(共16张PPT)
第1课时
二次根式的乘法
八年级下
沪科版
1.经历二次根式乘法运算法则的探索过程，了解二次根式的乘法运算法则.
2.会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.
学习目标
重点
重点
第一宇宙速度 v1 可以表示为 .
新课引入
运用运载火箭发射航天行器时，火箭必须达到一定的速度（第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道. 第一宇宙速度v与地球半径 R 之间存在如下关系：v12 = gR，其中 g 是重力加速度. 请用含 g，R 的代数式表示出第一宇宙速度 v1.
第二宇宙速度v2可以表示为 .
飞行器脱离地心引力，进入围绕太阳运行的轨道所需要的速度称为第二宇宙速度. 第二宇宙速度为 v2 = v1，请结合问题 1 用含 g，R 的代数式表示出第二宇宙速度 v2.
若已知地球半径 R ≈ 6371 km 及重力加速度 g ≈ 10 m/s2，要求第二宇宙速度，本质是把两个二次根式相乘．该怎么乘呢？
思考
(1) ___×___=____;
=_________;
计算下列各式:
(2) ___×___=____;
(3) ___×___=____;
=_________;
=_________.
2
5
10
0.5
10
5
5
6
30
观察两者有什么关系？
新知学习
思考
归纳
性质3 如果a ≥ 0, b ≥0,那么有
a、b必须都是非负数！
这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.
简述为：两个二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘.
求证：
证明：根据积的乘方法则，有
∴
就是 ab 的算术平方根.
又∵ 表示 ab 的算术平方根，
∴ .
同学们，你们能否证明上面的性质？
例1 计算:
解:
例2 计算：
解:
可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则
二次根式的乘法法则的推广：
多个二次根式相乘时此法则也适用，即
当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数(式)的积作为被开方数(式)，即 ．
归纳
反过来：
（a≥0，b≥0）
（a≥0，b≥0）
一般的：
文字语言：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
思考
是否也成立？
成立
例3 化简：(1) (2)
解：(1)
(2)
归纳
3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式 =|a| 把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简 .
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；
化简二次根式的步骤：
A.
B.
C.
D.
1.下面计算结果正确的是 ( )
D
随堂练习
40
2. 计算：
（1） ；（2） ； （3） ．
解：（1）
（2）
（3）
二次根式乘法
法则
性质
拓展法则
课堂小结(共27张PPT)
第2课时
二次根式的除法
八年级下
沪科版
1.经历二次根式除法运算法则的探索过程，了解二次根式的除法运算法则.
2.会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算.
3.能将二次根式化为最简二次根式.
学习目标
重点
难点
重点
新课引入
站在水平高度为 h 米的地方看到可见的水平距离为 d 米，它们近似地符合公式 .
解：
问题1 某一登山者爬到海拔 100 米处，即 时，他看到的水平线的距离 d1 是多少？
问题2 该登山者接着爬到海拔 200 米的山顶，即 时，此时他看到的水平线的距离 d2 是多少？
问题3 他从海拔 100 米处登上海拔 200 米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？
解：
二次根式相除该怎样算呢？
解：
思考 乘法法则是如何得出的？除法有没有类似的法则？
观察
计算下列各题，观察有何规律？
(1) =________， =__________
(2) =________， =__________
两者计算结果有什么关系？
新知学习
a，b 同号就可以啦！
在前面发现的规律 中，a，b的取值范围有没有限制呢？
不对，同乘法法则一样，a，b 都为非负数.
你们都错啦，应该是a≥0，b＞0. 若 b = 0 则等式两边的二次根式就没有意义啦！
思考
归纳
一般地，有
这就是说，两个算术平方根的商， .
等于它们被开方数的商的算术平方根
性质4 如果a≥0，b＞0，那么有
例1 计算：
(1) ； (2)
解：(1)
(2)
延伸
下面的式子怎么计算呢？
当二次根式 根号外的因数(式)不为1时，类比单项式除以单项式法则，得
（a≥0，b＞0，n≠0）
例2 计算：
(1)
解： (1)
(2)
注意分母里的系数 -2 的处理办法.
(2)
除法的运算法则也可以逆着应用吗？
公式的逆用
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
语言表述：商的算术平方根，等于 .
