(共30张PPT)
19.2.1 平行四边形的
边角性质
八年级下
沪科版
1. 理解平行四边形的定义及有关概念
2. 能根据定义探索并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质.
3. 初步体会几何研究的一般思路与方法；
4. 掌握平行四边形边角性质的证明和应用.
学习目标
重点
重难点
难点
这些都是日常生活中常见的情形，您能举出一些实例吗？
这些物体都是什么形状？
新课引入
在小学,我们已学过：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形,
如图，平行四边形用“□ ”表示，平行四边形ABCD
记作“□ABCD ”.
读作“平行四边形ABCD ”
新知学习
注意：
(1)表示平行四边形一定要按顺时针或逆时针依次注明各顶点，不能打乱顺序 .
(2) “ ”作为表示平行四边形的符号，不可单独使用它来代替“平行四边形” .
认识平行四边形的基本元素：
A
B
C
D
边
角
对角线
对边：AB 与 CD；AD 与 BC
邻边：如：AB 与 AD；AB 与 BC；
AD 与 DC；DC 与 BC
对角：∠ADC与∠ABC；∠BCD与∠BAD
邻角：如∠ABC与∠DAB；
∠BCD与∠ADC等
对角线：AC，BD
思考
由平行四边形的定义，你能得出它的什么性质？
性质：平行四边形的两组对边分别平行.
思考
平行四边形的定义既是它的一个性质，又是它的一种判定方法：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴
反过来，∵ ∴四边形ABCD是平行四边形 .
归纳
AB∥CD
AD∥BC
AB∥CD
AD∥BC
根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系 它的角之间有什么关系
探究
除此之外，平行四边形还有什么性质呢？
活动：将两个全等的三角形纸片相等的边重合在一起，你能拼出平行四边形吗？你能拼出几个？与同学交流你的拼法，并把它展示出来.
想一想：通过拼图你可以得到什么启示？
平行四边形的对边相等，对角相等.
这个结论正确吗？
你能验证这些猜想吗？
方法1：度量法
A
B
C
D
这个方法准确吗？
已知：四边形ABCD中，AB//DC，AD//BC.
求证：（1）AB=DC，AD=BC；
（2）∠DAB=∠DCB，∠B=∠D.
A
B
C
D
分析：上述猜想涉及线段相等、角相等.我们知道，利用三角形全等得出全等三角形的对应边、对应角都相等，是证明线段相等、角相等的一种重要的方法.为此，我们通过添加辅助线，构造两个三角形，通过三角形全等进行证明.
方法2：证明法
证明：
如图，连接AC.
A
B
C
D
(1) ∵AB∥DC，AD∥BC，
∴∠BAC =∠DCA，∠BCA =∠DAC.
在△ABC和△CDA中，
∠BAC =∠DCA，
AC = CA，
∠BCA=∠DAC.
∴△ABC≌△CDA.（ASA）
四边形问题
转化
三角形问题
(2) ∵由（1）知 △ABC ≌△CDA.
∴ AB = DC，AD = BC，∠B =∠D.
A
B
C
D
∠DAB =∠BAC +∠DAC
= ∠DCA+∠BCA
= ∠DCB.
解题思路：利用对角线把平行四边形分成两个全等的三角形，
将四边形的问题转化成三角形来解.
不添加辅助线、你能否直接运用平行四边形的定义,证明其对角相等
(2)证明2：如图，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，∠C+∠B=180°，
∴∠A = ∠C.
同理，可得∠B = ∠D.
A
B
C
D
归纳
平行四边形的性质：
性质1 平行四边形的两组对边分别相等.
性质2 平行四边形的两组对角分别相等.
∴ AD=BC ，AB=DC.
∵ 四边形ABCD是□ABCD，
∴ ∠ A=∠C，∠B=∠D.
∵ 四边形ABCD是□ABCD，
几何语言：
例1 已知 ： 如图， ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E.
(1)如果AE=2，求CD的长.
