(共28张PPT)
17.1.1 变量与函数的概念
及其表示方法
八年级下
华师版
1.了解变量与常量的意义；在实际问题中，会区分常量与变量，能够建立变量之间的关系式.
2.了解函数的相关概念，会判断两个变量是否具有函数关系．
3.了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系．
学习目标
重点
难点
问题1
下图是某地一天内的气温变化图.
你能从图中看到哪些信息？
新课引入
信息一：各时刻对应的气温.
例如：这天的6时的气温为 ℃；10时的气温为 ℃；14时的气温
为 ℃； 时和 时的气温均为1℃.
-1
9
20
2
5
信息二：气温升降变化时段.
这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？
这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高；0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降低．
从图中我们还可以看到，随着时间t（时）的变化，相应的气温T(℃)也随之变化．
在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？
观察上表，说一说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段时间内体重增加较快？
周 岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
体重 7.9 12.2 15.6 18.4 20.7 23.0 25.6 28.5 31.2 34.0 37.6 41.2 44.9
小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重(kg)，如下表：
问题2
随着年龄的增长，体重也随着增长；且在1-2周岁体重增加较快.
观察上表回答：
(1)波长 λ和频率 f 数值之间有什么关系
(2)波长λ越大，频率f 就_____．
收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是一些对应的数值.
问题3
波长λ（m） 300 500 600 1 000 1 500
频率f（kHz） 1 000 600 500 300 200
λ与 f 的乘积是一个定值，即λf＝300000，或者
300000
λ
f =
越小
由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就______．
圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积，则S与r之间满足下列关系：S＝____.
利用这个关系式，试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm时圆的面积，并将结果填入下表：
问题4
越大
半径r(cm) 1 1.5 2 2.6 3.2 ...
圆面积S(cm2) ...
πr2
3.14
7.065
12.56
21.2264
32.1536
上述变化过程中出现的数量，你认为可以怎样分类？
思考
数值发生变化的量
变量
数值始终不变的量
常量
问题1中的时间t、气温T；
问题2中的周岁、体重；
问题3中的波长λ、频率f；
问题4中的圆面积S、半径r.
问题3中的300000；
问题4中的π.
新知学习
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量.
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量.
理解
1.在同一个变化过程中，理解变量与常量的关键词：发生了变化和始终不变.
2.“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，但“常量”不等于“常数”，它可以是数值不变的字母，如在匀速运动中的速度v就是一个常量；
例1. 列车从甲地驶往乙地，在 16:17 到 16:22 这个时段，列车在匀速行驶的过程中，有哪些量？在这些量中哪些是常量？哪些是变量？
在这个时段里，电子显示屏上的“350km/h”没变过
甲、乙两地间的路程不变.
列车行驶的时间在不断变化.
列车离甲地越来越远，离乙地越来越近.
常量
常量
变量
变量
针对训练
1.指出下列变化过程中的变量和常量：
（1）汽油的价格是7.4元/升，加油 x 升，车主加油付油费为 y 元；
（2）小明看一本200 页的小说，看完这本小说需要t 天，平均每天所看的页数为 n
（3）用长为40 cm 的绳子围矩形，围成的矩形一边长为 x cm，其面积为 S cm2．
（4）若直角三角形中的一个锐角的度数为α°，则另一锐角的度数β°与α°间的关系式是β=90-α.
解：红色框表示常量；绿色框表示变量.
2.填一填
（1）某人持续以a米／分的速度用t分钟时间跑了s米，其中常量是 ,变量是 .
（2）s米的路程,不同的人以不同的速度a米／分各需跑的时间为t分钟，其中常量是_____，变量是 .
（3）根据上面的叙述，写出一句关于常量与变量的结论 .
a
s
a,t
t,s
在不同的条件
下，常量与变量是相对的
温馨提示
变量与常量是相对的，前提条件是“在一个变化过程中”，一个量在某一变化过程中是常量，而在另一个变化过程中，它可能是变量；如在s＝vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，t为常量．
前面的四个问题中，各个变化过程有何共同之处？
思考
问题1中的时间t、气温T；
问题2中的周岁、体重；
问题3中的波长λ、频率f；
问题4中的圆面积S、半径r.
都出现了两个变量
两个变量相互依赖、密切相关
当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当其中一个变量确定时，另一个变量也随着确定．
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数．
1.有两个变量；
2.一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化；
3.对于自变量的每一个值，函数有且只有一个值与之对应．
理解
“函数三要素”
思考
把一根 2m 长的铁丝围成一个长方形．
(1) 当长方形的宽为 0.1m 时，长为多少？宽为 0.2m 时，长为多少？
(2) 这个长方形的长是宽的函数吗？为什么？
长方形的宽为 0.1m 时，宽为 0.9 m；
长方形的宽为 0.2m 时，宽为 0.8 m.
