(共20张PPT)
6.2.1 利用边判定
平行四边形
八年级下
北师版
1 掌握利用边判定平行四边形的定理.
2 应用平行四边形的判定定理解决问题.
学习目标
难点
重点
1. 平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2. 平行四边形的性质：
对边相等，对角相等，对角线互相平分.
除了两组对边分别平行外，该怎样判定一个四边形是平行四边形？
新课引入
问题1 如何寻找平行四边形的判定方法？
类比直角三角形的判定，你有思路了吗？
新知学习
问题2 在过去的学习中，类似的情况还有吗？请举例说明. 这些经验可以给我们怎样的启示？
逆向思考，提出猜想：
1. 平行四边形的性质
平行四边形对边平行；
平行四边形对边相等；
平行四边形对角相等；
平行四边形对角线互相平分
2.思考：平行四边形的性质的逆命题
对边平行的四边形是平行四边形；
两组对边相等的四边形是平行四边形；
对角相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形
这些猜想正确吗？先从边还是研究！
工具:四根细木条，其中两根长度相同，另外两根长度也相同
动手:能否合理摆放这四根细木条,使得连接四个顶点后成为平行四边形？
思考：你能说明你得到的四边形是平行四边形吗？
探究1
20cm
30cm
猜想1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
如图，在四边形 ABCD 中，AB = CD，AD = BC.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
证明：连接 BD，如图所示.
∵AB = CD，AD = BC，BD 是公共边，
∴△ABD ≌ △CDB.
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∴AB∥DC，AD∥BC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形（平行四边形的定义）
1
2
3
4
归纳
定理： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言：
∵AB=DC,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
A
B
C
D
工具: 两根长度相等的线段.
动手:
1.利用两根长度相等的线段，能摆出以线段端点为顶点的平行四边形吗
2.利用两根长度相等的线段并使其两条线段平行,能摆出以线段端点为顶点的平行四边形吗
探究2
猜想2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
思考：你能说明你所摆出的四边形是平行四边形吗？
A
B
C
D
已知：如图，在四边形ABCD中，AB CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
1
2
D
A
B
C
证明：如图，连接AC.
∵AB∥CD, ∴∠BAC＝∠DCA.
又∵AB＝CD，AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA. ∴BC＝DA.
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相
等的四边形是平行四边形）.
表示平行且相
等，读作“平行且等于”
猜想2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
归纳
定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
∵AB∥CD, AB=CD.
∴四边形ABCD是平行四边形
几何语言：
A
B
C
D
[注意] 判定方法中平行且相等的必须是同一组对边.
一组对边平行而另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
不一定
A
B
C
D
思考
例1 已知：如图,在 ABCD中，E，F分别为AD和CB的中点.
证明：求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB(平行四边形的对边相等),AD∥CB(平行四边形的定义）
∵E，F分别是AD和CB的中点，
∴ED＝FB，ED∥FB.
∴四边形BFDE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
例2 如图，AB = DC = EF，AD = BC，DE = CF.
求证：AB∥EF.
证明：∵AB = DC，AD = BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
∴AB∥DC.
又∵DC = EF，DE = CF，
∴四边形 DCFE 也是平行四边形.
∴DC∥EF.
∴AB∥EF.
1.下列∠A:∠B:∠C:∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A. 1:2:3:4
B. 1:4:2:3
C. 1:2:2:1
D. 3:2:3:2
D
随堂练习
2.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,要使四边形ABCD成为平行四边形,则应增加的条件是( )
B
A.AB=CD B.∠BAD=∠DCB
C.AC=BD D.∠ABC+∠BAD=180°
3.如图，四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
证明：∵四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形，
∴AD = EF，AD∥EF，BC = EF，BC∥EF，
∴AD = CB，AD∥CB，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
证明: ∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠ABD=∠DBE.
∵DE∥AB,
∴∠ABD=∠BDE.
∴∠DBE=∠BDE.∴BE=DE.
∵BE=AF,∴AF=DE.
∵AF∥DE,
∴四边形ADEF是平行四边形.
4.如图,BD是△ABC的角平分线,点E,F分别在BC,AB上,且DE∥AB,BE=AF.求证:四边形ADEF是平行四边形.