解：(1)∵BE平分∠ABC，并且AD ∥BC，
∴∠ABE=∠EBC= ∠AEB.
∴AB=AE=2.
又∵CD=AB，
∴CD=2.
A
B
C
D
E
总结：平行和角平分线结合，会产生等腰三角形.
(2)由(1)知∠AEB = ∠ABE = 40°，
∴∠A=180°- (40°+40°)=100°.
又∵∠C=∠A，
∴∠C=100°.
(2)如果∠AEB= 40°，求∠C的度数.
A
B
C
D
E
直线l1//直线l2，AB，CD是夹在直线l1，l2之间的两条平行线段.
探究
AB 是否等于CD？为什么？
l1
l2
A
C
B
D
距离是几何中的重要度量之一,前面我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离．在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，介绍两条平行线之间的距离.
l1
l2
A
C
B
D
E
F
┐
┐
由上面的结论可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.
两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离.
线段AE就是直线l1和直线l2之间的距离.
两条平行线之间的距离处处相等.如图，AE = CF.
由性质1 平行四边形对边相等.可得如下结论：
夹在两条平行线之间的平行线段相等.
三种距离之间的区别与联系
类别 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线间的距离
区别 连接两点的线
段的长度 点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度
联系 都归结为两点间的一条线段的长度 归纳
例2 已知：如图□ABCD 中，AB=4，AD=5，∠B=45°. 求直线 AD 和直线 BC 之间的距离，直线 AB 和直线 DC 之间的距离.
解：过点 A 作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点 E、点 F.
∴ 线段 AE，AF 的长分别为点 A到直线 BC 和直线 CD 的距离.
∴ 线段AE的长为直线 AD和直线 BC 之间的距离.
线段 AF 的长为直线 AB 和直线 CD 之间的距离.
A
B
C
D
4
5
45°
E
F
∵在 Rt△ABE 中，∠AEB=90°,
∠B=45°，AB=4
∴∠B=∠BAE,
∴BE=AE.
又∵AE2+BE2=AB2
∴2AE2=16.
∴AE=
A
B
C
D
4
5
45°
E
F
同理：AF= .
所以直线 AD 和直线 BC 之间的距离为 ，
直线 AB 和直线 CD 之间的距离为 .
思考
上题中，求AF的长度还有其他的解法吗？
还可以利用等面积法：
∵S□ABCD=AE BC=AF CD
∴AF=AE BC÷CD
平行四边形的面积公式=底×高
通常利用等面积法来求线段之间的距离.
例3 已知：如图，过 △ABC 的三个顶点，分别作对边的平行线，这三条直线两两相交，得 △A′B′C′ . 求证：△ABC 的顶点分别是△A′B′C′ 三边的中点.
分析:如图，要证明点 A 是 B′C′ 的中点，只要证明AB′ = AC′.
证明：∵AB∥B′C，BC∥AB′ ，
∴AB′ = BC.
同理：AC′ = BC,
∴AB′ = AC′.
同理：BC′ = BA′，CA′ = CB′.
所以 △ABC 的顶点分别是△A′B′C′ 三边的中点.
1. 在 □ABCD 中，若∠A -∠B = 40°，则∠A = ______，∠B = ______.
2. 若平行四边形周长为 54cm，两邻边之差为 5cm，则这两边的长度分别为 ____________．
110°
70°
16cm，11cm
随堂练习
分析：360°÷2=180°（性质2 平行四边形的两组对角分别相等.)
∠A+∠B =180°，
∴∠B =180°-∠A，又∵∠A -∠B = 40°
∴∠A=110°，∠B=70°
54÷2=27cm
（性质1 平行四边形的两组对边分别相等.）
设一条边为x,则其邻边为x-5
解方程：x+x-5=27，
得：x=16，x-5=11
3. 平行四边形两邻边分别为 24 和 16，若两长边间的距离为 8，则两短边间的距离为 ( )
A. 5 B. 6 C. 8 D. 12
D
A
B
C
D
16
24
E
F
根据题意画出如图所示：AB=CD=16,AD=BC=24,AE=8,求出AF
BC×AE=CD×AF,24×8=16×AF,AF=12
4.△ABC 是等腰三角形，AB = AC，P 是底边 BC 上一动点，PE∥AB，PF∥AC，点 E、F 分别在 AC、AB 上.
