(共24张PPT)
第1课时
矩形的判定
八年级下
沪科版
1. 理解菱形的概念，会用菱形的性质解决简单的问题；
2. 类比矩形探究菱形性质，通过观察、类比、猜想、证明，总结几何图形研究的一般步骤和方法．
3. 菱形性质的证明和应用．
学习目标
重点
难点
我们已经学习了特殊的平行四边形——矩形，它是从哪个角度特殊化来进行研究的？它有哪些性质？
角的特殊化
特殊化
新课引入
平行四边形的角特殊化得到特殊的平行四边形——矩形；若平行四边形的边特殊化，我们得到的特殊的平行四边形是什么，它有什么特征？
当 AB = BC 时，得到的特殊的平行四边形是什么？
A
B
C
D
D
C
B
A
邻边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
新知学习
菱形在生活中随处可见.图中的升降机采用菱形部件,就是利用菱形既具有可变性,又具有相对稳定性的性质.
升降机
你还能举出生活中的菱形的实际例子吗？
生活中的菱形：
问题2 根据上面的折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系？菱形的两条对角线有什么关系？
在自己剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手中的图形 (如图)，并回答以下问题：
问题1 菱形是轴对称图形吗 如果是，指出它的对称轴.
是，两条对角线所在的直线都是它的对称轴.
活动
平行四边形的性质 菱形的性质
对边相等
对角线互相平分
四边相等
两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
猜想
性质1：菱形的四条边都相等.
已知：如图,四边形ABCD是菱形，AB=BC
求证：AB=BC=CD=AD
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴ AB=CD，AD=BC (平行四边形的两组对边分别相等）
∵ AB=BC（菱形的定义）
∴ AB=BC=CD=AD
已知:如图，四边形ABCD是菱形.
证明：AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB(菱形的定义)，
OD=OB （平行四边形的对角线互相平分）
∴ AC ⊥ DB
性质2：菱形的两条对角线互相垂直.
菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴.
归纳
通过上面的证明，我们得到菱形的性质定理：
菱形的四条边相等.
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
现在，我们得到了菱形的性质. 如果把矩形和菱形的性质进行比较，发现它们很相似.
你能写出矩形、菱形的定义及它们的特殊性质并进行比较吗？
思考
如图，比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等的三角形.
A
B
D
C
O
M
N
E
F
G
由菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？
观察与思考
A
B
D
C
O
菱形的面积=△ABO的面积+△CBO的面积+△CDO的面积+△DAO的面积
=++
=++)
=+
==.
归纳
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
A
B
C
D
E
A
B
C
D
O
S菱形ABCD=BC·AE.
S菱形ABCD=AC·BD.
思考
菱形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
A
B
D
C
O
菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴.
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线互相垂直 D.对角线相等
C
2.如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AB,AC的中点,如果EF=2,那么线段CD的长是( )
A.4 B.8 C.12 D.16
A
随堂练习
BC=CD
在△ABC中，EF= BC
3.如图是一种伸缩升降机，底座高0.3 m，底座与平台之间伸缩架的部分可以看作5个全等的菱形，已知AD＝0.4 m，当升降机平台高2.3 m时，则∠BAD的度数为____．
60°
4. 已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，F 是 AB 上一点，DF 交 AC 于 E.
求证：∠AFD = ∠CBE.
证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ CB = CD， CA平分∠BCD．
∴ ∠BCE =∠DCE．又 CE = CE，
∴ △BCE ≌ △DCE（SAS）.
∴ ∠CBE =∠CDE.
∵ 在菱形 ABCD 中，AB∥CD，
∴ ∠AFD = ∠FDC,∴ ∠AFD = ∠CBE.
5.如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20 m，∠ABC = 60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD. 求两条小路的长 (结果保留小数点后两位) 和花坛的面积 (结果保留小数点后一位).
解：∵花坛 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，BD 平分 ∠ABC.
又∵∠ABC = 60°，∴∠ABO = 30°.
在 Rt△ABO 中，AO = AB = ×20 = 10.
BO = = = .
花坛的两条小路长为：AC = 2AO = 20 (m) ，
BD = 2BO = ≈ 34.64 (m) .
