(共20张PPT)
17.5.1 一元二次方程
的应用（1）
八年级下
沪科版
1.会建立面积问题的一元二次方程数学模型.
2.能够应用一元二次方程模型解决面积相关的问题.
3.能总结归纳出列一元二次解决实际问题的一般步骤.
学习目标
重点
难点
重点
1. 还记得解决方程 ( 组 ) 实际问题的一般步骤吗？
(1) 审：审题，明确题意；
(2) 设：用字母表示题目中的未知数；
(3) 找：找出等量关系；
(4) 列：根据等量关系列出方程（组）；
(5) 解：求方程（组）的解；
(6) 检：检验解是否符合方程，是否符合实际；
(7) 答：写出答案并作答.
新课引入
例1 17.1中的问题2
问题2 在一块宽 20 m、长 32 m 的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成大小一样的 6 块，建成小花坛. 如图所示，要使花坛的总面积为 570 m2（图中长度单位：m），问小路的宽应是多少？
新知学习
方法点拨：
在几何图形的面积问题中，面积公式往往就是建立等量关系的关键. 如果图形不规则，应割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.
解：设小路宽 x m，
则横向小路的面积是 32x m2，纵向小路的面积是 2×20x m2，
两者重叠部分的面积是 2x2 m2.
由于花坛的总面积是 570 m2，则
32×20 –（32x + 2×20x）+ 2x2 = 570.
整理，得 x2 – 36x + 35 = 0.
解方程，得
x1＝1，
结合题意，
答：所求小路的宽应为1m.
x2＝35
所以 x＝1.
x2＝35不符题意，
如果设想把小道平移到两边，如图所示，小道所占面积是否保持不变？在这样的设想下，所列方程是否符合题目要求？处理问题是否方便些？
试一试
2x
x
20
32
方法点拨：
我们利用“图形经过平移，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条小路移动一下，使列方程更容易些（目的是求出小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.
例2 正方形金属片一块，将其四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高20cm，容积为 2880cm3 的开口方盒 . 问原金属片的边长是多少？
解：设原金属片的边长为 x cm .
根据题意，得
20(x-40)2=2880
解方程，得
x1=52，x2＝28
结合题意，
所以 x＝52.
x2＝28 不符题意，
答：原金属片的边长是52cm .
例3 如图，要设计一本书的封面，封面长 27cm，宽 21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形. 如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？( 精确到 0.1cm )
27cm
21cm
思路点拨：封面的长宽之比是 27:21＝9:7，中央的矩形的长宽之比也应是9:7. 设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm和 7a cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是
＝9(3－a):7(3－a)
＝9:7.
27cm
21cm
解：设上下边衬的宽为 9x cm，左右边衬的宽为 7x cm，依题意得
∴上、下边衬的宽均为 1.8 cm
左、右边衬的宽均为 1.4 cm
27cm
21cm
思考
如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题 请你试一试．
27cm
21cm
解： 设正中央的矩形两边长分别为 9x cm，7x cm.
依题意得
解得
故上下边衬的宽度为：
左右边衬的宽度为：
27cm
21cm
建立一元二次方程模型
实际问题
分析数量关系
设出未知数
实际问题的解
解一元二次方程
一元二次方程的根
检 验
1.运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
归纳
2. 列一元二次方程解应用题注意事项
(1) 在一道应用题中，往往含有几个未知量，应恰当地选择其中的一个用字母 x 表示，然后根据各量之间的数量关系，将其他几个量用含 x 的代数式表示出来 .
(2)设未知数时必须写清单位、用对单位 . 列方程时，方程两边各个代数式的单位必须一致，作答时必须写上单位 .
(3)一定要对方程的根加以检验，看它是否符合实际意义 .
1. 在宽为 28m，长为 30m 的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 675m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
随堂练习
整理，得 x2 – 58x +165 = 0
解得 x1=3，x2=55
当 x = 55 时，30 – x = -25，不合题意，舍去.
∴取 x = 3.
答：道路的宽为3米.
解：设道路的宽为 x 米.
