(共21张PPT)
16.3.1 分式方程及其解法
八年级下
华师版
1.理解分式方程的概念，会判断一个方程是否为分式方程.
2.掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.
3.通过将分式方程约去分母转化为整式方程来求解，体会数学的化归思想．
重点
学习目标
难点
轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.
设轮船在静水中的速度为x千米/小时，
根据题意，得：
分式
分母中含有未知数
v顺=x+3
v逆=x-3
这个方程有何特点？与一元一次方程有何区别？你会解吗？
思考
新课引入
方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.
1.分式方程的主要特征：
（1）含有分式；（2）分母中含有未知数.
2.分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别，是区分分式方程和整式方程的依据.
说明
新知学习
例1 下列方程是分式方程的是（ ）.
不是方程
分母不含未知数
分母不含未知数
D
判断是否是分式方程的标准必须满足两点：
一是方程；
二是方程分母中必须含有未知数，二者缺一不可.
（含有未知数的等式叫方程）
例2 判断下列方程，哪些方程是分式方程：
√
×
√
√
√
×
方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π不是未知数)．
解一元一次方程：
解：
去分母，得
x-3
2
x+2
3
=1+
2(x+2)=6+3(x-3)
去括号，得
2x+4=6+3x-9
移项，得
2x-3x=6-9-4
合并，得
-x=-7
系化1，得
x=7
解完方程后，要养成检验的习惯哦！
复习回顾：
检验
当x=7时，方程左边=3=方程右边.故x=7是方程的解.
怎样解分式方程呢？有没有办法可以去掉分式方程中的分母，把它转化为整式方程呢？
试动手解一解分式方程：
1.如何将分母去掉，转化为整式方程？
方程两边都乘以最简公分母
2.各分式的最简公分母是什么？
3.试动手解一解上面列出的方程.
思考
解分式方程：
解：方程两边同乘以(x+3)(x-3)，约去分母，得:
80(x-3)=60(x+3).
解这个整式方程，得：x=21.
答：轮船在静水中的速度为21千米/时.
经检验：x=21时，方程左边= =方程右边.故x=21是方程的解.
解分式方程的基本思路：
整式方程
约去分母
两边同乘以同一个整式
解分式方程的关键：
分式方程两边同时乘以最简公分母，约去分母后得到整式方程.
分式方程
通常取各分式的最简公分母
例3 解方程：
解：方程两边同乘以(x2－1)，约去分母，得:
x+1=2.
解这个整式方程，得：
x=1
小唯唯说：“所以，x=1是原分式方程的解.”他的想法对吗？
事实上，当x=1时，原分式方程左边和右边的分母（x-1）与（x2-1）都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x=1不是原分式方程的根，应当舍去.所以原分式方程无解.
在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.
因此，在解分式方程时必须进行检验.
增根
那么，可能产生“增根”的原因是什么呢？
对于原分式方程的解来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为零，但变形后得到的整式方程则没有这个要求.
如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的值为零，它就不适合原方程，即是原分式方程的增根.
如何确定整式方程的解是不是原分式方程的解呢？怎样检验？
分式方程解的检验------必不可少的步骤
解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零.有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为零.如果为零，即为增根.
如例1中的x=1，代入x2－1＝0，可知x=1是原分式方程的增根.
1.代入原方程进行检验
2.代入最简公分母进行检验
总结
解分式方程的步骤：
约去分母
分式方程
一元一
次方程
求解
如x=c
检验
将x=c代入最简公分母，看最简公分母是否为0
等于0
x=c是原方程的增根，
原方程无解.
不等于0
x=c是原方程的根.
转化
“一化二解三检验”
例4
解方程：
解：方程两边同乘以x (x-7)，约去分母，得
100 (x-7)=30x.
解这个整式方程，得x＝10.
检验：把x=10代入x (x-7)，得
10 (10-7)≠0，
所以， x＝10是原方程的解.
1.解下列方程：(1)
解：(1)方程两边同乘2x-5，得x-(2x-5)＝-5.
解这个方程，得x＝10.
检验：当x＝10时，2x-5≠0，
所以x＝10是原方程的解．
随堂练习
解：(2)方程两边同乘x(x－2)，
得5(x－2)＝7x.
得-2x＝10
解这个方程，得x＝-5.
检验：当x＝-5时，x－2≠0，
所以x＝-5是原方程的解．
解：(3)方程两边同乘(x+3)(x－1)，
得2(x－1)＝x+3.
解这个方程，得x＝5.