花坛的面积为：S菱形ABCD = AC·BD = ≈ 346.4 (m2)
课堂小结
菱形的性质
菱形的性质
有关计算
边
面积 = 底×高 = 两条对角线乘积的一半
角
对角线
1. 两组对边平行且相等；
2. 四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1. 两条对角线互相垂直平分；
2. 每一条对角线平分一组对角(共20张PPT)
第2课时
菱形的判定
八年级下
沪科版
1. 探索并证明菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形，对角线相互垂直的平行四边形是菱形.
2. 能熟练运用菱形的判定定理进行计算和证明.
学习目标
重点
难点
根据菱形的定义如何判定菱形
一组邻边相等的平行四边形是菱形
一组邻边相等
平行四边形
菱形
除此之外还有没有其他判定方法？
新课引入
分别以 A、C 为圆心，以大于 AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点 B，D，依次连接 A、B、C、D 四点.
做一做
新知学习
想一想：根据以上作法你有什么猜想？你能验证这种作法吗？
C
A
B
D
已知：四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD.
求证：四边形 ABCD 是菱形.
证明：∵ AB = BC = CD = AD，
∴ AB = CD，BC = AD
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又 AB = BC，
∴ ABCD 是菱形.
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
C
A
B
D
归纳
定理1 四边都相等的四边形是菱形
AB=BC=CD=AD
A
B
C
D
菱形ABCD
四边形ABCD
A
B
C
D
数学语言： 在四边形ABCD中，
∵ AB=BC=CD=DA,
∴四边形ABCD是菱形.
拓展
总结：顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到四边形是菱形.
如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是
什么图形？
H
G
F
E
D
C
B
A
例1 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.
求证：四边形ACFD是菱形．
证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC.
∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，
∴四边形ACFD是菱形．
2.如图，画两条互相垂直的直线 l1 和 l2，两直线相交于点 O，在 l1 上取两点 A，C，使 OA = OC，在 l2 上取两点 B，D，使 OB = OD，顺次连接 A，B，C，D，四边形 ABCD 是菱形吗？为什么？
O
l1
l2
A
C
B
D
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明这一猜想吗？
我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，可得到一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形 对此你有什么猜想？
活动
已知：四边形 ABCD 是平行四边形，且AC⊥BD，求证：平行四边形 ABCD 是菱形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AO = CO，又∵AC⊥BD,
∴ AB = BC（线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等）
∴ 平行四边形 ABCD 是菱形.（菱形的定义）
O
l1
l2
A
C
B
D
归纳
定理2 对角线互相垂直的平行四边形
AC⊥BD
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
数学语言：
在□ABCD中，∵ AC⊥BD，
∴□ABCD是菱形.
例2 如图，在 ABCD 中，AC = 8，BD = 6，AB = 5，求 AD 的长.
又 ∵ AB = 5，满足 AB2 = OA2 + OB2，
∴ △AOB为直角三角形，即OA⊥OB.
∴ ABCD是菱形，AD = AB = 5.
解 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以
OA = AC = 4，OB = BD = 3.
归纳
1. 如图,要使 ABCD成为菱形,则需添加的一个条件可以是( )
A. AC=AD B. BA=BC
C. ∠ABC=90° D. AC=BD
B
随堂练习
一组邻边相等的平行四边形是菱形
2. 下列命题中，正确的是 ( ).
A. 两组邻边分别相等的四边形是菱形
B. 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
C. 对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形
D. 对角线垂直的四边形是菱形
B
3.如图，AD 平分 ∠BAC，DE∥AC 交 AB 于点 E，DF∥AB 交 AC于点 F. 求证：四边形 AEDF 是菱形．
证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形 AEDF 是平行四边形.
∵AD 平分∠BAC，
∴∠1 = ∠2，
∵DF∥AB，
∴∠1 =∠3，∴∠2 =∠3，
∴AF = DF，四边形 AEDF 是菱形.
1
2
3
4.如图所示，O 是矩形 ABCD 的对角线的交点，作 DE∥AC，CE∥BD，DE，CE 相交于点 E. 求证：四边形 OCED 是菱形.
证明：∵DE∥OC，CE∥OD，
∴四边形 OCED 是平行四边形.
∴OC = DE，OD = CE，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AO = OC = BO = OD.
∴CE = OC = OD = DE.
∴四边形 OCED 是菱形.
课堂小结
定理1
定义
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
菱形的
判定
定理2
四条边相等的四边形是菱形.
平行四边形
矩形
菱形
四边形
三个角是直角
四条边相等
定义
四个判定定理
定义
对角线相等
定义
对角线垂直