(30 – x)(28 – x)=675
可列方程为
面积问题
课堂小结
(1)在几何图形的面积问题中， 往往就是建立等量关系的关键.
面积公式
(2)利用“图形经过 ，它的 不会改变”的性质
平移
面积大小
转化
实际问题
数学问题
建模
数学思想
数学思想
与面积问题
建立一元二次方程模型
实际问题
分析数量关系
设出未知数
实际问题的解
解一元二次方程
一元二次方程的根
检 验
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤(共19张PPT)
17.5.2 一元二次方程
的应用（2）
八年级下
沪科版
1.会建立平举办变化率与利润相关的一元二次方程数学模型.
2.能够应用一元二次方程模型解决平均变化率与利润相关的问题.
学习目标
重点
难点
小丽为校合唱队购买演出服时，商店经理给出了如下优惠条件，如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？
你会解这
道题吗？
新课引入
例 1 原来每盒 27 元的一种药品（如图），经两次降价后每盒售价为 9 元.求该药品两次降价的平均降价率是多少？（精确到 1%）
下降率x
第一次下降前的量
27(1 - x)
第一次下降后的量
27
下降率x
第二次下降后的量
第二次下降前的量
27(1 - x)2
新知学均变化率问题
解 设该种药品两次平均降价率是 x.
根据题意，得
27(1 – x)2 = 9.
解得 x1 ≈ 1.58，x2 ≈ 0.42.
x1 ≈ 1.58 不合题意，所以 x ≈ 0.42.
答：该药品两次降价的平均降价率约是 42%.
注意：求出的结果要符合实际情况，下降率不大于1，且不能为负数.
例2 如图，一农户原来种植的花生，每公顷产量为3000kg，出油率为50%（即每100kg花生可加工花生油50kg），现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油1980kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的 ，求新品种花生生产量的增长率.
分析：设新品种花生产量的增长率为x，则新品种花生出油率的增长率为 ，根据“新品种花生每公顷产量×新品种花生出油率=1980”可列出方程.
解：设新品种花生产量的增长率为x，根据题意得：
3000×（1+x）[50％（1+ ）]=1980
解方程得：
x1= 0.2=20％ , x2=-3.2（不合题意，舍去）.
答：新品种花生产量的增长率为20％
注意：增长率不能为负数，
但可以大于1哦.
归纳
增长率(或降低率)问题的规律
(1)增长率问题:设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为a(1+x)，两次增长后的值为a(1+x)2，以此类推，n次增长后的值为a(1+x)n.
(2)降低率问题:设基数为a，平均降低率为x，则一次降低后的值为a(1-x)，两次降低后的值为a(1-x)2，以此类推，n次降低后的值为a(1-x)n.
例3 超市将进货单价为 40 元的商品按 50 元出售时，能卖 500 个，已知该商品要涨价 1 元，其销售量就要减少 10 个，为了赚 8000 元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？
你会解这
道题吗？
一 利润问题
根据每件商品的利润×件数 = 8000，
思路点拨：设每件商品涨价 x 元，则商品单价为_______元，
则每个商品的利润为_______________元，
因为每涨价 1 元，其销售会减少 10，则每个涨价 x 元，其销售量会减少_____个，故销售量为___________个，
可列方程为_______________________________.
[(50+x)－40]
(500－10x)
10x
(50+x)
(500－10x)·[(50 + x) - 40] = 8000
解：设每个商品涨价 x 元，则销售价为 ( 50 + x ) 元，销售量为 ( 500 - 10x )个，则 ( 500 - 10x )·[( 50 + x ) - 40 ] = 8000，
整理得 x2 - 40x + 300 = 0，
解得 x1 = 10，x2 = 30 都符合题意.
当 x = 10 时，50 + x = 60，500 - 10x = 400；
当 x = 30 时，50 + x = 80，500 - 10x = 200.
答：要想赚 8000 元，售价为 60 元或 80 元；若售价为 60 元，则进货量应为 400；若售价为 80 元，则进货量应为 200 个.
归纳
1. 利润 = 售价 - 进价．
解决利润问题常用的关系有：
2. 利润率 = ×100% = ×100%.
