(共27张PPT)
第1课时
矩形的性质
八年级下
沪科版
1. 理解矩形的概念，了解矩形与平行四边形之间的关系.
2. 探索并证明矩形的性质.
3. 运用矩形的性质定理解决相关计算或证明问题.
学习目标
难点
重点
新课引入
电脑，pad的显示屏是什么形状？
长方形跟我们前面学行四边形有什么关系？
思考
活动1：
利用活动的平行四边形教具演示，使平行四边形的一个内角变化，请同学们注意观察.
长方形（矩形）
新知学习
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也叫做长方形.
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
归纳
矩形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是矩形.
思考
因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
性质 边 角 对角线 对称性
矩形
对边平行
且相等
对角相等
对角线互相平分
中心对称图形
活动2：
准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果.
A
B
C
D
O
AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠AOD ∠AOB
橡皮擦
课本
桌子
物体
测量
（实物）
（形象图）
（2）根据测量的结果,你有什么猜想？
猜想1 矩形的四个角都是直角.
猜想2 矩形的对角线相等.
你能证明吗？
例1 如图，四边形 ABCD 是矩形,∠ABC= 90°，对角线AC与DB相交于点O.求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC =∠CDA，∠BCD =∠DAB（矩形的对角相等），
AB∥DC（矩形的对边平行），
∴∠ABC +∠BCD=180°.
又∵∠ABC=90°，
∴∠BCD=90°.
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.
A
B
C
D
O
求证：（2）AC = DB.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB = DC （矩形的对边相等），
在 △ABC 和 △DCB 中，
∵AB = DC，∠ABC = ∠DCB，BC = CB，
∴△ABC ≌ △DCB.
∴AC = DB.
A
B
C
D
O
矩形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
归纳
定理 矩形的四个角都是直角.
定理 矩形的对角线相等.
几何语言描述：
在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
故∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°，AC = DB.
A
B
C
D
O
针对训练
1.已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC.求证：CE=EF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，且AD∥BC.
∴∠1=∠2.
∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°.
∴∠B=∠AFD.
你还有其他解法吗？
又 AD=AE，
∴△ABE≌△DFA（AAS）.
∴AF=BE.
∴EF=EC.
此题还可以连接DE，
证明△DEF≌△DEC，
得到EF＝EC.
2.如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，AE = AD，DF⊥AE，垂足为 F. 求证：DF = DC.
A
B
C
D
F
证明：连接 DE.
E
∵AD = AE，∴∠AED =∠ADE.
∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD∥BC，∠C = 90°.
∴∠ADE =∠DEC，∴∠DEC =∠AED.
又∵DF⊥AE，∴∠DFE =∠C = 90°.
又∵DE = DE，∴△DFE ≌ △DCE，∴DF = DC.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，∠A = 90°，∴∠2 =∠3.
又由折叠知∠1 =∠2，∴∠1 =∠3，∴BE = DE.
设 BE = DE = x，则 AE = 8－x.
∵在 Rt△ABE 中，AB2＋AE2 = BE2，
∴42＋(8－x)2 = x2，解得 x = 5，即 DE = 5.
3.如图，将矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点 C 落在 C′ 处，BC′交 AD 于点 E，AD = 8，AB = 4，求 △BED 的面积.
∴S△BED = DE·AB = ×5×4＝10.
思考
请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考. 矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？
矩形的性质：
轴对称性： .
对称轴： .
轴对称图形
2条
A
B
C
D
O
活动3：如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线 AC 剪去一半.
B
C
O
A
问题 Rt△ABC 中，BO 是一条怎样的线段？
它的长度与斜边 AC 有什么关系？
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
试给出证明
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，BO 是 AC 上的中线.
求证：BO = AC
O
C
B
A
D
证明: 延长 BO 至点 D，使 OD = BO，连接 AD、DC.
∵AO = OC，BO = OD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形(对角线相互平分的四边形是平行四边形).
∵∠ABC = 90°，
∴平行四边形 ABCD 是矩形，
∴AC = BD ( 矩形的对角线相等 )，
∴BO = BD = AC.
例3 如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5 ,求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形.
∴∠DAB = 90°,(矩形的四个角都是直角)
AC = BD(矩形的对角线相等).
OA= OC= AC,OB = OD = BD ,(矩形对角线相互平分)
∴OA = OD.
A
B
C
D
O
∵∠AOD=120°，
∴∠ODA=∠OAD= (180°-120°)= 30°。
∴BD=2AB=2×2.5=5.