∴四边形EGFH为平行四边形
5.如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，AF与EB相交于点G，CE与DF相交于点H，试说明四边形EGFH为平行四边形．
解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
∵E，F分别为AD，BC的中点，
∴AE∥FC，AE＝FC，ED∥BF，ED＝BF，
∴四边形AFCE，EBFD都是平行四边形，
∴AF∥EC，BE∥FD，即GF∥EH，GE∥FH，
平行四边形
的判定
定义
判定2
判定1
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
课堂小结(共18张PPT)
6.2.2 利用对角线判定
平行四边形
八年级下
北师版
1 探索并证明“对角线互相平分的四边形是平行四边形”
2 应用平行四边形的判定定理解决问题.
学习目标
难点
重点
还记得上节课我们的猜想吗？上节课我们从边的角度得到了平行四边形的两个判定定理，这节课我们继续从角和对角线进行探究！
逆向思考，提出猜想：
1. 平行四边形的性质
平行四边形对角相等；
平行四边形对角线互相平分
2.思考：平行四边形的性质的逆命题
对角相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形
新课引入
有一名同学将两根木条的中点重叠，并用钉子固定，得到如图的四边形，你认为这个四边形是平行四边形吗？
探究1
你能证明他的猜想吗？
新知学习
猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形
如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，并且OA=OC，OB=OD．求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明: ∵OA＝OC，OB＝OD，且∠AOD＝∠COB，
∴△AOD≌△COB，
∴AD＝CB，∠ADO＝∠CBO．
∴AD∥CB．
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
证明
猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形
归纳
定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形
几何语言：
∵AO=CO，BO=DO
∴四边形ABCD是平行四边形.
例1．如图，E，F是□ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．
证明：如图所示，
连接BD，交AC于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，（平行四边形对角线互相平分）．
∵ AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF．
∴四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
F
O
D
C
B
A
E
我们知道平行四边形的对角相等.反过来，两组对角相等的四边形是平行四边形吗？
探究2
猜想：两组对角相等的四边形是平行四边形
你能证明他的猜想吗？
已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
又∵∠A=∠C，∠B=∠D
∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°
∴2∠A+2∠B=360°
即∠A+∠B=180°
∴ AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形.
同理得 AB∥ CD
证明：
证明
猜想：两组对角相等的四边形是平行四边形
定义判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
几何语言：
∵ ∠A=∠C,∠B=∠D
∴四边形ABCD是平行四边形.
归纳
判定平行四边形的方法选择
已知条件 证明思路
一组对边相等 1.另一组对边也相等
2.相等的边也平行
一组对边平行 1.另一组对边也平行
2.平行的边也相等
对角线相交 对角线互相平分
归纳
1．如图，在□ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为（ ）．
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
A
B
D
C
O
A
随堂练习
2.根据下列条件，不能判定一个四边形为平行四边形的是（ ）
A.两组对边分别相等．
B.两条对角线互相平分．
C.两条对角线相等．
D.两组对边分别平行．
C
3.下列条件中能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ）
①一组对边相等，且一组对角相等，②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线，③一组对角相等，且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分，④对角线互相平分的四边形.
A、①和② B、②和③
C、②和④ D、只有④
D
A
B
C
D
4.已知：AD为△ABC的角平分线，DE∥AB ，在AB上截取BF＝AE.
求证：EF＝BD
A
F
E
D
C
B
证明：如图所示，∵DE∥AB
∴∠1=∠3， DE∥BF
又∵AD为△ABC的角平分线
∴∠1=∠2 ∴∠2=∠3 ∴ DE＝AE
又∵BF＝AE
∴ DE=BF
∴四边形BDEF是平行四边形
∴EF=BD
3
1
2
5.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．
解：四边形ABFC是平行四边形；理由如下：
∵AB∥CD，∴∠BAE=∠CFE，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，在△ABE和△FCE中，
∴△ABE≌△FCE（AAS）；
∴AE=EF，
又∵BE=CE
∴四边形ABFC是平行四边形．
两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理1)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（判定定理2）
两组对角分别相等的四边形是平行四边形（定义拓展）
对角线互相平分的四边形是平行四边形（判定定理3）
对角线
角
边
平行四边形
的判定方法
课堂小结(共19张PPT)
6.2.3平行线间的距离及平行四边形判定与性质的综合
八年级下
北师版
1. 掌握平行线间的距离的概念及性质.
2. 探索并证明“夹在平行线之间的平行线段相等”.
