17.4一元二次方程根与系数的关系 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
17.4 一元二次程
与系数的关系
八年级下
沪科版
1. 理解一元二次方程根与系数的关系；
2. 了解一元二次方程根与系数的关系的简单应用.
学习目标
重点
难点
韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一.他是第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步.韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）.
韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”.
韦达（1540－1603）
新课引入
探究
在前面17.2节中，我们学过，一元二次方程的每一个根都可由它的各项系数通过运算得到.
进一步，你是否注意到每个方程中的两根之间的关系？两根之和
（x1 + x2）、两根之积（x1x2）与该方程的各项系数之间有怎样的关系？填写下表，然后观察根与系数的关系：
新知学习
方程 x1 x2 x1+x2 x1x2
x2 + 2x – 15 = 0
3x2 – 4x + 1 = 0
2x2 – 5x + 1 = 0
3
-5
-2
-15
1
根据你的观察，猜想：
方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的根如果是x1，x2，那么x1＋x2＝_______, x1x2
＝_______.
你能证明上面的猜想吗？
我们知道，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的两根为：
归纳
由此得出,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:
如果 ax2+ bx + c = 0（a ≠ 0）的两根为 x1，x2，
那么 x1 + x2 = ，x1x2 = .
这个关系通常称为韦达定理
当一元二次方程的二次项系数为 1 时，它的标准形式为 x2 + px + q = 0. 设它的两个根为 x1，x2，这时韦达定理应是：
x1 + x2 = –p，x1x2 = q.
注意：前提条件
是b2-4ac≥0哦.
例1 不解方程，求出方程的两根之和与两根之积：
(1) x2 + 3x - 5 = 0；
(2)2x2 - 3x - 5 = 0.
解： (1) 设两根为 x1、x2，由上述二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系，可得
x1 + x2 = -3，x1·x2 = -5.
解：(2) 方程两边同除以 2，得
设两根为 x1、x2，可得
例 2 已知关于 x 的方程 2x2 + kx – 4 = 0 的一个根是 –4，求它的另一个根及 k 的值.
解 设方程的另一个根是 x2，则
解方程组，得
答：方程的另一个根为 ，k 的值为 7.
已知一根，利用根与系数的关系求方程中待定字母的值的策略：
已知方程的一根求另一根，可以直接将一根代入方程中求出待定字母的值，然后再解方程求另一根．
也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值．
方法总结：
例 3 方程 2x2 – 3x + 1 = 0 的两个根记作x1，x2，不解方程，求出下列式
子的值：
（1）x1 – x2
解 （1）由韦达定理，得 x1 + x2 = ， x1x2 = .
（x1 – x2）2 =（x1 + x2）2 – 4x1x2
∴ x1 – x2 =
（2）x12+ x22
解 （2）由韦达定理，得 x1 + x2 = ， x1x2 = .
∴ x12+ x22=（x1 + x2）2 – 2x1x2
=( ) 2-2× =
（3）
解 （3）由韦达定理，得 x1 + x2 = ， x1x2 = .
∴
=3
与两根和、两根积相关的常用变形公式
1．关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是_________.
m＞
2.已知一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0，b2 - 4ac≥0 ) 的两个根是 m，n ，那么下列关系式中正确的是 .
(1) am2 + bm + c = 0；(2) an2 + bn + c = 0；(3) m + n = - ；
(4) an2 + bm + c = 0；(5) am2 + bn＋c＝0；(6) mn = .
(1)(2)(3)(6)
随堂练习
x1x2=-(－2m＋1)=2m-1<0
有两个相等的实根或有两个不相等的实根
8
3.如图是小明班级的长方形黑板，黑板的长与宽是一元二次方程x2－mx＋3.36＝0的两个根，已知黑板的宽为1.2 m，则这块黑板的周长为________m.
4. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 - (2m - 2)x + m2 - 2m = 0 的两实数根为x1，x2，且 x12+x22 = 10，求 m 的值.
解：由题意可知 Δ = ( 2m - 2 )2 - 4(m - 2m) = 4 > 0，
∴无论 m 取任何值，方程有两个不相等的实数根.
∵x1 + x2 = 2m - 2， x1x2 = m - 2m，
∴x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10，
∴(2m - 2)2 - 2(m2 - 2m) = 10，
∴m2 - 2m - 3 = 0，
∴m = -1或 m = 3.
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么
一元二次方程
的根与系数
的关系
内容
应用
课堂小结