分式方程转化为整式方程）；
二解（整式方程）；
三检验（代入最简公分母看是否为零）
分式方程
整式方程
转化
分式基本性质
基本思路(共23张PPT)
5.4.3 分式方程的应用
八年级下
北师版
1.理解数量关系正确列出分式方程.
2.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题.
学习目标
难点
重点
1.解分式方程的基本思路是什么？
2.解分式方程有哪几个步骤？
3.验根有哪几种方法？
一化二解三检验
有两种方法：第一种是代入最简公分母；
第二种代入原分式方程.
分式方程
转化
整式方程
新课引入
那这节课我们一起来探索怎么运用分式方程解决实际问题！
例1 某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.
（1）你能找出这一情境中的等量关系吗？
解：第二年每间房屋的租金 = 第一年每间房屋的租金 + 500元；
第一年出租房屋间数 = 第二年出租的房屋间数；
出租房屋间数 = 所有出租房屋的租金÷每间房屋的租金.
新知学习
（2）根据这一情境你能提出哪些问题？
解： 求出租的房屋总间数；
分别求两年每间房屋的租金.
解法一：设第一年每间房屋的租金为 x 元，则第二年每间房屋的租金
为(x+500)元.
根据题意，得
解这个方程，得 x =8 000.
经检验x=8000是所列方程的根.所以8000+500=8500（元）.
答：第一年每间房屋的租金为 8000 元，第二年每间房屋的租金为8500 元.
（3）你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗？
根据前面学习的列方程的方法，说说列分式方程解实际问题的步骤！
思考
列分式方程解应用题的一般步骤:
1.审：分析题意，找出数量关系和相等关系.
2.设：选择恰当的未知数，注意单位和语言完整.
3.列：根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程.
4.解：去分母，化为整式
5.验：双检验.(1)是否是所列方程的解；(2)是否符合实际意义.
6.答：注意单位和语言完整.
例2 某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨 小丽家去年12月的水费是15元，而今年7月的水费则是30元.已知小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多5 m3，求该市今年居民用水的价格.
（1）请找出这一情境中的所有等量关系.
主要等量关系是：
①今年用水价格=去年用水价格×(1+ )
②小丽家今年7月份的用水量-小丽家去年12月份的用水量=5
③水费=用水量×每立方米的用水价格
（2）求该市今年居民用水的价格.
解 ：设该市去年居民用水的价格为x元/m ，则今年的水价为 元/m ，根据题意，得
解这个方程，得
经检验， 是所列方程的根.
所以，该市今年居民用水的价格为2元/m
例3 某进货员发现一种应季衬衫，预计能畅销，他用8000元购进一批衬衫，很快销售一空．再进货时，他发现这种衬衫的单价比上一次贵了4 元/件，他用17600元购进2倍于第一次进货量的这种衬衫．问第一次购进多少件衬衫？
进货数量 （单位：件） 进货总价 （单位：元） 进货单价
（单位：元/件）
第一次
第二次
x
2x
8000
17600
总价=数量×单价
方程两边都乘以2x，约去分母得，
17600-16000 =8x，
解得 x =200.
解：设第一次购进x件衬衫，由题意得，
检验：当x =200时，2x =400≠0，
所以，x =200是原分式方程的解，且符合题意.
答：第一次购进200件衬衫.
思考：这个问题中的已知量有哪些？未知量是什么？
例4 某次列车平均提速v km/h．用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？
路程=速度×时间
表达问题时，用字母不仅可以表示未知数（量），也可以表示已知数（量）.
列方程
解：设提速前列车的平均速度为x km/h，
由题意得
方程两边同乘x(x+v)，得
去括号，得 sx+sv=xs+50x
移项、合并，得 50x =sv. 解得 x = .
检验：由于v，s 都是正数，当x = 时, x(x+v)≠0，
所以，x = 是原分式方程的解，且符合题意.
答：提速前列车的平均速度为 km/h．
还记得怎么解分式方程吗？
1.某工厂生产一批机器，由于改进生产工艺，每天比原计划多生产20台，实际生产500台机器与原计划生产300台机器所需时间相同．设实际每天生产x台机器，则可得方程( )
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
A
随堂练习
2.某项任务交给小明来完成，小明用3天时间完成任务的一半,后来小强帮助小明完成剩余的任务,两人合作用了1. 5天的时间完成剩余任务,求小强单独完成这项任务需多长时间.设小强单独完成这项任务需x天，则( )
A.
B.
C.
D.
C
3.中国科学技术日新月异,尤其是中国高铁领跑世界.某工作室利用电脑软件对“畅想号”和“和谐号”模型车的速度进行了模拟测试，路程为1800km.“和谐号”出发20min后,“畅想号”出发,且“畅想号”比“和谐号”早到40 min.已知“和谐号”和“畅想号”的平均速度之比为5:6,则“和谐号”的平均速度为_______km/h .
300
[解析]设“和谐号”的平均速度为x km/h ,则“畅想号”的平均速度为 km/h,依题意,得 ,解得x=300,经检验,x=300是原分式方程的解，且符合实际，
∴“和谐号”的平均速度为300 km/h.
4.随着新能源汽车的普及，从2023年开始，使用新的快速充电技术，每分钟充电量的续航里程(汽车所能行驶的路程)比采用旧技术提高了20%，使用新技术续航里程480公里的充电时间，比采用旧技术续航里程500公里的充电时间节省2分钟，求采用新技术每分钟充电量的续航里程．
解：设采用过去的充电技术，每分钟充电量的续航里程为x公里，则采用新的快速充电技术，每分钟充电量的续航里程为x(1＋20%)公里，
根据题意，得 ，
解得x＝50，
经检验，x＝50是所列方程的根，且符合题意，
x(1＋20%)＝60，
答：采用新的快速充电技术，每分钟充电量的续航里程为60公里．
5. 某水果店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因高温水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
(1)求第一次水果的进价是每千克多少元？
解析：根据第二次购买水果数多20千克，可得出方程，解出即可得出答案.
解：(1)设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，
根据题意得
解得x＝6.
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意．
答：第一次水果的进价为每千克6元.
(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
解析：先计算两次购买水果的数量，赚钱情况：销售的水果量×(实际售价－当次进价)，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了．
(2)第一次购买水果1200÷6＝200(千克)．
第二次购买水果200＋20＝220(千克)．
第一次赚钱为200×(8－6)＝400(元)，
第二次赚钱为100×(9－6.6)＋120×(9×0.5－6.6)＝－12(元)．
所以两次共赚钱400－12＝388(元)．
列分式方程解实际应用题的一般步骤：
(1)审：即审题：根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系．
(2)设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的代数式表示相关量．
(3)列：即列方程，根据等量关系列出分式方程．
(4)解：即解所列的分式方程，求出未知数的值．
(5)验：即验根，要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义．
(6)答：即写出答案，注意单位和答案完整．
课堂小结