积中各因式的算术平方根的商
公式的逆用
例3 化简:
解:
还有其他解法吗
另解：
例4 若 = 成立，则 x 的值可以是( )
A. －2 B. 0 C. 2 D. 3
解：若 = 成立，则
解得 － 1 ≤ x ＜ 2. 故 x 的值可以是 0.
B
二次根式的除法法则的推广
(1)如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算，即:
(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式除以单项式的法则进行运算，将根号外的因数(式)之商作为商的根号外因数(式)，被开方数(式)之商作为商的被开方数(式)，即:
推广
二 二次根式的化简
问题1 你还记得分数的基本性质吗？
分数的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分数与原分数相等.
即
问题2 前面我们学习了二次根式的除法法则，你会去掉 这样的式子中分母的根号吗？
是不是可以用分数的基本性质去掉分母的根号呢？
前面例题（1）还有其他的解法吗？
思考
把分母中的根号化去，使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化.
例5 计算：
解：
分母形如 的式子，分子、分母同乘 可使分母不含根号.
(1) 你觉得这些数能否再化简，它们已经是最简二次根式了吗？
(2) 这些结果有什么共同特点，你认为一个二次根式满足什么条件就可以说它是最简二次根式了？
观察与思考
满足如下两个特点：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
归纳
例6 化简
解：
1.“一分”，即利用因数 ( 式 ) 分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数 ( 式 ) 的幂的乘积形式；
2.“二移”，即把能开得尽方的因数 ( 式 ) 用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意应写在分母的位置 上；
3.“三化”，即将分母有理化——化去被开方数中的分母．
归纳
将一个二次根式化简成最简二次根式的方法步骤：
要点归纳
化简时应注意:
(1)有时需将被开方数分解因式;
(2)当一个式子的分母中含有二次根式时,一般应把分母有理化.
例7 设长方形的面积为 S，相邻两边长分别为 a，b. 已知 ，求 a 的值.
解：∵
∴
D
1. 下列二次根式是最简二次根式的是 ( )
A. B.
C. D.
随堂练习
2. 化简：
解：
3. 高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个 30 g 的鸡蛋从 18 楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从 25 楼抛下可以使人当场死亡．据研究从高空抛物时间 t 和高度 h 近似的满足公式 . 从 100 米高空抛物到落地所需时间 t2 是从 50 米高空抛物到落地所需时间 t1 的多少倍？
解：由题意得
二次根式
的除法
两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根.
1. 被开方数不含分母；
2. 被开方数中所有因数 ( 或因式 ) 的幂的指数都小于 2.
(公式的逆用)
二次根式的化简
除法法则
课堂小结(共18张PPT)
第3课时
二次根式的乘除
与大小比较
八年级下
沪科版
1.了解比较两个不含字母的二次根式大小的方法.
2.进一步应用二次根式的乘除混合运算法则.
学习目标
重点
二次根式的乘法运算法则：
二次根式的除法运算法则：
（a≥0，b≥0）
一般的：
如果a≥0，b＞0，那么有
新课引入
例 1 比较 与 的大小.
方法 ① 被开方数比较法
解：∵
又∵ 12＜18
∴
＜
∴
＜
新知学习
此外,也可用下面的方法比较大小.
方法 ② 作差法
解：∵
-
=
<0
∴
＜
-
=
方法 ③ 作商法
解：∵
<1
∴
＜
你还知道其它比较大小的方法吗？
方法 ④ 平方法
解：∵
又∵ 12＜18
∴
＜
∴
＜
二次根式大小比较的常用方法：
① 平方法
② 被开方数比较法
③ 作差法
④ 作商法
⑤ 分母有理化法
⑥分子有理化法
⑦ 倒数法
归纳
例2 比较 与 的大小．
方法⑤分母有理化法
解： = =
∵＞
∴ ＞
利用分母或分子有理化方便比较复杂的二次根式大小.
例3 计算：
乘除混合运算要注意运算顺序！
1. 比较 与 的大小.
方法 ① 平方法
又∵ 50>48
∴
>
∴
>
解：
∵
随堂练习
方法 ② 被开方数比较法
解：∵
∵ 50>48
∴
>
∴
>
2．比较 与 的大小．
解：
3．比较 与 的大小．
解：
4.计算：
解：
5. 化简：
解:
1.二次根式大小比较的方法：
① 平方法
② 被开方数比较法
③ 作差法
④ 作商法
⑤ 分母有理化法
⑥分子有理化法
⑦ 倒数法
2.乘除混合运算要注意运算顺序.
课堂小结
