(共24张PPT)
18.1.1 勾股定理及其证明
八年级下
沪科版
1.知道勾股定理的探索过程和面积证明.
2.会用勾股定理进行简单的计算 .
学习目标
重点
难点
相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.
新课引入
A
B
C
思考
问题1 图中三个正方形A、B、C的面积有什么关系？
新知学习
A
B
C
一直角边2
另一直角边2
斜边2
+
=
问题2 图中三个正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么关系？
问题3 一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形S1、S2、S3
是否也有类似的面积关系？(网格中每个小方格的面积均为1)：
┐
b
a
c
S1
S2
S3
(1)
┐
b
a
c
S1
S2
S3
(2)
观察图(1)，并填写:
S1=_______个单位面积；
S2=_______个单位面积；
S3=_______个单位面积.
9
9
18
┐
b
a
c
S1
S2
S3
(1)
┐
b
a
c
S1
S2
S3
(2)
观察图(2)，并填写:
S1=_______个单位面积；
S2=_______个单位面积；
S3=_______个单位面积.
9
16
25
a
b
b
c
a
b
c
a
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题1吧.
a
b
c
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
赵爽弦图
b-a
证明：
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证明：
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4× ab+c2
=c2+2ab，
a
a
b
b
c
c
A
D
C
B
E
证法3 伽菲尔德总统巧证勾股定理.
a
b
c
青入
青方
青
出
青出
青入
朱入
朱方
朱出
刘徽青朱出入图
课外链接
设大正方形的面积为 S，则 S=c2. 根据“ 出入相补， 以 盈 补 虚” 的原理， 有S=a2+b2，所以 a2+b2=c2
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
(a、b、c为正数)
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
公式变形：
勾股定理
归纳
a
b
c
例 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的
对边分别是a，b，c.
(1)已知a＝b＝6，求c；
(2)已知c＝3，b＝2，求a；
(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.
解：(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6，
∴由勾股定理，得
(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2，
∴由勾股定理，得
(3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b.
又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，
解得b＝
当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解.
勾股定理的变形公式： a2=c2－b2； b2=c2－a2
基本思想方法： 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范 .
方法总结：
1.在△ABC中，∠B＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，
则a，b，c的关系是( )
A．a2＋b2＝c2
B．a2＋c2＝b2
C．b2＋c2＝a2
D．a2＝(c＋b)(c－b)
B
随堂练习
2.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD是底边上的高，若AB＝5cm，BC＝6 cm，则AD＝____ cm.
4
BD＝DC，∠ADB=90°
BD＝3
在直角三角形ABD中，AD +BD =AB
代入数值得，AD +3 =5
AD ＝16
∵AD>0
∴AD=4
(1)若a：b=1：2 ，c=5,求a;
(2)若b=15，∠A=30°,求a,c.
3.在Rt△ABC中， ∠C=90°.
解：
(1)设a=x,b=2x,根据勾股定理得
x2+(2x)2=52，
解得
(2)
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理得
(2x)2-x2=152，
解得
已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.
4. 如图，求出下列直角三角形的一直角边长和斜边的长度，求三角形的面积.
5
13
解：由勾股定理可知，△ABC 的三边满足
AB2 + BC2 = AC2
即，AB2 + 52 = 132
AB2 + 25 = 169
AB2 = 169 - 25
AB2 = 144
则 AB = 12
B
C
A
S△ABC = 12×5÷2= 30
内容
在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有
勾股定理
注意
1.在 三角形中
2.看清哪个角是直角
3.已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要
课堂小结
a2+b2=c2.
直角
分类讨论
实践与拓展
勾股定理在很多国家的文献中被称为毕达哥拉斯定理，下面是几种常用的定理证明的方法，你还能找到其他的证明方法吗？请同学们课后整理并在下节课分享.(共25张PPT)
18.1.2 勾股定理的应用
八年级下
沪科版
1. 会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.
2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.
学习目标
重点
重点
波平如镜一湖面，3尺高处出红莲.亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边.离开原处6尺远，花贴湖面像睡莲.请君动脑想一想，湖水在此深几尺
生活中的勾股定理无处不在，这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题.
新课引入
例1 现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上 的云梯救人，如图 (1). 已知云梯最多只能伸长到 10 m，消防车高3m. 救人时云梯伸至最长，在完成从9 m高处救人后，还要从12 m高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米？(精确到0.1m)
新知学习
分析：如图(2)，设A是云梯的下端点，AB是伸长后的云梯，B是第一次救人的地点，D是第二次救人的地点，过点A的水平线与楼房ED的交点为O .则OB=9-3 = 6(m) , OD =12-3 = 9(m).
根据勾股定理，得
AO2 = AB2 - OB2 = 102 -62 = 64.
