16.1 二次根式 课件（共31张PPT）2023-2024学年度沪科版数学八年级下册

(共31张PPT)
16.1 二次根式
八年级下
沪科版
1.经历二次根式概念的形成过程,了解二次根式是开平方运算引出的结果，理解二次根式中被开方数a的实际意义,即a是非负数,以及 的非负性.
2.经历二次根式性质的观察、归纳、对比等探索过程, 理解二次根式性质1、性质2,了解其区别与联系，并能运用性质1、2解决一些问题.
学习目标
重点
难点
(1)什么叫做平方根
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
(2)什么叫做算术平方根
如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示.
根据已学知识回答下列问题
新课引入
(3)什么数有算术平方根
非负数.
用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
(1) 如图 的海报为正方形，若面积为 2 m2，则边长为_____m；若面积为 S m2，则边长为_____m．
(2) 如图 的海报为长方形，若长是宽的 2 倍，面积为 6 m2，则它的宽为_____m．
图
图
分别表示 2，S，3，的算术平方根．
新知学习
问题1 这些式子分别表示什么意义？
上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ．
① 根指数都为 2；
② 被开方数为非负数.
问题2 这些式子有什么共同特征？
思考
一 二次根式的定义及有意义的条件
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.
被开方数
二次根号
读作“根号a ”
概念学习
注意：1.在实数范围内，a<0时， 没有意义，只有当a≥0时,
才有意义.
2.a 可以是数，也可以是式.
3.
两个必备特征
① 外貌特征：含有“ ”
② 内在特征：被开方数(式) a ≥0
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ＋1(a≥0);
(5) ；(6) ； (7) ； (8)
分析：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根式定义的条件，紧扣定义进行识别．
解：(1)∵ 的根指数是3，∴ 不是二次根式．
(2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴ 是二次根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时， 是二次根式；
当a＞0时，－5a＜0，则 不是二次根式．
∴ 不一定是二次根式．
(4) ＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式．
(5)当x＝－3时， 无意义，∴ 也无意义；
当x≠－3时， ＞0，∴ 是二次根式．
∴ 不一定是二次根式．
(6)当a＝4时，a－4＝0， 是二次根式；
当a≠4时，－(a－4)2＜0， 不是二次根式．
∴ 不一定是二次根式．
(7)∵x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，
∴ 是二次根式．
(8)∵|x|≥0，∴ 是二次根式．
(2) 多个二次根式相加 (如 ) 有意义的条件：
(3) 二次根式作为分式的分母 (如 ) 有意义的条件： A＞0；
(4) 二次根式与分式的和差 (如 ) 有意义的条件：A≥0 且 B ≠ 0.
(1) 单个二次根式如 有意义的条件：A≥0；
归纳
求含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法
例2 下列各式： . 一定是二次根式的有 （ ）
A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个
B
例3 (1) 若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是______；
(2) 若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是______________.
x ≥1
x ≥0 且 x ≠ 2
思考
问题1 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
前者 x 为任意实数，后者 x 为非负数.
当 a＞0 时， 表示 a 的算术平方根，因此 ＞0；当 a = 0 时， 表示 0 的算术平方根，因此 = 0. 这就是说，当 a≥0 时， ≥0.
问题2 对于非负式 a，它的算术平方根，即二次根式 的取值范围是什么？
1. 二次根式有意义的条件 ：
被开方数(式)为非负数，反之也成立；即 有意义 a ≥ 0.
归纳
巧记口诀 二次根式有意义，被开方数非负数；
二次根式无意义，被开方数是负数；
单个二次根式时，列出不等式求解；
复合形式的式子，列不等式组求解.
二次根式的被开方数或式非负
二次根式的值非负
二次根式的双重非负性
2.
例3 若 ，求 a - b + c 的值.
解：
由题意可知 a - 2 = 0，b - 3 = 0，c - 4 =0，
解得 a = 2，b = 3，c = 4.
所以 a - b + c = 2 - 3 + 4 = 3.
点拨：若多个非负式的和为零，则可得每个非负式均为零.
正方形的边长为 ，
用边长表示正方形的面积为 ，
又∵ 面积为 a，
∴ .
1.如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为 a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积. 你发现了什么？
这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？
思考
二 二次根式的性质及应用
2.为了验证1.的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空．你又发现了什么？
...
算术平方根
平方运算
0
2
4
...
a(a≥0)
02 = 0
...
观察两者有什么关系？
22 = 4
4
2
0
根据 2.直接写出结果，然后根据 2. 的探究过程说明理由：
是 2 的算术平方根，根据算术平方根的意义，
是一个平方等于 2 的非负数. 因此 .
同理， 分别是 0，4， 的算术平方根，即得上面的等式.
的性质：
一般地， ＝a (a≥0).
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略 a≥0 这一限制条件，这是使二次根式 有意义的前提条件.
归纳
例1 在实数范围内分解因式：
解：
本题逆用了 在实数范围内分解因式.在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.
...
平方运算
算术平方根
2
0.1
0
...
a(a≥0)
2
...
观察两者有什么关系？
＝a (a≥0)
思考
...
平方运算
算术平方根
-2
-0.1
...
2
...
观察两者有什么关系？
a(a＜0)
当 a＜0 时， =
？
-a
a (a≥0)
-a (a＜0)
即任意一个数的平方的算术平方根等于原数的绝对值.
的性质：
归纳
例2 化简：
解：
，而 3.14＜π，要注意 a 的正负.
思考
与 是一样的吗？
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
先开方，后平方
先平方，后开方
a ≥ 0
a 取任何实数
a
|a|
意义
表示一个非负数 a 的算术平方根的平方
表示一个实数 a 的平方的算术平方根
例3 计算: (1) ; (2) .
解： (1) 或
(2)
例4 先化简再求值: ，其中x=4.
解：
当x=4时，
∴当x=4时，
1. 计算
(1)
(2)
(3)
解： (1) =
解： (2) = = 5；
(3) = -7.
随堂练习
2. 若 ，则 a - b + c = _ __ .
3
-1
0
1
2
a
3. 实数 a 在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是 .
1
4.汽车在弯道上最大安全速度的计算公式为v＝ ，其中v是汽车行驶的速度，f是路面的摩擦系数，g是重力加速度，R是弯道的半径．已知f＝0.4，R＝100 m，当一辆汽车以25 m/s的速度驶入该弯道时，请问是否会发生侧滑事故？(g取10 m/s2)
二次根式
概念
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.
性质
性质1： ( )2=a( a≥0 )
性质2: =|a|=
a( a≥0 )
-a(a＜0)
课堂小结