3. 售价 = 进价( 1 + 利润率)．
4. 总利润 = 单个利润×销售量 = 总收入 - 总支出．
随堂练习
1.近年来，我国年度出生人口持续降低，某省2020年出生人口为60万，2022年出生人口比2020年减少16.65万，若未来几年出生人口的下降率与2020～2022年的平均下降率相同，则该省出生人口跌破32万的年份为
( )
A. 2023年 B. 2024年
C. 2025年 D. 2026年
B
2. 某水果商以每斤 15 元的价格批发一批樱桃，经过调查发现，若按每斤25 元价格到市区销售，平均每天可售出 200 斤；若按每斤 23 元价格到市区销售，平均每天可售出 230 斤．为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售，设樱桃每斤的价格降低 x 元．
(1) 每天的销售量是____________斤 ( 用含 x 的代数式表示 )；
(2) 若水果商销售樱桃每天盈利 1560 元，每斤樱桃的售价应降至多少元？( 其他成本忽略不计 )
( 200＋15x )
解：(2)由题意得，( 25 - x - 15 )( 200 + 15x ) = 1560，
化简得，3x2 + 10x - 88 = 0，
解得 x1 = 4，x2 = - ( 舍去 )，
25 - 4 = 21 (元)，
答：每斤樱桃的售价应降至 21 元．
3. 两年前生产 1t 甲种药品的成本是 5000 元，生产 1t 乙种药品的成本是 6000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种药品的成本是 3000 元，生产 1t 乙种药品的成本是 3600 元. 哪种药品成本的年平均下降率较大？
解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x，则一年后甲种药品成本为5000(1-x) 元，两年后甲种药品成本为 5000( 1 - x )2元，
于是有 5000( 1-x )2 = 3000.
解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775.
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
同理，设乙种药品成本的年平均下降率为 y，则有 6000(1 - y)2 = 3600.
解方程，得 y1≈0.225，y2≈1.775.
根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
所以，两种药品成本的年平均下降率一样大.
平均变化率问题
与利润问题
平均变化率
问题
利润问题
常用公式：1.利润 = 售价- 进价．
2.利润率 = ×100%
3.总利润 = 单个利润×销售量 = 总收入 - 总支出．
公式：变化前数量×(1±平均变化率)变化次数＝变化后数量．
在实际问题的求解过程中，要注意方程的根与实际问题的合理性验．
课堂小结(共17张PPT)
17.5.3 可化为一元二次程
的分式方程及应用
八年级下
沪科版
1.认识可化为一元二次方程的分式方程应用题.
2.通过分式方程的应用教学, 培养学生数学应用意识.
学习目标
重点
重点
解分式方程的一般步骤:
(1)去分母:在方程的两边同乘最简公分母，把分式化为整式方程.
(2)解这个整式方程.
(3)检验:把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不为0的根是原方程的根，使最简公分母为0的根是原方程的增根，必须舍去.
(4)写出原分式方程的解.
新课引入
例1 解方程
解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2) ，约去分母，得
(x－2)＋4x－2(x＋2)＝ (x＋2)(x－2) ．
整理后，得x2－3x＋2＝0．
解这个方程，得x1＝1，x2＝2．
检验：把x＝1代入(x＋2)(x－2)，它不等于0，所以x＝1是原方程的根 ，
把x＝2代入(x＋2)(x－2)它等于0，所以x＝2是增根．
∴ 原方程的根是x＝1．
新知学习
例2 一组学生组织春游，预计共需费用120元.后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元.问原来这组学生的人数是多少
分析：设原来这组学生的人数是x人，把信息整理成下表：
总费用/元 人数/人 每人费用/元
原来
现在
等量关系：原来每人的费用-现在每人的费用=3
解：设原来这组学生的人数是x人，由题意得，
两边同乘x(x+2)，整理，得，
x2+2x－80=0.
解这个方程，得，
x1=-10，x2=8.
经检验x1=-10，x2=8都是原方程的根，但x1=-10不符合题意，所以取x=8.
答：原来这组学生是8人.