求证：PE + PF = AB.
证明：∵PE∥AB，PF∥AC，
∴四边形 AFPE 是平行四边形，
∴AF = PE，AE = PF，
∵AB = AC，
∴∠B =∠C.
∵PF∥AC，
∴∠FPB =∠C，
∴∠B =∠FPB，
∴BF = PF.
∵AB = AF+BF，
∴PE + PF = AB.
性质
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等.
平行四边形的
边、角性质
两条平行线
之间的距离
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．
课堂小结(共22张PPT)
19.2.2 平行四边形对角线的性质
八年级下
沪科版
1. 掌握平行四边形对角线互相平分的性质；
2. 经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想，体会图形性质探究的一般思路；
3. 平行四边形对角线性质的探究与应用.
学习目标
重点
难点
一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地． 由于年迈体弱，他决定把这块土地平分给他的四个孩子，他是这样分的:
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的地少
同学们，你认为老人这样分合理吗 为什么
新课引入
思考
如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点O. 图中共有几对全等三角形？有哪些线段相等？你能发现平行四边形的对角线有哪些性质？
猜想：OA = OC，OB = OD
新知学习
你能证明你的猜想吗？
在□ ABCD中，
∵ AB∥DC；
∴ ∠OAB =∠OCD，∠OBA =∠ODC.
又 AB = DC，
∴ △OAB ≌ △OCD.（ASA）
∴OA = OC，OB = OD．
证明：
归纳
性质3 平行四边形的对角线互相平分.
∵□ABCD对角线 AC，BD 相交于点 O
∴OA = OC，OB = OD．
几何语言：
我们证明了平行四边形具有以下性质：
1. 平行四边形的对边相等；
2. 平行四边形的对角相等；
3. 平行四边形的对角线互相平分.
平行四边形是中心对称图形，其对称中心是对角线的交点O.
平行四边形是轴对称图形还是中心对称图形？
不是轴对称图形,没有对称轴.
思考
前面问题中，老人分的土地面积相等吗？
验证
A
C
D
B
O
●
1. △ABO≌ △CDO，
△AOD ≌ △COB，
2. △AOB、 △AOD、 △DOC、 △COB的面积相等，且都等于平行四边形面积的四分之一.
拓展性质
(1) 平行四边形的一条对角线将平行四边形分成面积相等的两部分，两条对角线将平行四边形分成面积相等的四部分 .
(2) 若一条直线过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积 .
归纳
例 1 已知：□ABCD中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AB⊥AC，AB = 3，AD = 5，求 BD 的长.
解 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC = AD = 5.
∵ AB⊥AC，
∴ △ABC是直角三角形.
∴
AO = AC = 2．
∴
∴ BD = 2BO =
例2 如图，在 □ABCD 中，E、F 分别是 OA，OC 的中点. 试探究线段 BE 和 DF 有怎样的关系.
答案：BE = DF 且 BE∥DF.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD.
又∵E、F 分别是 OA、OC 的中点，
∴OE = EA，OF = FC，
∴OE = OF.
∵∠BOE = ∠DOF，
∴△BOE ≌ △DOF，
∴BE = DF，∠BEO = ∠DFO. ∴BE∥DF.
例3 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 作直线与 AD，BC 分别相交于点 E、F，求证：OE = OF.
证明：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ DO = BO，AD∥BC.
∴∠ODE =∠OBF.
∴△DOE≌△BOF.
∴ OE = OF.