A
B
C
D
O
1.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的对角线AC在x轴上,点A的坐标是(-2,0),点B的坐标是(2,2),点C的坐标是(3,0),则点D的坐标是 ( )
A. (-1,-2)
B. (-1,-3)
C. (-1.5,-2)
D. (-1.5,-3)
A
随堂练习
2.如图，在 △ABC 中，AD 是高，E、F 分别是 AB、AC 的中点.
若 AB = 10，AC = 8，求四边形 AEDF 的周长；
解：∵E、F 分别是 AB、AC 的中点，AB = 10，AC = 8
∵AD 是 △ABC 的高，
∴四边形 AEDF 的周长 = AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18.
∴ AE = AB = 5，AF = AC= 4，
∴DE= AB=5，DF= AC=4 ( 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
半 )，
3.如图,在矩形ABCD中，两对角线交于点O.
( l )若∠BAC=2∠DAC,求△ABC三内角的度数;
解:(1)∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°, AD// BC,
∴∠DAC=∠ACB,
∵∠BAC=2∠DAC,∠BAC+∠DAC=90°，
∴∠BAC=60°,∠DAC=30°,
∴∠DAC=∠ACB=30°，
∴△ABC三内角的度数为:∠BAC=60°，∠ABC=90°,∠ACB=30° ;
(2)若∠AOB=60°, AO= 10cm,求矩形ABCD的对角线长及边AB的长.
(2)∵四边形ABCD为矩形,
∴OA=OC=OD=OB= AC= BD，
∵AO= 10cm,
∴AC=BD=20 ( cm )，
∵∠AOB= 60°, OA=OB,
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=OA=10cm,
∴矩形ABCD的对角线长为20,边A B的长为10cm.
4.已知：如图，矩形 ABCD，AB长8cm ，对角线比AD长4cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.
解:(1)设AB为xcm ,则BD为(x+4) cm ;
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°, BC= AD=8cm,CD=AB,
∴AB2+AD2= BD2,
即x2+82= (x+4)2,解得: x=6,即AB的长为6cm ;
∵BD=6cm+4cm=l0cm,
又∵△ABD的面积= ×10×AE= ×8×6,∴AE=4.8 ( cm ) .
5. 如图，在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E在AD上运动，连接BE和CE,若△BCE是等腰三角形，则AE的长为_________________
3,2 或6-2
要根据等腰三角形的腰不确定进行分情况讨论.
你学会了吗？
有两条对称轴
矩形的相关
概念及性质
具有平行四边形的一切性质
四个内角都是直角，
两条对角线互相平分且相等
轴对称图形
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
课堂小结(共26张PPT)
第2课时
矩形的判定
八年级下
沪科版
1. 经历矩形判定定理的猜想与证明过程，探索并证明矩形的判定定理.
2. 能应用矩形的判定定理解决相关问题.
学习目标
难点
重点
工人师傅在做门窗时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？
和小唯唯一起来学习吧
新课引入
回顾一下：什么是矩形呢？工人师傅是怎么判断的呢？
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法哦！
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形.
平行四边形
矩形
有一个角是直角
思考：工人师傅除了可能用定义判断以外，判定矩形还有没有其他的方法呢？
新知学习
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.
问题1 除了定义以外，还有其他判定矩形的方法吗？
类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.
矩形是特殊的平行四边形.
问题2 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？
思考 你能证明这一猜想吗？
我猜想：对角线相等的四边形是矩形.
不对，等腰梯形的对角线也相等.
不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.
例1 如下图，在 ABCD 中，AC，DB 是它的两条对角线，AC = DB，
求证： ABCD 是矩形.
A
B
C
D
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB = DC，AB∥DC.
又∵BC = CB，AC = DB，
∴ △ABC ≌ △DCB，
∴∠ABC =∠DCB.
∵AB∥CD，
∴∠ABC +∠DCB = 180°，
∴ ∠ABC =∠DCB = ×180° = 90°，
∴ ABCD 是矩形（矩形的定义）.
A
B
C
D
归纳
定理：对角线相等的平行四边形是矩形.
A
B
C
D
在平行四边形 ABCD 中，
∵AC = BD，
∴平行四边形 ABCD 是矩形.
例 2 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，点 D 是 AC 的中点，直线 AE // BC，过点 D 作直线 EF // AB，分别交 AE，BC 于点 E，F. 求证：四边形 AECF 是矩形.
