(共20张PPT)
6.1.1 平行四边形的边和角的性质
八年级下
北师版
1. 理解平行四边形的定义及有关概念.
2. 能根据定义探索并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质.
3. 掌握平行四边形边角性质的证明和应用.
学习目标
难点
重点
这些都是日常生活中常见的情形，您能举出一些实例吗？
这些物体都是什么形状？
新课引入
平行四边形
我们用符号“△”与三个顶点字母表示三角形；我们知道，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.对于平行四边形，我们也有类似的表示方法吗？
A
B
C
D
平行四边形 ABCD
记作：□ABCD
思考
新知学习
注意：四个顶点字母顺序按顺时针或逆时针书写.
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
2.记作： ABCD . 读作：平行四边形ABCD.
几何语言：
∵AB∥CD，AD∥BC ，
∴四边形ABCD是平行四边形.
3.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线.如线段AC.
4.平行四边形中，相对的边称为对边，相对的角称为对角.
平行四边形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？如果是，你能找出它的对称中心、对称轴吗？将平行四边形绕着两条对角线的交点旋转180°，你有什么发现？
平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.
探究1
请用尺子等工具度量你手中平行四边形的四条边，并记录下数据，你能发现AB与DC，AD与BC之间的数量关系吗
A
B
C
D
测得AB=CD，AD=BC.
探究2
请用量角器等工具度量你手中平行四边形的四个角，并记录下数据，你能发现∠A与∠C，∠B与∠D之间的数量关系吗
A
B
C
D
测得∠A =∠C，∠B =∠D.
探究3
通过观察和度量，我们猜想：
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等.
一起去验证一下吧！
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形.求证：AB=CD，BC=DA.
证明：连接AC,如图所示.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD， BC∥DA（平行四边形的定义）.
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∵AC=CA，
∴△ABC≌△CDA.
∴AB=CD，BC=DA.
证明1
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，BC∥DA（平行四边形的定义）.
∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°.
∴∠A=∠C.
同理可得：∠B=∠D.
请你证明：平行四边形的对角相等.
证明2
文字叙述 几 何 语 言
边
角
对边平行
对边相等
对角相等
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC ，AB∥DC.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC ，AB=DC.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠ A=∠C，∠ B=∠D.
A
B
C
D
平行四边形的性质
归纳
定理 平行四边形的对边相等.
定理 平行四边形的对角相等.
例1 已知：如图，在 ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，并且AE=CF.
求证：BE=DF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD（平行四边形的对边相等）
AB∥CD（平行四边形的定义）.
∴∠BAE=∠DCF.
又∵AE=CF，
∴△ABE≌△CDF.
∴BE=DF.
例2 如图，在 □ABCD 中，AD = 8，其周长为 24，求其余三条边的长度.
解：∵平行四边形的对边相等，
∴BC = AD = 8，AB = CD，
∵周长为 24，
∴AD + AB = 12，
∴AB = 4，
∴CD = 4.
2. 在 □ABCD 中，若∠A -∠B = 40°，则∠A = ______，∠B = ______.
3. 若平行四边形周长为 54cm，两邻边之差为 5cm，则这两边的长度分别为 ____________．
110°
70°
16cm，11cm
1. 平行四边形两邻边分别为 24 和 16，若两长边间的距离为 8，则两短边间的距离为 ( )
A. 5 B. 6 C. 8 D. 12
D
随堂练习
4.李华买了2枚《山东大学建校一百二十周年》纪念邮票，恰好拼成如图所示的平行四边形，已知该邮票相邻两边长度相等，为40毫米，其锐角为60°，则AC的长为____毫米．
40
5.如图，□ABCD 中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为 E，F.
求证：AE = CF.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD = BC，∠A =∠C.
∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴ ∠ AED =∠ BFC = 90°.
∴△ADE ≌△CBF，
∴AE = CF.
DE = BF 吗？
6.△ABC 是等腰三角形，AB = AC，P 是底边 BC 上一动点，PE∥AB，PF∥AC，点 E、F 分别在 AC、AB 上.
求证：PE + PF = AB.
证明：∵PE∥AB，PF∥AC，
∴四边形 AFPE 是平行四边形，
∴AF = PE，AE = PF，
∵AB = AC，
∴∠B =∠C.
∵PF∥AC，
∴∠FPB =∠C，
∴∠B =∠FPB，
∴BF = PF.
∵AB = AF+BF，
∴PE + PF = AB.
平行四边形
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
性质
边
角
对边相等
对边平行
对角相等
邻角互补
中心对称图形
课堂小结(共25张PPT)
6.1.2 平行四边形的对角线的性质
八年级下
北师版
1.掌握平行四边形对角线的性质.
2.综合运用平行四边形的性质，并能够利用性质进行简单的推理计算
学习目标
难点
重点
小鹿拥有了一块平行四边形的土地． 他决定把这块土地平分给他的四个孩子，他是这样分的:
这样分公平吗？
新课引入
问题：想一想，平行四边形除了边、角这两个要素的性质外，对角线有什么性质？
探究
如图，在 □ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O. OA 与 OC，OB 与 OD 有什么关系？
猜想：平行四边形的对角线互相平分.
新知学习
A
B
C
D
O
拿出手中的平行四边形纸片，测量出四条线段的长度，验证你的猜想是否正确
做一做
试一试
OA=OC,OB=OD
C
A
B
D
O
●
已知，在 □ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O.