∵∠DOE =∠BOF，
议一议：
1.在上述问题中，若直线 EF 与边 DA、BC 的延长线交于点 E、F（如图2），上述结论是否仍然成立？试说明理由．
●
O
D
C
B
A
E
F
(2)
●
●
2.上述问题中，若将直线 EF 绕点 O 旋转至下图(3) 的位置，上述结论是否仍然成立？
F
E
F
●
O
D
C
B
A
E
(1)
●
O
D
C
B
A
E
F
(3)
(3)
(4)
●
O
D
C
B
A
E
F
(4)
●
●
●
●
再变一变
过平行四边形的对角线交点 O 作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，所截得的线段总以点 O 为中点，且这条直线平分平行四边形的面积．
方法总结：
1. □ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于 O，若 AC = 8，BD = 6，则边 AB 长的取值范围是 _________.
1
2. □ABCD 的周长为 60cm，其对角线交于 O 点，若△AOB 的周长比△BOC 的周长多 10cm， 则 AB = ______，BC = ______.
20cm
10cm
随堂练习
三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
∴ AC+ BD>AB> AC+ BD（性质3 平行四边形的对角线互相平分）
∴1OA=OC（性质3 平行四边形的对角线互相平分）,OB公用，所以AB-BC=10cm①
AB+BC=60÷2=30cm②
联立①②得AB =20cm ，BC =10cm
3. 有下列说法：
①平行四边形具有四边形的所有性质；
②平行四边形是中心对称图形；
③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成 4 个面积相等的小三角形.
其中正确说法的序号是 ( ).
A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④
D
4. 如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 过点 O 且与 AB，CD 分别相交于点 E，F.
求证：OE = OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA=OC （平行四边形的性质）
∴∠EAO=∠FCO（两直线平行，内错角相等）
在△AOE和△COF中
∠AOE = ∠ COF﹙对顶角相等﹚
OA = OC
∠EAO = ∠FCO
∴ △AOE≌△COF （ASA ）
∴ OE = OF （全等三角形的对应边相等）
1. 我们学行四边形的哪些性质？
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对角线互相平分.
2. 结合本节的学习，谈谈研究平行四边形性质的思想方法.
研究平行四边形，常常把它转化为三角形问题.
课堂小结(共34张PPT)
19.2.3 平行四边形的判定
八年级下
沪科版
1.探索并证明平行四边形的判定定理.
2.能熟练运用平行四边形的判定定理去计算和证明.
学习目标
重点
难点
1. 平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2. 平行四边形的性质：
对边相等，对角相等，对角线互相平分.
该怎样判定一个四边形是平行四边形？
新课引入
将线段AB按图中所给的方向和距离，平移成线段A′B′，顺次连接A，B，B′，A′，构成一个一组对边平行且相等的四边形ABB′A′ ，你能说出它一定是平行四边形吗？为什么？
思考
新知学习
问题1 如何寻找平行四边形的判定方法？
类比直角三角形的判定，你有思路了吗？
问题2 在过去的学习中，类似的情况还有吗？请举例说明.
两直线平行，同位角相等.
同位角相等，两直线平行.
角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
我们发现：性质和判定互为逆命题.
性质
判定
平行四边形的性质 猜 想 (判 定)
对边相等
对角相等
对角线互相平分
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
逆向思考，提出猜想：
这些猜想正确吗？
活动1：用两根长 30 cm 的木条和两根长 20 cm 的木条作为四边形的四条边，能否拼成一个平行四边形？与同伴进行交流.
20 cm
30 cm
猜想1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
证明：连接AC
∵AB=CD,AD=CB,AC=CA,
∴△ABC≌△CDA,
∴∠ACB=∠CAD,
∴AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
归纳
平行四边形的判定
定理3： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
符号语言描述：
在四边形ABCD中，
∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
D
A
C
例1 如图，AB = DC = EF，AD = BC，DE = CF.
求证：AB∥EF.
证明：∵AB = DC，AD = BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
∴AB∥DC.
又∵DC = EF，DE = CF，
∴四边形 DCFE 也是平行四边形.
∴DC∥EF.
