课题 等腰三角形综合运用（第二课时）
教学目标
教学目标：学习运用等腰三角形性质和判定来证明线段相等，以及结合线段垂直平分线 和全等三角形等知识进行线段相等的证明,培养学生识图，几何推理分析和探 究的综合能力. 教学重点： 结合全等，线段垂直平分线的等腰三角形性质和判定的综合使用 教学难点： 知识的综合运用及根据图形特征添加合适辅助线
教学过程
时 间 教学环 节 主要师生活动
23 分 钟 教 学 过 程 同学们，上节课我们学习了等腰三角形的综合运用第一课时，利用等腰 （边）三角形的性质和判定来判断三角形形状和计算三角形边长及角度； 今天我们将继续学习等腰三角形的综合运用，利用等腰（边）三角形的 判定和性质来证明几何图形中线段相等问题.请看例题 例 如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于点 D,BE⊥AC 于点 E, ∠BAD=∠CBE. 求证 : AB=AC.
教 学 过 程 教师提问：首先我们观察题目中有哪些边角条件？ 教师提示：根据 AD⊥BC 于点 D,BE⊥AC 于点 E，我们可以推出∠ADC= ∠BEC=90 ° , ∠BAD=∠CBE ，在图形上进行标注. 教师提问：我们再来看看问题，如何证明 AB=AC ？ 教师提示：我们发现 AB 和 AC 均在同一个三角形△ABC 内. 教师提问：如何证明这两条线段相等呢？ 教师提示：根据等腰三角形的判定方法“等角对等边 ”，我们只需要证明 ∠ABC=∠C 即可，在图形上进行标注. 教师追问：请认真观察，利用已知条件，如何来证明这两角相等呢？ 教师提示：我们发现∠ABC 和∠C 恰好分别是∠BAD 和∠CBE 的余角， 根据“等角的余角相等 ”，我们便可得出∠ABC=∠C. 证明： ∵AD⊥BC,BE⊥AC , ∴∠ADC=∠BEC=90 °. ∴∠ABD+∠BAD=90 ° , ∠C+∠CBE=90 °. ∵∠BAD=∠CBE， ∴∠ABD=∠C . ∴AB=AC. 【题后反思】当要证明的两条线段在同一个三角形内时，一般我们先证 明这两条线段所对的角相等，然后根据等腰三角形的判定方法“等角对 等边 ”，即可证明这两条线段相等. 2.如图,在△ABC 中,AB=AC, ∠A= 120°,ME 垂直平分AB 点E,交BC 于点
教 学 过 程 M，NF 垂直平分线 AC 于点 F,交 BC 于点 N.求证:BM=MN=CN. 解题思路：
(
∠
B=
∠
C=
30°
) (
AB=AC
∠
A=
120°
) (
BM
=
AM
,
CN
=
AN
) (
ME
垂直平分线
AB
,
NF
垂直平分线
AC
) (
∠
BAM
=
30°
∠
NAC
=
30°
)
∠AMN=∠ANM∠MAN=60°
BM=MN=CN AM=MN=AN △AMN 为等边三角形
教师提问：首先我们观察题目中有哪些边角条件？ 教师提出：AB=AC, ∠A= 120° , 根据“等边对等角 ”，可以推出 ∠B=∠C=30° ; 教师提问：ME 垂直平分线 AB,NF 垂直平分线 AC，你能得出什么结论？ 教师提出：根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 ”，可以 推出 BM=AM,CN=AN,连接 MA 和 NA.再根据“等边对等角 ” 推出∠BAM=30° , ∠NAC=30° . 我们来看下问题，要证明