检验：当x＝5时，左边= 右边，且分母≠0
所以x＝5是原方程的解．
思路引导：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：整式方程无解与分式方程有增根．
2.若关于x的分式方程 无解，求m的值．
解：方程两边同乘(x＋2)(x-2)，
得2(x＋2)＋mx＝3(x-2)，
即(m-1)x＝-10.
①当m-1＝0时，此方程无解，此时m＝1；
②方程有增根，则 x＝2或 x＝-2.
当x＝2时，代入(m-1)x＝-10，
得2(m-1)＝-10，m＝-4；
当x＝-2时，代入(m-1)x＝-10，
得-2(m-1)＝-10，解得m＝6.
综上所述，m的值是1，-4或6.
方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程．
1.去分母时，原方程的整式部分漏乘
2.约去分母后，分子是多项式时，没有添括号．(因分数线有括号的作用）
3.忘记检验
分式方程
及其解法
步骤
(去分母法)
一化（分式方程转化为整式方程）；
二解（解整式方程）；
三检验（代入最简公分母看是否为零）
定义
常见错误
课堂小结(共28张PPT)
16.3.2 分式方程的应用
八年级下
华师版
1.理解数量关系正确列出分式方程.
2.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题.
学习目标
重点
难点
1.解分式方程的基本思路是什么？
整式方程
约去分母
两边同乘以最简公分母
分式方程
2.解分式方程有哪几个步骤？
3.验根有哪几种方法？
一化二解三检验
①代入原方程进行检验；②代入最简公分母进行检验
新课引入
我们知道一元一次方程更多的是应用在实际问题中的，那么分式方程也是一样的，接下来我们就来看一下分式方程在实际问题中的应用.
例1 某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.
(1)你能找出这一情境中的等量关系吗？
解：第二年每间房屋的租金 = 第一年每间房屋的租金 + 500元；
第一年出租房屋间数 = 第二年出租的房屋间数；
出租房屋间数 = 所有出租房屋的租金÷每间房屋的租金.
(2)根据这一情境你能提出哪些问题？
解： 求出租的房屋总间数；
分别求两年每间房屋的租金.
(3)你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗？
解法一：设第一年每间房屋的租金为 x 元，则第二年每间房屋的租金
为(x+500)元.
根据题意，得
解这个方程，得 x =8 000.
经检验x=8000是所列方程的根.所以8000+500=8500（元）.
答：第一年每间房屋的租金为 8000 元，第二年每间房屋的租金为8500 元.
列分式方程解应用题的一般步骤:
1.审：弄清题意，找出问题中已知量、未知量；借助图表分析问题过程中各数量之间的关系.
2.设：选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的代数式表示相关量，注意单位要统一．
3.列：根据数量和相等关系列出分式方程.
4.解：解所列的分式方程，求出未知数的值
5.验：双检验：（1）是否是所列方程的解；（2）是否符合实际意义.
6.答：注意单位和语言完整.
一、工程问题
等量关系：
新知学习
例2 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两位程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致.两人各输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完，这两个操作员每分钟各能输入多少个数据？
分析：设乙每分钟能输入x个数据
工作总量 工作效率 工作时间
甲
乙
2640个
x个/分钟
2x个/分钟
等量关系：
甲工作时间=乙工作时间-（2×60）分钟
分钟
分钟
2640个
经检验，x=11是原方程的解，并且，当x=11时，2x=22，所以乙用了240分钟，甲用了120分钟，甲比乙少用了120分钟，符合题意.
答：甲每分钟能输入22个数据，乙每分钟能输入11个数据.
解：设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入2x个数据.
根据题意，得
解得x=11.
方法总结
解决工程问题的思路方法：
1.各部分工作量之和等于1.
2.常从工作量和工作时间上考虑相等关系．
二、路程问题
等量关系：
例3 农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度.
分析：设自行车的速度为x千米/时.
路程 速度 时间
自行车
汽车
15千米
15千米
x千米/时
3x千米/时
小时
小时
等量关系：
汽车所用时间=自行车所用时间- 小时
解：设自行车的速度为x千米/时，那么汽车的速度是3x千米/时，
依题意得：
解得： x=15
经检验，x=15是原方程的根
由x＝15得3x=45
答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时.
方法总结
1.注意关键词“提速”与“提速到”的区别；
2.行程问题中的三个量，即路程、速度和时间，分别用代数式表示出来；
3.行程问题中的等量关系通常是抓住“时间线”来建立.
