6.3三角形的中位线 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
6.3 三角形的中位线
八年级下
北师版
1．掌握中位线的定义以及中位线定理；
2．综合运用平行四边形的判定及中位线定理解决问题．
学习目标
难点
重点
　
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的形状和大小都相同，请设计合理的解决方案.
新课引入
将三角形蛋糕记为△ABC，取△ABC三边的中点D、E、F，连接DE、EF、FD，△ABC被分成了四个小三角形.这四个小三角形有什么关系？
四个全等三角形
思考
怎么证明呢？
新知学习
三角形有三条中位线，它们把三角形分成四个小三角形.
连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线.
如图，我们把连接△ABC两边AB、AC中点的线段DE，叫做△ABC的中位线.
归纳
符号语言：
∵ D、E分别为AB、AC的中点
∴ DE为△ABC的中位线
不同之处：中位线是两个中点的连线；
中线是一个顶点和对边中点的连线.
相同之处：都是和边的中点有关的线段；
问题1：一个三角形有几条中位线？
D
E
F
3条
问题2：若连接AF，则AF是△ABC的 .
中线AF
中位线EF
你能尝试说出三角形中位线和中线的联系和区别吗？
中线
思考
B
A
C
D
E
F
将△ADE绕着点E顺时针旋转180°，到△CEG的位置，我们就得到一个与△ABC面积相等的 BCGD.
G
通过上面的旋转变换，你能猜想出三角形的中位线与第三边有什么关系吗？
猜想：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 .
做一做
已知：在△ABC中，DE是△ABC的中位线.
求证：DE∥BC，DE＝ BC
E
A
B
C
D
如何将两个问题转化为一个问题呢？作辅助线：倍长DE
证明
在△ADE和△CFE中，
∵AE＝CE，∠1＝∠2，DE＝FE,
∴△ADE≌△CFE.
∴∠A＝∠ECF，AD＝CF.∴CF∥AB.
∵BD＝AD，∴CF＝BD.
∴四边形DBCF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
∴ DF∥BC(平行四边形的定义)，
DF＝BC(平行四边形的对边相等).
∴DE∥BC，DE＝ BC
E
A
B
C
D
F
2
1
证明：如图，延长DE到F，使FE＝DE，连接CF.
∵ DE是△ABC的中位线
∴ DE∥BC，DE= BC
（位置关系）（数量关系）
符号语言：
作用：1、证明两条线段平行；
2、证明一条线段是另一条线段的2倍或 .
归纳
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
探究1
1.取△ABC三边的中点D、E、F，连接DE、EF、FD，△ABC被分成了四个小三角形，图中有几个全等三角形，想一想该如何证明？
2.图中有几个平行四边形？请将它们写出来.
四个全等三角形△ADE≌△EFC≌△DBF≌△FED.
三个平行四边形.
ADFE、 BDEF、 CEDF
3.如图,D、E、F分别是△ABC三边的中点,你能发现△DEF的面积与△ABC
的面积有什么关系吗？为什么？
●
●
●
A
C
D
E
F
解：S△DEF= S△ABC.
理由如下：由题意得DE,DF,EF
是△ABC的中位线，
∴DE∥BC, DF∥AC,EF∥AB,
∴四边形ADFE,BDEF,DECF都是平行四边形，
∴S△DEF= S△ADE= S△BDF= S△CEF,
∴S△DEF= S△ABC.
B
如图，任意画一个四边形，顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形有什么特点？请证明你的结论，并与同伴交流.
A
B
C
D
H
E
F
G
探究2
已知：如图，在四边形ABCD中， E，F，G，H分别为各边的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
A
B
C
H
D
E
F
G
证明：连接AC.
∵E，F，G，H分别为各边的中点，
∴ EF∥HG， EF=HG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
HG∥AC，.
∴EF∥AC，，
猜想：顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形.
（1）顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是什么？
（2）顺次连接菱形各边中点所得的四边形是什么？
（3）顺次连接正方形各边中点所得的四边形是什么？
平行四边形
矩形
正方形
探究3
（4）顺次连接梯形各边中点所得的四边形是什么？
（5）顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是什么？
平行四边形
菱形
（6）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是什么？
（8）顺次连接对角线相等且垂直的四边形各边中点所得的四边形是什么？
（7）顺次连接对角线垂直的四边形各边中点所得的四边形是什么？
菱形
矩形
正方形
中点四边形的定义：
依次连接任意四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形．
拓展：不管四边形的形状怎样改变，中点四边形始终是平行四边形．它是否是特殊的平行四边形取决于它的对角线是否垂直或者是否相等，与是否互相平分无关.
原四边形两条对角线 连接四边中点所得四边形
互相垂直
矩形
相等
菱形
互相垂直且相等
正方形
既不互相垂直也不相等
平行四边形
4. 如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED. 现测得AC＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，则AB＝(　　)
A．50 m B．48 m
C．45 m D．35 m
B
随堂练习
2.如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为(　　)
A.5 B.10 C.20 D.40
C
3. 如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=7,BD=4,CD=3, E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点,则四边形EFGH的周长为(　　)
A.12　　　 B.14　　　 C.24　　　 D.21
A
4. 如图，已知长方形ABCD中，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，下列结论成立的是(　　)
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变
D．线段EF的长先增大后减小
C
5. 如图,顺次连接四边形ABCD四边的中点E,F,G,H,则四边形EFGH的形状一定是　 　.
平行四边形
6.如图是王阿姨在等候区设立的休息角及遮阳伞完全打开时的示意图，OP是伞柄，OM，AB，CD是伞骨，已知∠ABD=90°，点A，B，C分别是OM，ON，AB的中点，CD= m，BD=1m，则MN的长为_____m.
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
定义
中点四边形
三角形
的中位线
性质
依次连接任意四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形
课堂小结