17.1 一元二次方程 课件（共21张PPT）2023-2024学年度沪科版数学八年级下册
文档属性
| 名称 | 17.1 一元二次方程 课件（共21张PPT）2023-2024学年度沪科版数学八年级下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-27 17:03:05 | ||
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文档简介
(共21张PPT)
17.1 一元二次方程
八年级下
沪科版
1.了解一元二次方程的概念
2.知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式.
3.经历抽象一元二次的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一种数学模型.
学习目标
重点
重点
难点
什么叫方程？我们已经学过哪些方程？
只含有一个未知数，未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程.
含有未知数的等式叫做方程.
说出一元一次方程的概念
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程.
新课引入
没有未知数
根据所学知识判断下列式子哪些是方程
2+6=8
2x+3
5x+6=22
x+3y=8
x-5＜18
代数式
一元一次方程
二元一次方程
不等式
分式方程
问题1 某蔬菜队2009年全年无公害蔬菜产量为100 t,计划2011年无公害蔬菜的产量比2009年翻一番(即为200 t).要实现这一目标,2010年和2011年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少
新知学习
设这个队 2010~2011 年无公害蔬菜产量的年平均增长率是 x，那么2010年无公害蔬菜产量为100+100x=100(1+x)t，2011年无公害蔬菜产量为100(1+x)+ 100（1+x）x=100(1+x)2 t
根据题意，2011 年无公害蔬菜产量为 200 t，得
100（1 + x）2 = 200
即（1 + x）2 = 2
整理，得 x2 + 2x – 1 = 0
问题2 在一块宽 20 m、长 32 m 的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成大小一样的 6 块，建成小花坛. 如图所示，要使花坛的总面积为 570 m2（图中长度单位：m），问小路的宽应是多少？
如何找到等量关系？
设小路宽 x m，
则横向小路的面积是 32x m2，
纵向小路的面积是 2×20x m2，
两者重叠部分的面积是 2x2 m2.
由于花坛的总面积是 570 m2，则
32×20 –（32x + 2×20x）+ 2x2 = 570.
整理，得 x2 – 36x + 35 = 0.
想一想，x2 + 2x – 1 = 0，x2 – 36x + 35 = 0 这两个方程与我们学过的一元一次方程不同，那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
共同特点：
（1）都是整式方程；
（2）只含一个未知数；
（3）未知数的最高次数是 2.
区别：
像 x2 + 2x – 1 = 0，x2 – 36x + 35 = 0 这样的方程，都是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程.
归纳
一元二次方程的一般形式是
ax2+bx +c = 0 (a，b，c为常数，a≠0)
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数，
bx 称为一次项， b 称为一次项系数，
c 称为常数项.
思考
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
当 a = 0 时
bx＋c = 0，
当 a ≠ 0，b = 0 时
ax2＋c = 0，
当 a ≠ 0，c = 0 时
ax2＋bx = 0，
当 a ≠ 0，b = c =0 时
ax2 = 0，
不符合定义；
符合定义；
符合定义；
符合定义．
总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数.
③
例1 下列方程：①x2＋y－6 = 0；②x2＋ =2； ③x2－x－2 = 0；④x2－2＋5x3－6x = 0；⑤2x2－3x = 2(x2－2)，其中是一元二次方程的有 .（填序号）
归纳
满足以下三个条件的方程是一元二次方程：
1.整式方程；
2.只含有一个未知数；
3.未知数的最高次数为2.
注意：最高次数是2的项的系数的取值范围不明确的方程不一定是一元二次方程，如：(m－2)2x+3x－8=0不一定是一元二次方程 .
例2 a为何值时， (a－3)x |a|-1 －2x +3=0为一元二次方程？
解：∣a ∣-1 =2，∴a=±3
∵a-3 ≠0，∴a=-3
∴当a=-3时，原方程是一元二次方程.
解：去括号，得
3x2－3x＝2x－4－4.