求证：OA = OC，OB = OD.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB = CD，AB∥CD.
∴∠1 =∠2，∠3 =∠4，
∴△COD ≌△AOB.
∴OA = OC，OB = OD.
证一证
归纳
定理：平行四边形的对角线互相平分.
我们证明了平行四边形具有以下性质：
1. 平行四边形的对边相等；
2. 平行四边形的对角相等；
3. 平行四边形的对角线互相平分.
前面问题中，老人分的土地面积相等吗？
几何语言：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC= AC，OB = OD= .
A
B
C
D
O
A
C
D
B
O
●
其实四块地是一样大的．
1. △ABO≌△CDO，
△AOD≌△COB，
△ ABD≌△CDB，
△ ABC≌△CDA ；
2. △AOB、 △AOD、 △DOC、 △COB的面积相等，且都等于平行四边形面积的四分之一.
归纳
例1.已知：如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.
（1）求证：OE=OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=BO（平行四边形的对角线互相平分），
AD∥BC（平行四边形的定义）.
∴∠ODE=∠OBF，
∵ ∠DOE=∠BOF.
∴△DOE≌△BOF. ∴OE=OF.
例1 .已知：如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.
（2）直线EF是否将 ABCD的面积二等分？
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO（平行四边形的对角线互相平分），
AD∥BC（平行四边形的定义）.
∴∠OAE=∠OCF
∵ ∠AOE=∠COF.
∴△AOE≌△COF.
∵ 由（1）得△DOE≌△BOF.
易证△AOB≌△COD
∴=
故直线EF将 ABCD的面积二等分
在上述问题中，若直线EF与边DA,BC的延长线交于点E,F，上述结论是否仍然成立？试说明理由．
●
O
D
C
B
A
E
F
●
O
D
C
B
A
E
F
●
●
●
●
探究
●
O
D
C
B
A
E
F
在上述问题中，若将直线EF绕点O旋转至下图的位置时，上述结论是否仍然成立？
F
E
F
●
O
D
C
B
A
E
●
O
D
C
B
A
E
F
●
●
●
●
归纳
平行四边形对角线性质的两个拓展结论：
1.平行四边形的一条对角线将平行四边形
分成两个面积相等的三角形；
2. 过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等，且这条直线二等分平行四边形的面积，且分成的两部分周长相等.
例2. 如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=90°，OA=6，OB=3.求AD和AC的长度.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=6，OB=OD=3
（平行四边形的对角线互相平分），
∵ ∠ADB=90°.
∴△ADO为直角三角形.
∴AD=
1. □ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于 O，若 AC = 8，BD = 6，则边 AB 长的取值范围是 _________.
1
2. □ABCD 的周长为 60cm，其对角线交于 O 点，若△AOB 的周长比△BOC 的周长多 10cm， 则 AB = ______，BC = ______.
20cm
10cm
随堂练习
3. 有下列说法：
①平行四边形具有四边形的所有性质；
②平行四边形是中心对称图形；
③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成 4 个面积相等的小三角形.
其中正确说法的序号是 ( ).
A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④
D
4.如图，在 □ABCD 中，AD = 12，对角线 AC = 26，∠ADB = 90°. 求 DC 的长和四边形 ABCD 的面积.
分析：由 □ABCD，可知 OA = OC = 13.
又已知 AD = 12，在 Rt△AOD 中，
由勾股定理可求得 OD = 5.
再根据 OD = OB，可得 DB = 10.
在 Rt△ABD 中，由勾股定理可求得 AB = 2 .
再由 □ABCD 对边相等，可得 DC = AB =2 .
由 AD = 12，DB = 10，可求出 □ABCD 的面积 = 120.
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC = 13.
又∵ AD = 12，在 Rt△AOD 中，
由勾股定理可求得 OD = = 5.
∵OD = OB，
∴DB = 10.
在 Rt△ABD 中，由勾股定理可求得 AB = = 2 .
∴DC = AB = 2 .
∵ AD = 12，DB = 10，∴S□ABCD = 120.
5.如图，在 □ABCD 中，E、F 分别是 OA，OC 的中点. 试探究线段 BE 和 DF 有怎样的关系.
答案：BE = DF 且 BE∥DF.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD.
又∵E、F 分别是 OA、OC 的中点，
∴OE = EA，OF = FC，
∴OE = OF.
∵∠BOE = ∠DOF，
∴△BOE ≌ △DOF，
∴BE = DF，∠BEO = ∠DFO. ∴BE∥DF.
6. 已知：如图，在 □ABCD 中，点 E 在 AC 上，AE = 2EC，点 F 在 AB 上，BF = 2AF，若 △BEF 的面积为 2cm2，求 □ABCD 的面积．
证明：∵BF = 2AF，△BEF 的面积为 2cm2 ，
∴△AEF 的面积为 1cm2，
∴△AEB 的面积为 3cm2，
∵AE = 2EC，
∴△CEB 的面积为 cm2，
∴△ACB 的面积为 cm2，
又∵平行四边形的对角线将平行四边形分成面积相等的两个三角形，
∴□ABCD 的面积为 9cm2
平行四边形有哪些性质？
1.平行四边形的对边相等；
2.平行四边形的对角相等；
3.平行四边形的对角线互相平分.
课堂小结
4.过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等，且这条直线二等分平行四边形的面积，且分成的两部分周长相等.