教 学 过 程 BM=MN=CN，那么我们只需证明 AM=MN=AN,也即 是证明△AMN 为等边三角形. 教师提问：如何证明△AMN 为等边三角形呢？ 教师提示：我们只能从角度出发来证明，根据三角形外角性质，可以推 出∠AMN=∠ANM=60°,然后根据三角形内角和定理，很容易 推出∠MAN=60°, 故△AMN 为等边三角形. 下面我们来写一下具体证明过程. 证明： ∵ 在△ABC 中, AB=AC, ∠A= 120° ∴∠B=∠C=30° ∵ME 垂直平分 AB，NF 垂直平分 AC ∴BM=AM,CN=AN ∴∠B= ∠BAM=30° , ∠C=∠NAC=30° ∴∠AMN=∠B+ ∠BAM=60° , ∠ANM=∠C+∠NAC=60° ∴∠MAN=180°- ∠AMN- ∠ANM=60° ∴△AMN 为等边三角形 ∴AM=MN=AN ∵BM=AM,CN=AN ∴BM=MN=CN 【题后反思】一般地，当题目中出现垂直平分线时，我们会经常使用垂 直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等 ”，来 证明线段的相等，或结合等腰（边）三角形边角关系进行线段转化，来 证明目标线段相等. 3. 如图，点 D,E 在△ABC 的边 BC 上，AB=AC，AD=AE，
求证：BD=CE
教 学 过 程 教师提问 ：首先我们观察题目中有哪些边角条件？ 教师提示：边条件 AB=AC，AD=AE， 可以推出角条件∠B= ∠C, ∠ADE= ∠AED 教师提问：如何来证明 BD=CE ？ 教师提示：我们发现 BD 和 CE 不在一个三角形内，题目中也没有出现垂 直平分线，看来需要采取新的方法来解决. 教师提问：BD 和 CE 分别在△ABD 和△ACE 中，我们能否通过证明这两 个三角形全等来证明这两条线段相等呢？ 教师提示： 我们来尝试寻找两三角形全等的条件！ 首先已经有两组对应 边相等， 还需寻找两边夹角对应相等， 也即是需要证明 ∠BAD= ∠CAE 教师提问：如何证明∠BAD= ∠CAE 教师提示：∠BAD=∠ADE- ∠B，∠CAE=∠AED- ∠C，所以∠BAD= ∠CAE， 好，下面我们来一起写下证明过程. 证明： ∵AB=AC，AD=AE ∴∠B= ∠C, ∠ADE= ∠AED ∵∠BAD=∠ADE- ∠B， ∠CAE=∠AED- ∠C ∴∠BAD= ∠CAE 在△ABD 和△ACE 中 AB=AC ∠BAD= ∠CAE AD=AE ∴△ABD ≌ △ACE (SAS) ∴BD=CE 同学们，这道题还有其他证明方法吗？如果过点 A 做 AO⊥BC 于点 O， 你有思路了吗？
根据等腰三角形三线合一，我们可以推出 BO=CO, DO=EO, 所以 BO-DO=CO-EO ，即 BD=CE 【题后反思】利用全等三角形是证明线段相等的一个很好方法，往往我 们结合等腰三角形的边角关系来使用.
等腰三角形 边角关系 构造全等三角形 线段相等
2 分 钟 课 堂 小 结 本节课主要学习了几何图形中证明线段相等的几种常见方法： (1)利用等腰三角形的判定和性质证明线段相等； (2)利用垂直平分线的判定和性质证明线段相等； (3)利用全等三角形的判定和性质证明线段相等. 以后还会学习更多的方法证明线段相等，经常我们会需要综合以上多种 方法使用，希望同学们认真理解和灵活运用这些知识和方法，提高自己 的思维和分析探究问题的能力.
作业 1. 已知：如图，AC 和 BD 相交于点 O,AB//CD ，OA=OB, 求证：OC=OD
2.如图，在等边三角形△ABC 中， ∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O， OB 和 OC 的垂直平分线 EE ' 和 FF ' 分别交 BC 于点 E 和 F,连接 OE,OF.
求证:AB=3EF
3.如图，在△ABC 中，AB=AC， ∠BAC= 120° , AD⊥BC，垂足为 G ，且 AD=AB ， ∠EDF=60° , 其两边分别交边 AB ，AC 于点 E 和 F， (1) 求证： △ABD 是等边三角形； (2) 求证：BE=AF课题 等腰三角形综合运用（第一课时）
教学目标
教学目标：进一步理解和掌握等腰三角形的性质与判定,并能综合运用这些知识判断三角 形形状和求三角形边角等有关计算。在例题探究过程中培养学生观察、分析 和归纳能力，并体验转化和方程等思想的应用。 教学重点：等腰三角形性质和判定的综合运用 教学难点：结合等腰三角形、角平分线、中垂线等知识，来解决三角形有关边角问题的 计算.