3. 能够综合运用平行四边形的判定定理和性质进行计算和证明．
学习目标
难点
重点
新课引入
在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长？你能说明理由吗？与同伴交流.
新知学习
如图，在方格纸上画出铁轨的俯瞰图，即两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度．
经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等(从图中也可以看到这一点)．
猜想：平行线间距离处处相等.
探究
如图，直线a//b，A,B是直线a上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为C,D.求证：AC=BD.
证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠1=∠2=90°.
∴AC∥BD.
∵ AB∥CD，
∴四边形ACDB是平行四边形.
∴AC=BD.
a
b
A
B
C
D
1
2
证明
猜想：平行线间距离处处相等.
如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等(如图：AC=BD),这个距离称为平行线之间的距离.
(简记为：两条平行线间的距离处处相等）.
归纳
a
b
A
B
C
D
两条平行线之间的距离与点到线之间的距离有何区别与联系？
思考1
A
B
点到直线的距离只有一条，即过直线外一点作直线的垂线段的长度；而平行线的距离有无数条即一直线上任一点都可以得到一条两平行直线的距离.
a
b
A
B
C
D
思考2
若把两根铁轨之间的平行枕木改变夹角（夹角不等于90°),夹在两条平行线间的平行线段呢？它们是否相等呢？
由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”易知其围成的封闭图形为平行四边形，再由平行四边形性质易知夹在两条平行线间的平行线段相等.
例1 如图,甲船从北岸码头A向南行驶,航速为36千米/时;乙船从南岸码头B向北行驶,航速为27千米/时.两船均于7:15出发,两岸平行,水面宽为18.9千米,求两船距离最近时的时刻.
解：设x分钟后两船距离最近,
当如图EF⊥BD,AE = DF时,两船距离最近,
根据题意得出:36x=18.9-27x, 解得x=0.3,
0.3小时=0.3×60分钟=18(分钟),
则两船距离最近时的时刻为7:33.
例2 已知，如图，在平行四边形ABCD中，BN=DM，BE=DF．求证：四边形MENF是平行四边形．
证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠MDF=∠NBE．
∵DM=BN，DF=BE，
∴△MDF≌△NBE(SAS).
∴MF=NE，∠MFD=∠NEB．
∴四边形MENF是平行四边形.
∴∠MFE=∠NEF ∴FM∥EN．
随堂练习
1.已知直线m∥n,点A在m上,点B,C,D在n上,且AB=4 cm,AC=5 cm,
AD=6 cm,则m与n之间的距离 ( )
A.等于5 cm B.等于6 cm
C.等于4 cm D.小于或等于4 cm
D
2.如图,AD∥BC,AC,BD交于点E,三角形ABE的面积等于2,三角形CBE的面积等于3,那么三角形DBC的面积等于______.
5
3. 如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，EF，BF，则图中平行四边形的个数是( B )
A. 3个 B. 4个
C. 5个 D. 6个
B
4. 如图，□ABCD 中，E，F 分别为 AD，BC 边上的点，要使四边形 BEDF 为平行四边形，需添加一个条件：
______________________________________________.
AE = FC 或∠ABE =∠CDF 或 BE = DF (答案不唯一)
5. 如图，在 ABCD中，点E，F分别是BC，AD边上的点，连接AE，CF，已知∠BAE＝∠DCF，求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，AD∥BC，
在△BAE和DCF中，
∴△BAE≌DCF(ASA)，∴BE＝DF，
∴AF＝CE，
∵AD∥BC，即AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形．
解:(1)∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AED=∠CFB=90°,∴AE∥CF,
在 ABCD中,∵AD∥BC,∴∠ADE=∠CBF,
又∵AD=CB,∴△ADE≌△CBF(AAS),
∴AE=CF,
∴四边形AECF是平行四边形.
6.如图,在 ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,E,F分别为垂足.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形.
(2)如果AE=3,EF=4,求AF,EC所在直线的距离.
(2)在 AECF中,AF∥EC,设AF,EC所在直线的距离为h,
∵AE⊥BD,∴∠AEF=90.
∴AF= =5.
∵S平行四边形AECF=AE·EF=AF·h,
∴h= =2.4,∴AF,EC所在直线的距离是2.4.
课堂小结
平行线间的距离及平行四边形判定与性质的综合
五种判定方法
对边平行,对边相等，对角相等
判定
性质
夹在两条平行线间的平行线段处处相等
