18.2勾股定理的逆定理 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
18.2 勾股定理的逆定理
八年级下
沪科版
1.理解勾股定理逆定理的具体内容.
2.能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.
3.掌握勾股数的应用.
学习目标
重点
难点
难点
在古代，人类还没有发明出直角尺、圆规、量角器等作图工具，人们是怎么画直角三角形的呢？
古埃及人在建造金字塔的时候，就面对这样一个问题：该如何得到一个直角？
不借助任何工具，你能画出一个直角吗？
新课引入
据说，几千年前的古埃及人就已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的13个结，然后，用钉子将第1个与第13个结钉在一起，拉紧绳子, 再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，如图. 这样围成的三角形中，最长边所对的角就是直角.
新知学习
用圆规、直尺作△ABC，使AB=5，AC=4，BC=3，如图，量一量∠C，它是90°吗？
为什么用上面三条线段围成的三角形,就一定是直角三角形呢
思考
这个问题意味着，如果围成的三角形的三边长分别为3，4，5，它们满足关系“32＋42=52”，那么围成的三角形是直角三角形.
画画看，如果三角形的三边长分别为2.5 cm，6 cm，6.5 cm，它们满足关系“2.52＋62=6.52”，画出的三角形是直角三角形吗
换成三边分别为4 cm，7.5 cm，8. 5 cm，再试一试.
画出的三角形是直角三角形.
画出的三角形也是直角三角形.
由上面几个例子，我们猜想：
命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
你能证明吗？
△ABC≌ △ A′B′C′ 　　
？
∠C是直角　　　
△ABC是直角三角形　　
A　
B　
C　
a
b
c
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′
证一证:
证明：如图，作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)，
∴∠C= ∠C′=90° ， 即△ABC是直角三角形.
则
A
C
a
B
b
c
归纳
勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
符号语言：
∵a2 + b2 = c2 ，
∴∠C = 90°.
A
B
C
a
b
c
例1 根据下列三角形的三边a，b，c的值，判断△ABC是不是直角三角形. 如果是，指出哪条边所对的角是直角.
(1)a=7，b=24，c=25；
解：(1)∵最大边是c=25，c2=625，
a2+b2=72 +242 =625 ，
∴ a2+b2＝c2
∴△ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角.
(2)a=7，b=8，c =11.
(2) ∵最大边是c=11，c2=121，
a2+b2=72 +82 =113 ，
∴ a2+b2 ≠ c2
∴△ABC不是直角三角形 .
方法总结：1. 勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一个依据，在判定时不能说“在直角三角形中”“直角边”“斜边”，因为还没有确定是直角三角形 .
2.a2+b2=c2 只是一种表现形式，满足a2=b2+c2或b2=a2+c2的也是直角三角形，只是这时a或 b 为斜边 .
利用边的关系判定直角三角形的步骤
(1) “找”： 找出三角形三边中的最长边 .
(2) “算”： 计算其他两边的平方和与最长边的平方 .
(3) “判”： 若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是 .
归纳
例2 已知：在△ABC中，三条边长分别为a=n2 – 1，b=2n，c=n2+1（n＞1，n为正整数）.求证：△ABC为直角三角形.
证明 ∵a2+b2=（n2 – 1）2+（2n）2
= n4 – 2n2+1+4n2
= n4+2n2+1
= （n2+1）2=c2
∴△ABC为直角三角形.（勾股定理的逆定理）
像这样能构成直角三角形的三条边的三个整数，你知道叫做什么吗
1.勾股数 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，叫做勾股数 .
2.勾股数必须同时满足两个条件：
(1)三个数都是正整数；
(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方 .
归纳
3. 判别一组数是否为勾股数的一般步骤
(1)“看”： 看是不是三个正整数 .
(2)“找”： 找最大数 .
(3)“算”： 计算最大数的平方与两个较小数的平方和 .
(4)“判”： 若两者相等，则这三个数是一组勾股数，否则，不是一组勾股数 .
例3 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，
CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.
解:连接BD.在Rt△ABD中,
由勾股定理得 BD2=AB2+AD2,
∴BD=5m.
又∵CD=12cm，BC=13cm,
∴BC2=CD2+BD2，△BDC是直角三角形.
∴S四边形ABCD=SRt△BCD - SRt△ABD
= BD·CD - AB·AD=24 (cm2).
C
B
A
D
归纳
求不规则图形的面积解题思路：
用割补法，将不规则图形转化成规则图形，再求解。
C
B
A
D
补：
A
D
B
C
割：
勾股定理与其逆定理的关系
定理 勾股定理 勾股定理的逆定理
区别 (1)勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边长的关系，即 a2+b2=c2( c 为斜边长)；
(2)勾股定理是根据直角三角形探求边的关系，体现了由形到数的转化 (1)勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边长 a， b， c 满足 a2+b2=c2”为条件，进而得到这个三角形为直角三角形；
(2)勾股定理的逆定理是由三角形的三边关系探求三角形的形状，体现了由数到形的转化
联系 勾股定理和勾股定理的逆定理的条件和结论相反，勾股定理是直角三角形的性质，而其逆定理是直角三角形的判定，勾股定理及其逆定理都与直角三角形有关 1.下列四组数中，不是勾股数的一组是（ ）
A.5,12,13 B.3,4,5 C.6,8,10 D.6,7,8
D
2. 一个三角形的三边的长分别是 15cm，20cm，25cm，则这个三角形的面积是 ( ) cm2.
A. 250 B. 150 C. 200 D. 不能确定
B
随堂练习
∵15 +20 =25
∴这个三角形为直角三角形，斜边长为25cm，直角边分别为15cm，20cm
∴三角形面积=15×20÷2=150cm2
3. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=15，AC=17，以AB为直径作半圆，则此半圆的面积为________.
16π
A
B
C
17
15
AB=8
4.如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.
A
D
B
C
3
4
13
12
解：连接AC.
在Rt△ABC中，
在△ACD中，
AC2+CD2=52+122=169=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
且∠ACD=90°.
∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.
A
D
B
C
3
4
13
12
5. 一艘在海上朝正北方向航行的轮船，在航行 240 海里时方位仪坏了，凭经验，船长指挥船左转 90°，继续航行 70 海里，则距出发地 250 海里，你能判断船转弯后，是否沿正西方向行驶？
A
B
C
北
解：船转弯后，是沿正西方向航行的. 理由如下：
由题意画出相应的图形，依题意可知：
AB = 240 海里，BC = 70 海里，AC = 250 海里.
在△ABC 中
AC2 - AB2 = 2502 - 2402
= 4900 = 702 = BC2
即，AB2 + BC2 = AC2，所以△ABC 是直角三角形，且∠ABC = 90°.
所以，是沿正西方向航行的.
答：船转弯后，是沿正西方向航行的.
A
B
C
北
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长 a,b,c 满足a2+b2=c2,
那么这个三角形是直角三角形.
勾股数：满足 a2+b2=c2 的三个正整数
课堂小结