教学过程
时 间 教学环 节 主要师生活动
5 分 钟 知 识 回 顾 同学们，大家好，本节课我们将学习等腰三角形的综合运用（第一课时）， 首先一起回顾等腰三角形的定义，判定和性质。
1.等腰三角形
【定义】有两条边相等的三角形是等腰三角形。 【性质】①等边对等角； ②三线合一； ③对称轴有 1 条或 3 条. 【判定】①有两条边相等的三角形是等腰三角形； (定义) ②等角对等边. 2.特殊的等腰三角形：等边三角形 【定义】三边都相等的三角形是等边三角形. 【性质】①三边都相等；②三个角都是 60 ° ; ③三线合一； ④对称轴有 3 条. 【判定】①三边都相等的三角形是等边三角形（定义）； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是 60 ° 的等腰三角形是等边三角形. 以上判定方法都是可以彼此推导的。 下面我们将通过几个例题来进一步复习等腰三角形判定和性质的运用。
18 分 钟 一、运用等腰三角形的判定进行三角形形状的判断 例 已知三角形△ABC的三边长为 a,b,c, (1)∠A=70 °, ∠B=40 °, 则三角形的形状为 ; (2)∠A:∠B:∠C=1:1:2, 则三角形的形状为 ; (3)当满足(a-b)(b-c)(c-a)=0 时,则三角形的形状为 ; (4)当满足(a-b) 2 +(b-c) 2 +(c-a) 2 =0 时,则三角形的形状为 . 教师提问：当三角形的内角或边分别满足以上条件时，我们将如何来判 断三角形形状呢？下面我们来逐一分析！ 主要步骤： (1) ∵∠A=70 °, ∠B=40 ° 根据三角形内角和定理，得 ∠C=180 °- ∠A- ∠B=70 ° ∵∠A= ∠C ∴△ABC 是等腰三角形 (2) ∵ =450 ∴∠A= ∠B=45 °, ∠C=45 ° ×2=90 °
知 识 运 用 根据“等角对等边 ”和直角三角形定义，得 ∴△ABC 是等腰直角三角形 (3) ∵(a-b)(b-c)(c-a)=0， ∴a-b，b-c，c-a 中至少有一个为 0 即 a-b=0，或 b-c=0，或 c-a=0 ∴ a=b 或 b=c 或 a=c ∴△ABC 是等腰三角形 (4) ∵(a-b) 2 + (b-c) 2 +(c-a) 2 =0， (a-b) 2 ， (b-c) 2 ， (c-a) 2 均具有非负性 ∴(a-b) 2 =0，且(b-c) 2 =0，且(c-a) 2 =0 ∴a=b 且 b=c 且 a=c ∴△ABC 是等边三角形 【设计意图】让学生体验如何分析题目中已有条件进行角或边计算，然 后利用等腰（等边）三角形的判定方法，进行三角形形状的判断的过程， 锻炼学生对三角形内角和定理的灵活运用和对判定方法的理解和运用。 【解后反思】一般地，判断三角形形状的关键在于要先求出三角形的三 个内角度数或三条边长，或找到角（边）所满足的重要数量关系，然后 再利用等腰（等边）三角形的判定方法，进行三角形形状的判断。 二、运用等腰三角形的判定和性质进行边角等有关计算及证明 例 如图，在△ABC 中， ∠A=40 °,AB=AC,AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于点 D,求∠DBC=______ 教师提问：请问题目中有哪些已知的边角条件和特殊三角形图形？ 教师提出： 已知∠A=40 ° , AB=AC,AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于点 D. 教师追问：根据“AB 的垂直平分线 DE ”，你能得出什么结论？ 教师提出：首先得出∠AED=90 ° , AE=BE.又根据“垂直平分线上任意一 点，到线段两端点距离相等 ”，可以得出 AD=BD. 教师提问：题目中有哪些特殊的三角形图形呢？ 教师提出： 因为 AB=AC，AD=BD,根据等腰三角形定义，我们得出△ABC, △ADB 为等腰三角形。
我们来看下本题目的问题，求∠DBC 的度数，如何来求呢？ 方法一： ∠DBC= ∠ABC- ∠ABD= - 400 = 300 方法二： ∠DBC=180 °- ∠C - ∠BDC=1800 - - (400 +400 ) = 300 均使用到等腰三角形性质：等边对等角. 变式:如图，在△ABC 中， ∠ABC=120 ° , 点 D，E 分别在 AC 和 AB 上，且 AE=ED=DB=BC,若∠A 的度数为 x ,则用 x 的代数式表示∠C 为 ， ∠
A= °.