移项，合并同类项，得方程的一般形式：
3x2－5x＋8＝0.
它的二次项系数是3，一次项系数是－5，
常数项是8.
例3 把方程3x(x－1)＝2(x－2)－4化成一般形式， 并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项.
总结：系数和项均包含前面
的符号.
你会解哪些方程，如何解的？
二元、三元一次方程组
一元一次方程
分式方程
消元
去分母
如何解一元二次方程？又有怎样的思想方法？
一般步骤
1、去分母
2、去括号
3、移项
4、合并同类项
5、系数化为1
代入消元法
加减消元法
思考
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.
练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.
解：
3 和 -2.
你注意到了吗？一元二次方程不止一个解(根)
2.当a满足 时，（2a-4)x2-2bx+a=0为一元二次方程.
a≠2
其中是一元二次方程的有 .（填序号）
1.下列方程：
①x+2=5x2+y-3； ②x2+5x+c=4；
③2x2-4=(x+2)2； ④ ；
②③
随堂练习
3. 根据题意列出一元二次方程：已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长.
4.把方程( 3x + 2 )2 = 4 ( x - 3 )2 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
x2 + (x + 1)2 = (x + 2)2
解：9x2 + 12x + 4 = 4( x2 - 6x + 9)
9x2 + 12x + 4 = 4x2 - 24x + 36
5x2 + 36x - 32 = 0
二次项系数：5
一次项系数：36
常数项：-32
5.五个连续整数，前三个数的平方和等于后面两个数的平方和. 你能求出五个整数分别是多少吗？写出方程，并将其化为标准式.
解：设第一个数为 x，则可列出方程
x2 + (x+1)2 + (x+2)2 = (x+3)2 + (x+4)2.
化简可得 x2 + x2 + 2x + 1 + x2 + 4x + 4 = x2 + 6x + 9 + x2 + 8x + 16，
即 x2 - 8x - 20 = 0.
①是整式方程
②只含一个未知数
③未知数的最高次数是2
一般形式
概念
ax2+bx+c=0 (a ≠0)
审→设→找→列
建立一元二次方程模型
一元二次方程
课堂小结
17.1 一元二次方程
八年级下
沪科版
1.了解一元二次方程的概念
2.知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式.
3.经历抽象一元二次的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一种数学模型.
学习目标
重点
重点
难点
什么叫方程？我们已经学过哪些方程？
只含有一个未知数，未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程.
含有未知数的等式叫做方程.
说出一元一次方程的概念
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程.
新课引入
没有未知数
根据所学知识判断下列式子哪些是方程
2+6=8
2x+3
5x+6=22
x+3y=8
x-5＜18
代数式
一元一次方程
二元一次方程
不等式
分式方程
问题1 某蔬菜队2009年全年无公害蔬菜产量为100 t,计划2011年无公害蔬菜的产量比2009年翻一番(即为200 t).要实现这一目标,2010年和2011年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少
新知学习
设这个队 2010~2011 年无公害蔬菜产量的年平均增长率是 x，那么2010年无公害蔬菜产量为100+100x=100(1+x)t，2011年无公害蔬菜产量为100(1+x)+ 100（1+x）x=100(1+x)2 t
根据题意，2011 年无公害蔬菜产量为 200 t，得
100（1 + x）2 = 200
即（1 + x）2 = 2
整理，得 x2 + 2x – 1 = 0
问题2 在一块宽 20 m、长 32 m 的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成大小一样的 6 块，建成小花坛. 如图所示，要使花坛的总面积为 570 m2（图中长度单位：m），问小路的宽应是多少？
如何找到等量关系？
设小路宽 x m，
则横向小路的面积是 32x m2，
纵向小路的面积是 2×20x m2，
两者重叠部分的面积是 2x2 m2.
由于花坛的总面积是 570 m2，则
32×20 –（32x + 2×20x）+ 2x2 = 570.
整理，得 x2 – 36x + 35 = 0.