∴AB∥EF.
猜想2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
如图，在四边形 ABCD 中，∠A = ∠C，∠B = ∠D.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
证明：∵∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
∠A = ∠C，∠B = ∠D，
∴∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°.
∴AD∥BC，AB∥DC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
思考：我们可以从对角的关系出发来判定一个四边形是否为平行四边形吗？
归纳
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形判定定理2：
A
B
C
D
数学语言：
∵ ∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形.
如图，作两条直线l1， l2相交于点O，在直线l1 上截取OA=OC，在直线l2 上截取OB=OD，连接AB，BC，CD，DA. 这样画出的四边形ABCD的对角线互相平分，它是平行四边形吗？为什么？
思考
活动2： 将两根木条 AC，BD 的中点重叠，并用钉子固定，再用一根橡皮筋绕端点 A，B，C，D 围成一个四边形.
想一想，△AOB 与 △COD 全等吗？四边形 ABCD 的对边之间有什么关系？你得到什么结论？
A
C
B
O
D
证明：∵OA=OC，OD=OB,∠AOD=∠COB，
∴△ AOD≌△COB.
∴AD=CB,
∴△ ABC≌△CDA
∴AB=CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
猜想3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
归纳
平行四边形的判定
定理4： 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
符号语言描述：
在四边形ABCD中，
∵AO=CO,DO=BO,
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
O
D
A
C
例2 已知：如图，点E，F是 ABCD的对角线AC上两点，且AE＝CF.
求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO.
∵AE=CF，
∴OE=AO -AE=CO -CF=OF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
B
D
A
C
E
F
O
变式 如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别在 AC 两侧的延长线上，且 AE=CF. 求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
O
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD，
∵AE = CF，OE = AO + AE，OF = OC + CF，
∴OE = OF，
又∵OB = OD，
∴四边形 BFDE 是平行四边形.
由上我们知道，平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理.也就是说，当定理的条件与结论互换以后,所得命题仍然成立.
这张图揭示了定义、性质、判定间的逻辑关系，提供了研究几何图形的一般思路.
思考：我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢
活动3：将两根同样长的木条 AD，BC 平行放置，再用木条 AB，DC 加固，得到的四边形 ABCD 是平行四边形吗？
A
B
C
D
已知：如图，在四边形ABCD中， AB//CD，且AB=CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
D
A
B
C
证明：连接AC.
∵ AB∥DC ， ∴∠BAC=∠DCA.
又 AB=CD，AC=CA.
∴ △ABC ≌ △CDA .
∴∠ACB=∠CAD. ∴ AD∥BC .
因此，四边形ABCD是平行四边形.
猜想4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
归纳
平行四边形的判定
定理1： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
符号语言描述：
在四边形ABCD中，
∵AB CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
D
A
C
[注意] 判定方法中平行且相等的必须是同一组对边
一组对边平行而另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
不一定
A
B
C
D
延伸
例3 已知：如图,在 ABCD中，E，F分别为AD和CB的中点.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB(平行四边形的对边相等),AD∥CB(平行四边形的定义）
∵E，F分别是AD和CB的中点，
∴ED＝FB，ED∥FB.
∴四边形DFBE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
判定一个四边形是平行四边形可从哪些角度思考？
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
从边考虑
从角考虑
从对角线考虑
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
归纳
1.下列四边形是平行四边形的有 _________.
(4)
A
D
C
B
110°
70°
110°
(3)
(1)
A
B
C
D
O
5cm
5cm
4cm
4cm
4.8cm
B
A
D
C
4.8cm
7.6cm
7.6cm
A
B
C
D
120°
60°
(2)
5cm
5cm
70。
(1) (2) (3) (4)
随堂练习
2.填空：如图，在四边形ABCD中.
（1）若AB//CD，补充条件 ，使四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AB=CD，补充条件 ，使四边形ABCD为平行四边形；
（3）若对角线AC、BD交于点O，OA=OC=3，OB=5，补充条件_________，使四边形ABCD为平行四边形.
