19.3.3 正方形课件 (共37张PPT)

(共37张PPT)
19.3.3 正方形
八年级下
沪科版
1. 理解正方形的概念，以及它与平行四边形、矩形、菱形之间的关系；
2. 能熟练运用正方形的性质和判定进行计算和证明．
学习目标
重点
难点
1. 什么是矩形？
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
一个角是直角
新课引入
2. 什么是菱形？
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
一组邻边相等
除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形吗？
正方形是我们所熟悉的图形,如图是魔方的一个面.你认为正方形是本节所学的哪种图形的特例，为什么
一 正方形的性质
新知学习
矩 形
〃
〃
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？
正方形
观察与思考
相邻两边相等的矩形是正方形
问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？
正方形
有一个角是直角的菱形是正方形
1.正方形的定义：
归纳
有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
两层含义
(1) 有一个角是直角的平行四边形 (矩形)
(2) 有一组邻边相等的平行四边形 (菱形)
平行四边形
矩形
菱形
正方形
2.由正方形的定义可知：
正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形.
观察与思考
1.观察正方形的四条边和四个角有什么特点？
2.正方形的对角线有什么特点？
A
B
C
D
O
正方形的四条边都相等，四个角都是直角.
正方形的对角线相等且互相平分.
你能证明吗？
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形.
求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角.
A
B
C
D
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形.
∴∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义).
又∵ 正方形是平行四边形，
∴ 正方形是矩形 (矩形的定义)，
正方形是菱形 (菱形的定义).
∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°，
AB = BC = CD = AD.
正方形的四条边都相等，四个角都是直角.
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵ 正方形 ABCD 是矩形，
∴ AO = BO = CO = DO.
∵ 正方形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD.
正方形的对角线相等且互相平分.
思考
正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形.
正方形有哪些性质？
正方形具有矩形，菱形的所有性质.
归纳
正方形的性质
边
对边平行
四边相等
角
对角线
对角线相等且互相垂直平分
每条对角线平分一组对角
：四个角相等且都是直角
A
B
D
C
O
思考
正方形是中心对称图形吗？是轴对称图形吗？.
正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有4条对称轴.
A
B
C
D
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交于点 O.
求证：△ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO 是全等的等腰直角三角形.
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AC = BD，AC⊥BD，AO = CO = BO = DO
∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO 都是等腰直角三角形，
并且△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△DAO.
图中共有多少个等腰直角三角形？
图中共有多少个等腰直角三角形？
8个，△ABO、△BCO、△CDO、△DAO、△ABD、△BCD、△ABC、△ACD.
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
二 正方形的判定
活动
已知：如图,在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的两条对
角线，AC⊥DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AO = CO = BO = DO，∠ADC = 90°.
∵ AC⊥DB，
∴ AD = AB = BC = CD.
∴ 四边形 ABCD 是正方形.
对角线互相垂直的矩形是正方形.
A
B
C
D
O
证一证：
数学语言：
在矩形ABCD中， ∵ AC⊥BD,
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
D
C
O
归纳
对角线互相垂直的矩形是正方形.
通过以上证明，我们得到正方形的一个判定：
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形.
正方形
菱形
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
对角线相等
已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC = DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥DB.
∵ AC = DB，
∴ AO = BO = CO = DO.
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形.
∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠ADC = 90°.
∴ 四边形 ABCD 是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
A
B
C
D
O
证一证：
归纳
对角线相等的菱形是正方形.
通过以上证明，我们得到正方形的一个判定：
数学语言：
在菱形ABCD中， ∵ AC=BD,
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
D
C
O
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线相互垂直
一组邻边相等
或对角线相互垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
对角线相等且互相垂直
归纳
正方形判定的几条途径
拓展
顺次连接菱形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
顺次连接菱形各边中点得到正方形.
例 如图，点 A′，B′，C′，D′ 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，并且 AA′ = BB′ = CC′ = DD′.
求证：四边形 A′B′C′D′ 是正方形.
证明 因为四边形ABCD是正方形，所以
AB ＝ BC ＝ CD ＝ DA.
又∵ AA′ = BB′ = CC′ = DD′，
∴ D′A＝A′B ＝ B′C ＝ C′D.
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝ 90°，
∴△AA′D′ ≌ △BB′A′ ≌△CC′B′ ≌△DD′C′.
∴A′B′ ＝ B′C′＝ C′D′＝ D′A′，
即四边形 A′B′C′D′ 是菱形.
又 ∵∠1＝∠3，∠1＋∠2＝ 90°，
∴∠2＋∠3＝ 90°，
∴∠D′A′B′＝ 90°.
所以四边形 A′B′C′D′ 是正方形.
1.下列各句判定正方形的说法是否正确？
(1) 有一个角是直角的菱形是正方形. ( )
(2) 有一组邻边相等的矩形是正方形. ( )
(3) 对角线相等的菱形是正方形. ( )
(4) 对角线互相垂直的矩形是正方形. ( )
(5) 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形. ( )
√
√
√
√
×
对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形.
随堂练习
2.如图，是小明家客厅地面铺设的瓷砖图案，其中四边形ABCD是正方形，阴影部分是四个全等的菱形．已知菱形的两条对角线长分别为48 cm，20 cm，则图中空白部分的面积为_______cm2.
2688
3. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：△BED≌△CFD；
证明：(1)∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵D是BC 边的中点，
∴BD＝CD，
∴△BED≌△CFD.
(2)∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°.
又∵∠A＝90°，
∴四边形DFAE是矩形．
∵△BED≌△CFD，
∴DE＝DF，∴矩形DFAE是正方形．
(2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．
证明：PN⊥l1，QM⊥l1，
∴∠PNM =∠QMN = 90°，
∴∠PNM +∠OMN = 180°，
∴PN∥QM.
∵l1∥l2，即 PQ∥NM，
∴四边形 POMN 是矩形.
4.已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点
求证：四边形PQMN是正方形.
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BAD =∠ADC = 90°，AB = AD = DC，
∴∠BAM +∠DAN = 90°.
又∠AND +∠DAN = 90°，
∴∠BAM =∠ADN.
∴△BAM ≌△ADN (AAS) .
∴AM = DN. 同理可证 AN = DP.
∴AM + AN = DN + DP，即 MN = PN.
∴四边形 PQMN 是正方形.
总结：先证出四边形PQMN 是矩形，再证明一组邻边相等 (MN = NP).
1. 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
2. 正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形. 具有矩形，菱形的所有性质.
正方形的性质
边
对边平行
四边相等
角
对角线
对角线相等且互相垂直平分
每条对角线平分一组对角
：四个角相等且都是直角
课堂小结
3. 正方形的判定.
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线相互垂直
一组邻边相等
或对角线相互垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
对角线相等且互相垂直