(共25张PPT)
6.4.1 多边形的内角和
八年级下
北师版
1.经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展合情推理能力.
2.掌握多边形内角和公式，进一步发展演绎推理能力.
学习目标
难点
重点
(1)三角形的内角和是多少度？与形状、大小有关吗
180 °
无关
新课引入
(2)你知道长方形和正方形的内角和是多少度？
都是360°.
(3)猜想任意四边形的内角和是多少度？
你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？
猜想：四边形ABCD的内角和是360°.
证明
方法1：如图，连接AC,四边形被分为两个三角形，所以四边形ABCD内角和为180°×2=360°.
A
B
C
D
A
B
C
D
E
方法2：如图，在BC边上任取一点E，连接AE,DE，
所以该四边形被分成三个三角形，
所以四边形ABCD的内角和为
180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°.
还有其他方法吗？
A
B
C
D
E
A
B
C
D
P
结论：四边形的内角和为360°.
方法3：
方法4：
(3)多边形的内角和是多少度？
我们一起来探究！
某小区健身广场中心的边缘是一个五边形（如图），你能求出它的五个内角的和吗？
一、多边形的内角和
新知学习
思考
小明、小亮分别利用下面的图形求出了五边形的五个内角的和.你知道他们是怎样做的吗？
A
C
D
E
B
A
C
D
E
B
A
C
D
E
B
内角和＝3×180°＝540°
内角和＝5×180°-360°＝540°
内角和＝4×180°-180°＝540°
按照上图的方法，六边形一个顶点出发的对角线条数？能分成多少个三角形？
六边形的一个顶点能引出3条对角线，分成4个三角形
内角和＝4×180°＝720°
n边形呢？你能确定n边形的内角和吗？
多边形 边数 一个顶点出发的对角线条数 图形 分成三角形的个数 计算规律
三边形
四边形
五边形
六边形
....
n边形
…
…
…
…
…
3
4
5
6
n
0
n－3
1
2
3
1
2
3
4
n－2
(n－2) ·180°
4 ×180°
3 ×180°
2 ×180°
1 ×180°
多边形内角和定理：
一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n － 3)条对角线，它们将n边形分为（n － 2)个三角形，n边形的内角和等于 (n － 2) × 180°.
例1 如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°.∠B与∠D有怎样的关系？
解:∵∠A+∠B+∠C+∠D
=（4－2）×180°=360°，
∴ ∠B+∠D
=360°－（ ∠A+∠C ）
=360°－180°=180°.
如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补.
例2．一个多边形的内角和是1080°，它是几边形？
解：设这个多边形是n边形，则有多边形的内角和公式可得：
（n－2）·180°＝1080°，
解得n＝8．
∴该多边形是八边形．
二、认识正多边形
正多边形定义：在平面内，每个内角都相等、每条边也都相等的多边
形叫做正多边形.
正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？
思考
①正三角形的内角为 =60°.
正四边形(正方形)的内角为 =90°.
正五边形的内角为 =108°.
正六边形的内角为 =120°.
正八边形的内角为
②正n边形的内角是 .
=135°.
1.一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？
3.剪掉一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角？这个多边形的内角和是多少度？
2.一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？
不一定
不一定
有可能剩3个角、4个角或5个角，内角和分别是180°，360°，540°.
思考
1. 内角和为540°的多边形是( )
C
2. 若正多边形的一个内角是150°,则该正多边形的边数是( )
A.6 B.12 C.16 D.18
B
随堂练习
3. 如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是( )
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
B
4.如图,已知正六边形ABCDEF,连接FD,则∠FDC的度数为 .
90
5.小彬求出一个正多边形的一个内角为145°，他的计算正确吗？如果正确，他求的是正几边形的内角？如果不正确，请说明理由.
解；不正确，理由如下：
设多边形是n边形，由题意得
145°n=（n-2）×180°．
解得n≈10.28，
n是正整数，n=10.28（不符合题意的要舍去），
∴他求的正几边形内角的内角不正确
解：∵五边形ABCDE的内角和为（5－2）×180°＝540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝540°，
又∵∠A+∠B＝240°，
∴∠A＝240°－∠B，
又∵∠C＝∠D＝∠E＝2∠B，
∴240°－∠B+∠B+2∠B+2∠B+2∠B＝540°，
解得∠B＝50°
6.在五边形ABCDE中，∠A +∠B =240°,∠C =∠D=∠E=2∠B.求∠B的度数.