例3 在高速公路上，A，B两地间的距离为300千米，中巴车每小时比大客车多行20千米，因而行驶全程少用45分钟，求两车的速度.
分析：设大客车每小时行驶x千米，则中巴车每小时行驶(x+20)千米．则把题中信息整理成下表:
路程 速度 时间
大客车
中巴车
300
300
x
x+20
x
300
x+20
300
大客车时间-中巴车
时间=
等量关系：
解：设大客车每小时行驶x千米，则中巴车每小时行驶(x+20)千米.
根据题意，得
＝
方程两边同乘以 4x(x+20)，整理，得
x2+20x-8000=0
解这个方程，得x1=80 ，x2=-100
不符合题意，应舍去，所以 x=80.
x
300
x+20
300
经检验，x1=80 ，x2=-100 都是原分式方程的根，但 x2=-100
-
4
3
∴ x+20=100
解可化成一元二次方程的分式方程的应用与一元二次方程的应用主要区别是：
要进行双检验
一是检验方程的解是否为分式方程的解，
二是检验方程的解是否有实际意义．
归纳
注意：
解分式方程验根时，只需把求得的整式方程的根代入最简公分母，若最简公分母为0，则是增根 ，应舍去 ；若最简公分母不为0,则是原方程的根 .
1.解方程
解：方程两边都乘以x(x－1) ，约去分母，得
5(x－1)－x＝x(x－1) ．
整理后，得x2－5x＋5＝0．解这个方程，得x1＝，x2＝．
检验：把x1、x2分别代入x(x－1)， 它不等于0，
∴ 原方程的根是x1＝，x2＝．
随堂练习
2.某校为了进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵20元，购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的2 000元要多，多出的部分能购买25副乒乓球拍．
(1)若每副乒乓球拍的价格为x元，用含x的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用；
(2)若购买的两种球拍数量一样，求x的值．
(1)若每副乒乓球拍的价格为x元，则该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用为(4 000＋25x)元．
(2)若购买的两种球拍数量一样，根据题意得：
解得x1＝40，x2＝－40.
经检验，x1＝40，x2＝－40都是原方程的解，
但x2＝－40不合题意，应舍去．故x＝40.
3. 某空调厂的装配车间,原计划用若干天组装150台空调,厂家为了使空调提前上市,决定每天多组装3台,这样提前3天超额完成了任务,总共比原计划多组装6台,问原计划每天组装多少台
解:设原计划每天组装x台.依题意,得
化简得x2+5x-150=0,
解得x1=-15,x2=10.
经检验x1=-15，x2=10均是原方程的解,但x1=-15不合题意,舍去.
答:原计划每天组装10台.
4. 某顾客第一次在商店买若干件小商品花去5元, 第二次再去买该小商品时, 发现每一打(12件)降价0.8元, 他比第一次多买了10件, 这样, 第二次共花去2元, 且第二次买的小商品恰好成打, 问他第一次买的小商品是多少件？
解: 设他第一次买的小商品为x件. 根据题意, 可列方程：
去分母, 整理得 x2-35x-750=0．
解得 xl＝50, x2=-15．
经检验, xl＝50, x2＝-15都是原方程的根．
但 x＝-15不合题意, 舍去, 所以只取 x=50．
答: 他第一次买小商品50件．
5.船航行于相距32千米的两码头之间，逆水比顺水多用12个小时，若水流速度比船在静水中的速度少2 km/h，求水流速度及船在静水中的速度
解：设船在静水中的速度是x km/h，则水流速度是(x-2) km/h，船在逆水时速度是［x-(x-2)］km/h，船在顺水时速度是［x+(x-2)］km/h.
解得x=5，经检验x=5是方程的根
x-2=5-2=3（km/h），
答：水流速度是3 km/h，船在静水中的速度为5 km/h.
用分式方程解决实际问题时要注意以下几点：
(1)明确题目中的等量关系：
一般会出现“相等”或“相差多少”等词语，可以根据这些等量关系列出分式方程；
(2)分式方程的检验：
除了要检验它的解是否是增根，还要看它的解是否符合实际情况．
课堂小结