教师提问：请问题目中有哪些已知的边角条件和特殊三角形图形？ 教师提出：题中已知∠ABC=120 ° , 和 AE=ED=DB=BC. 教师追问：你能从“AE=ED=DB=BC ”得到什么结论呢？ 教师提出：可以得出三个等腰三角形△AED，△BDE，△BCD，也可以根据 “等边对等角 ”，找到一些角之间的相等关系，例如根据 AE=ED 得出∠A= ∠EDA，根据 ED=DB 得出∠BED= ∠EBD,根据 DB=BC 得 出∠BDC= ∠C. 教师提问：但这些角等于多少度呢？和已知角∠ABC 之间是什么关系呢？ 教师提出：好的，我们一起看下问题，若∠A 的度数为 x °,如何用 x 的 代数式表示∠C？ 教师提示：根据刚才分析，我们可以尝试用 x 表示出上面这些角.
主要步骤 ∵AE=ED ∴设∠A= ∠ADE= x0 ∴∠BED= ∠A+∠ADE= 2x0 ∵ED=DB ∴∠EBD= ∠BED= 2x0 ∵∠BDC= ∠EBD+∠A= 3x0 ∵DB=BC ∴∠C= ∠BDC=3x0
在△ABC 中 ∵∠A+∠ABC+∠C=180 ° ∴ x0 +1200 + 3x0 =180 ° ∴ x =15 ∴∠A=15 ° 【设计意图】借助本题及变式，带领学生一起体验和归纳等腰三角形中 求角问题的一般方法。题目由易到难， 由特殊到一般，锻炼学生分析问 题和解决问题的能力。 【解后反思】一般地，求等腰三角形中角的度数问题，我们主要依据“等 边对等角 ”性质，三角形内角和定理和外角和性质， 由已知角逐步推导 计算出未知角的度数。或者必要时，通过合理设元，利用方程的思想求 解出未知角的度数。 下面我们来完成一道三角形求边长问题 例 如图,△ABC 是等边三角形,AD⊥BC,DE⊥AB,垂足分别为 D,E.若 AB=8, 则 BD= ,BE= . 教师提问：请问题目中有哪些已知条件和哪些特殊三角形图形？ 教师提出：如图△ABC 是等边三角形，我们可以得到三条边相等，三个内 角均为 60 °。 教师提问：AD⊥BC，同学们你可以得出什么结论？ 教师提出： ∠ADC=90 ° , 教师追问：还有吗？ 教师提出：AD 三线合一，所以 AD 是高线，也是角平分线和中线，所以 ∠BAD= ∠CAD=30 ° , BD=CD。DE⊥AB 可以推出∠BED=90 °. 教师提问：我们来看下问题，若 AB=8,求 BC 长？ 教师提出：根据上面的分析，BC=AB=8,而 D 为 BD 中点，所以 BD=1/2BC=4。 教师追问：如何来求 DE 呢？ 教师提出：我们来观察△BDE，发现∠BDE=30 ° , 而 BE 恰好是这个直角 三角形 30 °所对的直角边，所以根据：直角三角形 30 °所对 的直角边等于斜边一半“ ，得出 BE=1/2BD=2
主要步骤： ∵△ABC 为等边三角形 ∴BC=AC=AB=8, ∠B= ∠C= ∠BAC=60 ° ∵AD⊥BC ∴BD= BC=4 ∵DE⊥AB ∴∠DEB=90 ° ∴∠EDB=180 °- ∠B- ∠DEB=30 ° ∴BE= BD=2 【设计意图】本题主要考查等边三角形的“三线合一 ”性质和直角三角 形中的性质(直角三角形 30 °所对的直角边等于斜边一半)在求边长问题 中的综合运用，巩固性质的理解和运用。
2 分 钟 课 堂 小 结 本节课，我们进行了以下知识的学习 (1) 回顾等腰三角形和等边三角形定义、性质和判定； (2) 学习运用等腰或等边三角形的判定知识进行三角形形状的判断； (3) 学习综合运用等腰或等边三角形的判定和性质进行三角形边角等有 关问题的计算及证明.
课 后 作 业 1. 如图，在△ABC 中，AB=AC， ∠BAC=120 °,DE 垂直平分 AC，交 BC 于 点 D，垂足为点 E.若 DE=2cm,则 DC= cm,BC= cm. 2. 若 D 为△ABC 的边 BC 上一点，且 AD=BD，AB=AC=CD，
则∠B= ° .
3. 如图，在△ABC 中， ∠BAC=90 °, ∠C=30 °,AD 是 BC 边上的高，BE 是 角平分线，AD 与 BE 相交于点 F，求证： △AEF 是等边三角形.
