17.3一元二次方程根的判别式 课件（共19张PPT）

(共19张PPT)
17.3 一元二次程
的判别式
八年级下
沪科版
1. 了解一元二次方程根的判别式；
2. 会应用根的判别式判断一元二次方程根的情况；
3. 能够应用根的判别式解决简单的一元二次方程根的问题.
学习目标
重点
重点
难点
2. 一元二次方程的求根公式是什么？
1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax2+bx+c=0(a≠0)
新课引入
观察上面的式子，思考b2 - 4ac 的值会怎样影响方程的根呢？
在前面的学习中，你是否注意到：方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）有实数根的条件是什么？何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？
交流
新知学习
接下来我们一起来探究这些问题吧！
回顾：用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0).
解：二次项系数化为 1，得 x2 + x + = 0.
配方，得 x2 + x + ( )2 = ( )2 - .
即 (x + )2 =
问题1：接下来能直接开平方吗？
不能盲目开方
探究
问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？
我们知道，(x + )2≥0，4a2＞0.
当 b2–4ac＞0 时，x1 = ，x2 =
当 b2–4ac = 0 时，x1 = x2 =
当 b2–4ac＜0 时，不能开方(负数没有平方根)，
所以此时原方程没有实数根.
两个相等的实数根
归纳
这里的 b2－4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号 Δ 表示，
即 Δ＝b2－4ac. 并且有：
ax2 + bx + c = 0(a≠0)
b2 - 4ac ＞ 0
b2 - 4ac = 0
b2 - 4ac ＜ 0
两个不相等的实数根
无实数根
例1 不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）5x2 – 3x – 2 = 0； （2）25y2 + 4 = 20y；
解：(1)因为Δ＝(－3)2－4×5×(－2)＝49＞0,
所以原方程有两个不相等的实数根.
(2)原方程可变形为 25y2－20y＋4＝0.
因为 Δ＝(－20)2－4×25×4＝0，
所以原方程有两个相等的实数根.
因为Δ＝ －4×2×l＝－5＜0,
所以原方程没有实数根.
（3）2x2 + x + 1 = 0.
例2 已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( )
A. 该方程有两个相等的实数根
B. 该方程有两个不相等的实数根
C. 该方程无实数根
D. 该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为 x2 + x - 1 = 0. ∵ Δ = 12 - 4×1×(-1) = 5＞0，∴ 该方程有两个不相等的实数根.
B
归纳
利用根的判别式来判断一元二次方程根的情况：
1.化为一般式，确定a,b,c的值；
2.计算Δ的值，确定Δ的符号；
3.判别根的情况，得出结论.
思考
若关于x的一元二次方程 有两个实根，你能求出m的取值范围吗？
解：因为方程有两个实数根， ≥0
∴ m≤1
∴Δ=b2 - 4ac = ( -2 )2 - 4 × 1 × m =4 -4m ≥ 0，
例3 求证:不论m为何值,关于x 的方程 总有两个不相等的实数根
∴不论m为何值,方程总有两个不相等的实数根
解：∵Δ= 4m2-4(-2m-4)
= 4m2 + 8m +16
=4(m2+2m+1)+12
=4(m +1)+12 >0
0
4
有两个相等的实数根
没有实数根
有两个不相等的实数根
1.按要求完成下列表格：
Δ的值
根的情况
随堂练习
2. 不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）2y ＋5y＋6＝0; （2）4x2=12x－9.
解：（1）∵b2－4ac
＝5 －4×2×6＝25－48
＝－23<0,
∴方程2y ＋5y＋6＝0没有实数根.
（2）方程化为：4x2－12x+9=0，
∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.
∴方程有两个相等的实数根．
3.已知a、b、c是△ABC的三边长，且关于x的一元二次方程a(1＋x2)＋2bx－c(1－x2)＝0的两根相等，则△ABC的形状为____________.
直角三角形
∵x的两根相等，
∴Δ =0，即(2b)2-4(a+c)(a-c)=0，
化简得b2+c2=a2，满足勾股定理，
∴△ABC是直角三角形.
思路点拨：将关于x的一元二次方程a(1＋x2)＋2bx－c(1－x2)＝0化为一般形式(a+c)x2＋2bx+(a-c)=0，
4.已知关于x的方程2x2－(3＋4k)x＋2k2+k＝0.
(1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？
解：因为 Δ =［－(3＋4k)］2-4×2×(2k2+k)=16k+9
(1)∵方程有两个不相等的实数根
∴Δ >0，即16k+9>0，得k>
当k> 时，方程有两个不相等的实数根.
4.已知关于x的方程2x2－(3＋4k)x＋2k2+k＝0.
(2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根？
(3)当k取何值时，方程没有实数根？
(2)∵方程有两个相等的实数根
∴Δ =0，即16k+9=0，得k=
当k= 时，方程有两个不相等的实数根.
(3)∵方程没有实数根
∴Δ <0，即16k+9<0，得k<
当k< 时，方程没有实数根.
两个相等的实数根
对于一元二次方程 a x2＋b x＋c = 0 (a≠0)， 这里的 b2－4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号 Δ 表示，即 Δ＝b2－4ac. 并且有：
课堂小结
ax2 + bx + c = 0(a≠0)
b2 - 4ac ＞ 0
b2 - 4ac = 0
b2 - 4ac ＜ 0
两个不相等的实数根
无实数根