三、销售盈亏问题
等量关系：
批发成本=批发数量×批发价 批发数量=批发成本÷批发价
打折销售价=定价×折数 销售利润=销售收入一批发成本
每本销售利润=定价一批发价
每本打折销售利润=打折销售价一批发价
利润率=利润÷进价.
例4 某进货员用8000元购进一批衬衫，很快销售一空.再进货时，他发现这种衬衫的单价比上一次贵了4 元/件，他用17600元购进2倍于第一次进货量的这种衬衫.问第一次购进多少件衬衫？
分析：第一次购进x件衬衫.
进货总价 进货数量 进货单价
第一次
第二次
8000元
17600元
x件
2x件
元/件
元/件
等量关系：
第二次进货单价-第一次进货单价=4
解得 x =200.
解：设第一次购进x件衬衫，由题意得，
检验：当x =200时，2x =400≠0，
所以，x =200是原分式方程的解，且符合题意.
答：第一次购进200件衬衫.
针对训练
根据市场需求，某玩具店分别用1600元、6000元购进A、B两种不同的玩具，B种玩具的数量是A种玩具数量的3倍，但单价比A种玩具贵2元，请问该玩具店A种玩具购进了多少个
解:方法一:设该玩具店A种玩具购进了x个，由题意得
解得x= 200.
经检验，x=200是原分式方程的根，且符合题意.
答:该玩具店A种玩具购进了200个.
方法二:设该玩具店A种玩具的单价为x元，由题意得
解得x=8.
经检验，x=8是原分式方程的根，且符合题意.
1600÷x= 1600÷8= 200.
答:该玩具店A种玩具购进了200个.
1. 某工厂生产一批机器，由于改进生产工艺，每天比原计划多生产20台，实际生产500台机器与原计划生产300台机器所需时间相同．设实际每天生产x台机器，则可得方程( )
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
A
随堂练习
2. A、B两地相距135千米，两辆汽车从A开往B，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5:2，求两车的速度.
分析：设大汽车速度为2x千米/时.
路程 速度 时间
大汽车
小汽车
等量关系：
大汽车所用时间-小汽车所用时间=（5-0.5）小时
135千米
135千米
2x千米/时
5x千米/时
小时
小时
解：设大车速度为2x千米/时，小车速度为5x千米/时，
由题意得
解得
x=9
经检验，x=9是原方程的解，
答：大车速度为18千米/时，小车速度为45千米/时.
则2x=2×9=18，5x=5×9=45，均符合题意.
3.随着新能源汽车的普及，从2023年开始，使用新的快速充电技术，每分钟充电量的续航里程(汽车所能行驶的路程)比采用过去的充电技术提高了20%，使用新的快速充电技术续航里程480公里的充电时间，比采用过去的充电技术续航里程500公里的充电时间节省2分钟，问：采用新的快速充电技术，每分钟充电量的续航里程为多少公里？
解：设采用过去的充电技术，每分钟充电量的续航里程为x公里，则采用新的快速充电技术，每分钟充电量的续航里程为x(1＋20%)公里，根据题意得： ，解得：x＝50，经检验，x＝50是原分式方程的解，且符合实际，
∴x(1＋20%)＝60，
答：采用新的快速充电技术，每分钟充电量的续航里程为60公里．
例2 随着数字化时代的到来，人工智能被广泛应用．物流行业在人工智能、5G技术的推动下迅速发展．某物流公司利用“智能搜索”“推理规划”“计算机视觉”等技术对分拣和配送环节进行升级．升级前可配送6万件物品，在相同的时间内，现在可配送的物品数量是原来的1.5倍．
(1)现在可配送的物品数量是________万件；
(2)若升级后每小时比升级前多配送0.5万件物品，求升级后每小时配送物品的数量．
9
解：设升级后每小时配送物品的数量是x万件，则升级前每小时配送物品的数量是(x－0.5)万件，
根据题意得： ，
解得：x＝1.5，
经检验，x＝1.5是原分式方程的解，且符合实际．
答：升级后每小时配送物品的数量是1.5万件．
列分式方程解应用题的一般步骤:
1.审：弄清题意，找出问题中已知量、未知量；借助图表分析问题过程中各数量之间的关系.
2.设：选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的代数式表示相关量，注意单位要统一．
3.列：根据数量和相等关系列出分式方程.
4.解：解所列的分式方程，求出未知数的值
5.验：双检验：（1）是否是所列方程的解；（2）是否符合实际意义.
6.答：注意单位和语言完整.
课堂小结