AD//BC或AB=CD
AD=BC或AB//CD
OD=5
B
O
D
A
C
3.如图，是中国邮政与西班牙邮政联合发行的一种特殊四边形邮票，小华想对它的形状进行判断，于是测量得到AB＝CD，AD∥BC，且邮票的两锐角度数相等，请你判断这张邮票的形状并说明理由．
解：这张邮票的形状为平行四边形，理由如下：
∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，
由题意，得∠B＝∠D，
∴∠A＋∠D＝180°，∴AB∥CD，
∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．
∴这张邮票的形状为平行四边形．
4.如图，四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
证明：∵四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形，
∴AD = EF，AD∥EF，BC = EF，BC∥EF，
∴AD = CB，AD∥CB，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
5.如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，AF与EB相交于点G，CE与DF相交于点H，试说明四边形EGFH为平行四边形．
∴四边形EGFH为平行四边形
解：在 ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
∵E，F分别为AD，BC的中点，
∴AE∥FC，AE＝FC，ED∥BF，ED＝BF，
∴四边形AFCE，EBFD都是平行四边形，
∴AF∥EC，BE∥FD，即GF∥EH，GE∥FH，
6.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．
解：四边形ABFC是平行四边形；理由如下：
∵AB∥CD，∴∠BAE=∠CFE，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，在△ABE和△FCE中，
∴△ABE≌△FCE（AAS）；
∴AE=EF，
又∵BE=CE
∴四边形ABFC是平行四边形．
平行四边形
的判定
判定1
判定3
判定2
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
课堂小结
判定4
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
定义
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.(共22张PPT)
19.2.4 三角形的中位线
八年级下
沪科版
1. 理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理的内容；
2. 证明三角形的中位线定理．
学习目标
重点
如图，一个农夫有一块三角形的地，准备分成面积相等的四块，用来种植四种不同的农作物，请设计合理的解决方案.
A
B
C
新课引入
例1 已知，直线 l1，l2，l3 互相平行，直线 AC 和直线 A1C1 分别交直线 l1，l2，l3 于点A，B，C 和点A1，B1，C1，且 AB = BC.
求证：A1B1 = B1C1.
l1
l2
l3
A
B
C
A1
B1
C1
新知学习
l1
l2
l3
A
B
C
A1
B1
C1
证明 过点B1作EF//AC，分别交直线l1，l3于点E，F.
E
F
∴ 四边形ABB1E，BCFB1都是平行四边形.
∵ AB = BC，
∴ EB1 = B1F.
又∵ ∠A1EB1 = ∠B1FC1，∠A1B1E =∠C1B1F，
∴ △A1B1E ≌ △C1B1F.
∴ A1B1=B1C1.
归纳
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
推论：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边．
问题1：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗
问题2：连接每两边的中点，看看得到了什么样的图形？
四个全等的三角形！
合作探究
定义：如图，△ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，连接 DE. 像 DE 这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
概念学习
② 如果 DE 为△ABC 的中位线，那么 D、E 分别为 AB、AC 的 .
① 如果 D、E 分别为 AB、AC 的中点，那么 DE 为△ABC 的 ；
中位线
中点
两层含义：
F
D
A
B
C
1. 画出△ABC 中所有的中位线.
2. 画出三角形的所有中线，并说出中线和中位线的区别.
E
活动：
三角形的中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形的中位线则是连接两边中点的线段；
DE 与 BC 之间有什么位置关系和数量关系？
请同学们测量
(1)∠ADE，∠B 的度数；
(2) DE，BC 长度.
1.测量法：
例 2 已知：如图，点 D，E 分别为△ABC 的边 AB，AC 的中点.
求证：DE // BC，且 DE = BC.
A
B
C
D
E
(E′)
F
证明 过点 D 作 DE′ // BC，DE′交 AC 于点 E′.
根据例 1 得到的结论，点 E′ 应与点 E 重合.