想一想，x2 + 2x – 1 = 0，x2 – 36x + 35 = 0 这两个方程与我们学过的一元一次方程不同，那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
共同特点：
（1）都是整式方程；
（2）只含一个未知数；
（3）未知数的最高次数是 2.
区别：
像 x2 + 2x – 1 = 0，x2 – 36x + 35 = 0 这样的方程，都是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程.
归纳
一元二次方程的一般形式是
ax2+bx +c = 0 (a，b，c为常数，a≠0)
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数，
bx 称为一次项， b 称为一次项系数，
c 称为常数项.
思考
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
当 a = 0 时
bx＋c = 0，
当 a ≠ 0，b = 0 时
ax2＋c = 0，
当 a ≠ 0，c = 0 时
ax2＋bx = 0，
当 a ≠ 0，b = c =0 时
ax2 = 0，
不符合定义；
符合定义；
符合定义；
符合定义．
总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数.
③
例1 下列方程：①x2＋y－6 = 0；②x2＋ =2； ③x2－x－2 = 0；④x2－2＋5x3－6x = 0；⑤2x2－3x = 2(x2－2)，其中是一元二次方程的有 .（填序号）
归纳
满足以下三个条件的方程是一元二次方程：
1.整式方程；
2.只含有一个未知数；
3.未知数的最高次数为2.
注意：最高次数是2的项的系数的取值范围不明确的方程不一定是一元二次方程，如：(m－2)2x+3x－8=0不一定是一元二次方程 .
例2 a为何值时， (a－3)x |a|-1 －2x +3=0为一元二次方程？
解：∣a ∣-1 =2，∴a=±3
∵a-3 ≠0，∴a=-3
∴当a=-3时，原方程是一元二次方程.
解：去括号，得
3x2－3x＝2x－4－4.
移项，合并同类项，得方程的一般形式：
3x2－5x＋8＝0.
它的二次项系数是3，一次项系数是－5，
常数项是8.
例3 把方程3x(x－1)＝2(x－2)－4化成一般形式， 并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项.
总结：系数和项均包含前面
的符号.
你会解哪些方程，如何解的？
二元、三元一次方程组
一元一次方程
分式方程
消元
去分母
如何解一元二次方程？又有怎样的思想方法？
一般步骤
1、去分母
2、去括号
3、移项
4、合并同类项
5、系数化为1
代入消元法
加减消元法
思考
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.
练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.
解：
3 和 -2.
你注意到了吗？一元二次方程不止一个解(根)
2.当a满足 时，（2a-4)x2-2bx+a=0为一元二次方程.
a≠2
其中是一元二次方程的有 .（填序号）
1.下列方程：
①x+2=5x2+y-3； ②x2+5x+c=4；
③2x2-4=(x+2)2； ④ ；
②③
随堂练习
3. 根据题意列出一元二次方程：已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长.
4.把方程( 3x + 2 )2 = 4 ( x - 3 )2 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
x2 + (x + 1)2 = (x + 2)2
解：9x2 + 12x + 4 = 4( x2 - 6x + 9)
9x2 + 12x + 4 = 4x2 - 24x + 36
5x2 + 36x - 32 = 0
二次项系数：5
一次项系数：36
常数项：-32
5.五个连续整数，前三个数的平方和等于后面两个数的平方和. 你能求出五个整数分别是多少吗？写出方程，并将其化为标准式.
解：设第一个数为 x，则可列出方程
x2 + (x+1)2 + (x+2)2 = (x+3)2 + (x+4)2.
化简可得 x2 + x2 + 2x + 1 + x2 + 4x + 4 = x2 + 6x + 9 + x2 + 8x + 16，
即 x2 - 8x - 20 = 0.
①是整式方程
②只含一个未知数
③未知数的最高次数是2
一般形式
概念
ax2+bx+c=0 (a ≠0)
审→设→找→列
建立一元二次方程模型
一元二次方程
课堂小结