1.多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n－2)·180°
2.正多边形内角的度数：
课堂小结(共19张PPT)
6.4.2 多边形的外角和
八年级下
北师版
1．经历探索多边形外角和公式的过程，进一步发展合情推理能力.
2. 掌握多边形外角和公式，进一步发展演绎推理能力.
学习目标
难点
重点
1、多边形的内角和公式是什么
2、正n边形的内角怎么计算？
(n－2)·180°
新课引入
小明沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，小明每从一条小路转到下一条小路时，身体总要转过一个角，你知道是哪些角吗？它们的和是多少吗？
新知学习
把上面的问题抽象为数学问题，如右图.
上面的问题中，小刚跑步方向改变的角实际分别是∠1、∠2、∠3、∠4、∠5.
小刚跑步方向改变的角共有5个，它们的和就是∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的和.
顶点
内角
边
外角
多边形的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角. 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.
归纳
小刚是这样思考的：如图，跑步方向改变的角分别是∠l，∠2，∠3，∠4，∠5.
∵∠1＋∠EAB＝180°，
∠2＋∠ABC＝180°，
∠3＋∠BCD＝180°，
∠4＋∠CDE＝180°，
∠5＋∠DEA＝180°，
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
任意一个外角和它
相邻的内角互补
∴∠1＋∠EAB＋∠2＋∠ABC ＋∠3＋∠BCD ＋∠4＋∠CDE ＋∠5＋∠DEA＝5 ×180° =900°.
∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，
即 ∠EAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEA＝540°.
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝900°－540°＝360°.
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
可以简化为五个平角-五边形的内角和
结论：五边形的外角和等于360°.
请用小刚的方法计算三角形、四边形、六边形、八边形的外角和.
360°
360°
360°
360°
你能猜测一下，n边形的外角和是多少度吗？
猜测：n边形外角和为360°
探究
证明：n边形的外角和为360°
证明：n边形外角和=外角1+外角2+…+外角n
=n·180° -
=n·180° - (n-2)·180°
=360°
多边形外角和定理： 多边形的外角和都等于360°
=(180°-内角1)
+(180°-内角2)
+…+(180°-内角n)
(内角1+内角2+…+内角n)
=n个平角-n边形内角和
与多边形边数无关
例1. 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形是n边形，
则它的内角和是(n－2)·180°，
(n－2)·180°=3×360°
解得：n=8
答：这个多边形是八边形．
外角和等于360°，
例2. 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.
解法一：设这个多边形的内角为7x °,外角为2x°,
根据题意得
7x+2x=180，
解得 x=20.
即每个内角是140 °，每个外角是40 °.
360°÷40 °=9.
答：这个多边形是九边形.
还有其他解法吗？
1.多边形的外角和为360°.
2.多边形的内(外)角和与边数间的关系：
(1)多边形的内角与边数有关，且随着边数的增加而增加．
(2)多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少无关，其作用是：
①已知正多边形外角的度数，求正多边形的边数；
②已知正多边形的边数，求各相等外角的度数．
总结归纳
1. 五边形的外角和等于( )
A．180° B．360°
C．540° D．720°
B
2.如果正n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
C
随堂练习
3. 如图，小华从点A出发，沿直线前进10 m后向左转24°，再沿直线前进10 m，又向左转24°……照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走的路程是( )
A．140 m
B．150 m
C．160 m
D．240 m
B
4．一个正多边形的内角和是540゜，则这个正多边形的每一个外角等于( )．
A．60゜ B．72゜ C．90゜ D．108゜
5．一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是( )
A．五边形 B．四边形
C．三角形 D．不能确定
B
C
（1）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是几边形？如果这个多边形的每个内角都相等，那么每个内角等于多少度？
六边形，每个内角等于120°.
（2）在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？
（3）在 n 边形的 n 个内角中，最多能有几个锐角？
最多有3个钝角，3个锐角.
最多有3个锐角.
6. 回答下列问题：
7. 已知四边形的四个外角度数比为1∶2∶3∶4，求各外角的度数．
解：设四边形的最小外角为x°，则其他三个外角分别为2x°，
3x°，4x°. 根据四边形外角和等于360°，
得x°＋2x°＋3x°＋4x°＝360°.
所以x°＝36°，2x°＝72°，
3x°＝108°，4x°＝144°.
所以四边形各外角的度数分别为36°，72°，108°，144°.
1.多边形的内角和等于(n－2)·180°，多边形的外角和等于360°.
2.多边形的边数与内角和、外角和的关系：
(1)n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角
和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.
(2)多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关.
3.正n边形：正n边形的内角的度数为，外角的度数为360°/n
.
课堂小结