∴ DE // BC.
同理，过点 D 作 DF // AC，DF 交BC 于点 F，则点 F 为 BC 的中点.
∴ 四边形 DFCE 为平行四边形.
∴ DE = FC = BC.
2.证明法①：
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
归纳
符号语言：
在 △ABC 中，
∵D、E 分别是边 AB、AC 的中点，
∴DE∥BC，且 DE = BC.
A
D
E
B
C
特别解读：
(1) 从条件看，以后我们看到中点，尤其是两个或者两个以上的中点时，就要联想到三角形的中位线定理；
(2) 从结论看，它既可以得到线段的位置关系 (平行)，又可以得到线段的数量关系 (倍分关系)，大家以后在解决相关问题时要两方面结合起来灵活应用.
已知：△ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点.
求证：DE∥BC，且 DE = BC.
A
D
E
B
C
你能通过添加其它的辅助线来证明三角形的中位线定理吗？
证明法②：
A
D
E
B
C
F
∵D，E 分别是边 AB，AC 的中点，
∴AD = BD，AE = EC，
∵EF = DE，AE = EC，∴四边形 ADCF 是平行四边形.
∴AD∥CF，AD = CF，
∵BD = AD，∴BD∥CF，BD = CF.
∴四边形 BDFC 是平行四边形.
∴DF∥BC，DF = BC，
∵EF = DE，∴DE∥BC，且 DE = BC.
证明：延长 DE 至点 F，使得 EF = DE，连接 DC，CF，AF，
一个四边形，连接各边中点得到的图形，是什么图形？
A
B
C
H
D
E
F
G
如图所示，利用中位线的性质，可以判断是平行四边形.
思考
1.如图，在△ABC 中，∠C = 90°，AC = 8，CB = 6，D、E、F 分别是 BC、AC、AB 的中点，Rt△ABC 的中位线分别是 ________；斜边上的中线是 ________；则四边形 AEDF 的周长为 ______；.
18
DE，DF
CF
随堂练习
DF=AE= AC ，ED=AF= AB
2. 如图，△ABC 的周长为 64，E、F、G 分别为 AB、AC、BC 的中点，A'、B'、C' 分别为 EF、EG、GF 的中点，△A'B'C' 的周长为_________. 如果△ABC、△EFG、 △A'B'C' 分别为第 1 个、第 2 个、第 3 个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第 n 个三角形的周长是__________________.
16
3. △ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 的中点，若 DE = 4，AD = 3，AE = 2，则 △ABC 的周长为 _______.
第 2 题图
18
4.如图，A，B 两点被池塘隔开，在 AB 外选一点 C，连接 AC，BC. 怎样测出 A，B 两点间的距离？根据是什么？
解：分别取 AC，BC 的中点 D，E，连接 DE，并量出 DE 的长，则AB = 2DE.
根据三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
D
E
5. 已知：△ABC 的中线 BD、CE 交于点 O，F、G 分别是 OB、OC 的中点. 求证：四边形 DEFG 是平行四边形.
证明：∵BD、CE 是 △ABC 的中线，
∴DE 是 △ABC 的中位线，
∴DE∥BC，且 DE = BC.
又∵F、G 分别是 OB 、OC 的中点，
∴FG 是 △OBC 的中位线，
∴FG∥BC，且 FG = BC.
∴DE∥FG，且 DE = FG，∴四边形 DEFG 是平行四边形.
6. 已知：如图，△ABC 中，D 是 BC 边的中点，AE 平分∠BAC，BE⊥AE 于 E 点，若 AB = 5，AC = 7，求 ED．
∵E 为 ∠BAC 的角平分线上的一点，且 BE⊥AE，
∴△ABE ≌ △AFE (ASA)，
∴BE = FE，AB = AF
∴DE 为 △BCF 的中位线，
∴DE = CF = (CA - FA) = ×2 = 1
F
证明：延长 BE，交 AC 于 F，
课堂小结
定义
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形的
中位线
定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.