A
B
C
E
D
F
1
2
证明 ∵ AE // BC，
∴ ∠1 = ∠2.
在 △ADE 和 △CDF 中，
∵ ∠1 =∠2，∠ADE =∠CDF，AD = CD，
∴ △ADE ≌ △CDF.
所以四边形 AECF 是平行四边形.
又因为四边形 ABFE 是平行四边形，所以
EF = AB.
∵ AC = AB，∴ EF = AC.
所以四边形 AECF 是矩形.
A
B
C
E
D
F
1
2
思考
我们知道，矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？
A
B
D
C
有一个角是直角
A
B
D
C
有二个角是直角
A
B
D
C
有三个角是直角
我猜测有三个角是直角的四边形是矩形.
例3 如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°.
求证：四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
证明：∵∠A =∠B =∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
∵∠A = 90°
∴四边形 ABCD 是矩形 ( 一个角是直角的平行四边形是矩形 ).
归纳
定理：有三个角是直角的四边形是矩形.
在四边形 ABCD 中，
∵ ∠A =∠B =∠C = 90°,
∴四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
例4 如图，在 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，△ABO 是等边三角形，AB = 4，求 ABCD 的面积.
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD.
又∵△ABO 是等边三角形，
∴OA = OB = AB = 4.
A
B
C
D
O
∴OA = OB = OC = OD = 4.
∴AC = BD = 2OA = 2×4 = 8.
∴ ABCD 是矩形 ( 对角线相等的平行四边形是矩形 ).
∴∠ABC = 90° ( 矩形的四个角都是直角 ).
在 Rt△ABC 中，BC = = = .
∴S ABCD = AB·BC = 4×4 = 16 .
A
B
C
D
O
思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，其中一种方法就是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，那么窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
1.下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（4）有三个角都相等的四边形是矩形；
×
×
×
×
√
√
√
√
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形.
随堂练习
2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD⊥BC，垂足为 D，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E，求证：四边形ADCE 为矩形．
自己试一试哦
∟
∟
证明：在△ABC 中，AB = AC，AD⊥BC，
∴∠DAC = ∠BAC ( 等腰三角形三线合一 ).
又∵AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，
∴∠CAE= ∠CAM .
∴∠DAE =∠DAC＋∠CAE = (∠BAC＋∠CAM)＝90°.
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
∴四边形 ADCE 为矩形 ( 三个角是直角的四边形是矩形 )．
3. 如图， ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E、F、G、H，求证：四边形 EFGH 为矩形．
A
B
D
C
H
E
F
G
证明：在 ABCD 中，AD∥BC,
∴∠DAB +∠ABC = 180°.
∵AE 与 BG 分别为∠DAB、∠ABC 的平分线，
∴ ∠BAE+ ∠ABF = ∠DAB + ∠ABC = 90°.
∴∠AFB = 90°，即∠GFE = 90°.
同理可证∠AED =∠EHG = 90°，
∴四边形 EFGH 是矩形 ( 三个角是直角的四边形是矩形 )．
A
B
D
C
H
E
F
G
4.（2022云南省卷）如图，在平行四边形 ABCD中，连接 BD，E为线段 AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点 F，连接 AF，∠BDF＝90°.
(1)求证：四边形 ABDF是矩形；
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴AB∥DF，
∴∠DFE＝∠ABE.
∵E为线段AD的中点，
∴DE＝AE.
在△DFE和△ABE中，
∴△DFE≌△ABE(AAS)，
∴DF＝AB.(2分)
又∵AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
∵∠BDF＝90°，
∴平行四边形ABDF是矩形；(4分)
∠DFE=∠ABE
∠DEF=∠AEB
DE=AE
(2)若 AD＝5，DF＝3，求四边形 ABCF的面积S.
(2)解：∵四边形ABDF是矩形，
∴∠ABD＝90°，AF＝BD，AB＝DF.
∵AD＝5，DF＝3，∴在Rt△ADF中，AF＝ ＝4，
∴AF＝BD＝4，AB＝DF＝3.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3.
∵∠BDF＝90°，∴∠BDC＝90°.
∴S＝S矩形ABDF＋S△BCD＝DF·BD＋ CD·BD
＝3×4＋ ×3×4＝12＋6＝18.
你学会了吗？
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
运用定理进行计算和证明
矩形的判定
定义
判定定理
课堂小结