解方程，得 AO = 8(m).
设AC =x，则OC = 8-x，于是根据勾股定理，得
OC2 + OD2 = CD2，
即(8 -x)2 +92 = 102， 从而可以解出x≈3.6
例2 已知：如图, 在Rt △ABC中，两直角边AC = 5, BC = 12. 求斜边上的高CD的长
┐
A
B
C
D
┐
解：在Rt△ABC中，
AB2 =AC2 +BC2 = 52 + 122 = 169,
AB = = 13．
又∵ Rt△ABC的面积
总结：求直角三角形中的高
可以利用等面积法.
归纳
1. 数学思想
实际问题
数学问题
转化
建模
2. 注意：运用勾股定理解决实际问题时
① 没有图的要按题意画好图并标上字母；
② 有时必须设好未知数，并根据勾股定理列出相应的方程才能求出答案.
这是我们刚上课时提出的问题，现在你会算了吗？
波平如镜一湖面，3尺高处出红莲.亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边.离开原处6尺远，花贴湖面像睡莲.请君动脑想一想，湖水在此深几尺
思考
解：设水深为h尺.
由题意得：AC=3,BC=6,OC=h,
由勾股定理得：
归纳
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理列方程；
（4）解决实际问题.
数学问题
直角三角形
勾股定理
实际问题
转化
构建
利用
决解
例3 圆柱石凳上B处有食物，一只在A处的蚂蚁想吃到食物，它从A处爬向B处，怎么走最近？
（已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3）
B
A
B
A
3
O
12
侧面展开图
12
3π
A
B
A'
A'
分析
解：在Rt△ABA′中，由勾股定理得：
解决几何体表面上两点之间最短路线问题的关键是把立体图形转化为平面图形，具体步骤为：
1、把立体图形展开成平面图形；
2、确定最短路线；
3、确定直角三角形；
4、根据直角三角形的边长，利用勾股定理求解.
归纳
两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点
思考
在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A ′ B ′ C ′ 中，∠C=∠C ′=90°，AB=A′ B ′，AC=A′ C′ ．
求证：△ABC≌△A ′B ′C′ ．
A
B
C
A
B
C′
′
′
证明：在Rt△ABC 和Rt△A ′B ′C ′中，
∠C=∠C′=90°，
根据勾股定理得
A
B
C
A
B
C′
′
′
1.如图，由于台风的影响，一棵树在离地面6 m处折断，树顶落在离树干底部8 m处，则这棵树在折断前(不包括树根)的长度是( )
A．8 m
B．10 m
C．16 m
D．18 m
C
随堂练习
∵折断部分与地面和未折断部分形成一个直角三角形
∴6 +8 =10
∴折断部分的长度是10m
这棵树在折断前的长度=未折断部分+折断部分=10+6=16m
2.如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了( )
A.4米
B.6米
C.8米
D.10米
C
∵地面与墙面形成一个直角，
∴在直角三角形ABC中，AB=25,BC=7
∴根据勾股定理AC=24
∵在直角三角形A1B1C中，A1C=AC-AA1,AA1=4
∴A1C=20,
∵云梯长度不变∴AB=A1B1=25
∴根据勾股定理得,B1C=15
∴BB1=B1C-BC=15-7=8
A
B
C
A1
B1
3.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何．”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长．若设AC＝x，则可列方程为_______________．
x2+32=(10-x)2
4.如图是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少.
A
B
2
1
A
B
C
解：由题意得AC =2，BC=1,
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AB = AC + BC =2 +1 =5，
∴AB=，即最短路程为 .
5.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 说明理由.
A
B
C
D
2米
2.3米
CH＝0.6＋2.3＝2.9(米)＞2.5(米).
答：卡车能通过厂门．
解：在Rt△OCD中，∠CDO=90°，
由勾股定理，得
A
B
M
N
O
C
┏
D
H
2米
2.3米
CD＝
6. 如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接 M，O，Q 三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本是 5000 万元/km，该沿江高速的造价预计是多少？
M
O
Q
N
P
30km
40km
50km
120km
解：MO2 = MN2 + NO2 = 302 + 402 = 900 + 1600 = 2500
即 MO = 50 km，
OQ2 = OP2 + PQ2 = 502 + 1202 = 2500 + 14400 = 16900
即 OQ = 130 km，
∴总造价预计为 5000×(50+130) = 900000 (万元).
M
O
Q
N
P
30km
40km
50km
120km
解决实际问题
的一般步骤
勾股定理
的应用
解决最短路径问题
的一般步骤
课堂小结
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理列方程；
（4）解决实际问题.
（1）把立体图形展开成平面图形；
（2）确定最短路线；
（3）确定直角三角形；
（4）根据直角三角形的边长，
利用勾股定理求解.