在这个变化过程中有两个变量“长” 和“宽”；“长”随着“宽”的变化而变化；且对于“宽”的每一个值，“长”都有唯一确定的值与之对应. 所以长方形的长是宽的函数．
例2 “沙漏”是我国古代一种计量时间的仪器，它根据一个容器里的细沙漏到另一个容器中的数量来计算时间.请说出该变化过程中有哪几个变量，自变量什么？
解：该变化过程中有两个变量：漏到另一容器中细
沙的数量和经过的时间；
其中自变量是：漏到另一容器中细沙的数量．
例3 按图示的运算程序，输入一个实数 x ，便可输出一个相应的实数 y. y 是 x 的函数吗？为什么？
输入 x
+2
×5
-4
输出 y
解：根据运算程序，可以得出 y = 5(x + 2) - 4.
当变量 x 变化时，变量 y 总有唯一值与之对应.
所以 y 是 x 的函数．
方法总结
书写函数关系式的一般步骤：
1.先认真审题，根据题意找出相等关系;
2.按相等关系，写出含有两个变量的等式;
3.将等式变形为用含有自变量的代数式表示函数的式子.
针对训练
1.下列关系式当中，y 不是 x 的函数的是 ( )
A. y = 2x - 3
B. y = x2 + 3
C. y = 2|x| + 3
D. y2 - 3x = 0
D
2. 一本笔记本 5 元，买 x 本共付 y 元，则 5 和 y 分别是( )
A. 常量，常量 B. 变量，变量
C. 常量，变量 D. 变量，常量
C
3. 下列变量间的关系不是函数关系的是( )
A. 长方形的宽一定，其长与面积
B. 正方形的周长与面积
C. 等腰三角形的底边长与面积
D. 圆的周长与半径
C
图象法
列表法
解析法
表示函数关系的方法
波长λ（m） 300 500 600 1000 1500
频率f（kHz） 1000 600 500 300 200
S=πr2
300000
λ
f =
解析法 列表法 图象法
定义
实例
优点
通过列出自变量的值，与对应函数值的表格表示函数关系的方法
问题2、3
具体反映了函数随自变量变化的数值对应关系
用数学式子表示函数关系的方法
问题1
准确反映了函数随自变量变化的数量关系
用图象表示两个变量间的函数关系的方法
问题3、4
直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律
函数三种表示方法的区别
1.汽车油箱内有油 40L，每行驶 100km 耗油 10L，求行驶过程中油箱内剩余油量 Q(L) 与行驶路程 s(km) 的函数表达式.
解：汽车行驶 100 km 耗油 10L，行驶 s km 耗油 ，
所以 Q(L) 与 s(km) 之间的函数表达式为：
，即
.
你能知道汽车行驶 250km 时，油箱里还有多少油吗？
将 s = 250 代入表达式，可得 ，
即 Q = 40 - 25，
Q = 15 (L)
所以此时油箱里还有 15L 油.
随堂练习
2.瓶子或罐头盒等物体如下图那样堆放，试确定瓶子总数y与层数x之间的关系式.
x 1 2 3 … n
y …
1
1+2
1+2+3
1+2+3+ …+n
完成上表，并写出瓶子总数y 与层数x之间的关系式
在某一变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．
解析法，列表法和图象法
变量与函数的概
念及其表示方法
常量与变量
函数
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数．
函数的表示方法
课堂小结(共20张PPT)
17.1.2 求自变量的取值范围
和函数值
八年级下
华师版
1.能根据函数关系式直观得到自变量的取值范围，理解实际问题对自变量取值的限制.
2.会求出函数值.
学习目标
重点
难点
复习回顾：写出下列各问题中的函数关系式：
1.圆的周长C是半径r的函数；
2.火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s(千米)是所用时间t(时)的函数；
3.n边形内角和的度数S是边数n的函数.
C=2πr
s=60t
S=(n-2)·180°
r 取 -1 有实际意义吗？
t 取 -2 有实际意义吗？
n 取 2 有实际意义吗？
新课引入
上个课时的四个问题中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？
一、自变量的取值范围
问题1
下图是某地一天内的气温变化图.
新知学习
周岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
体重 7.9 12.2 15.6 18.4 20.7 23.0 25.6 28.5 31.2 34.0 37.6 41.2 44.9
小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重(kg)，如下表：
问题2
收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是一些对应的数值.
问题3
波长λ（m） 300 500 600 1 000 1 500
频率f（kHz） 1 000 600 500 300 200
圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系：S＝πr2.
问题4
总结
在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围．
(4)因为被开方式必须为非负数才有意义，所以x－2≥0 ,自变量x的取值范围是x≥2 .
(2) x取任意实数;
(3)因为x=－2时，分式分母为0，没有意义，所以x取不等于－2的任意实数(可表示为 x≠－2).
(1) x取任意实数;
解：
例1 求下列函数中自变量x的取值范围:
(1) y ＝ 3x－1 ; (2) y ＝2x ＋7 ; (3) y ＝ ; (4) y ＝ .
x＋2
1
自变量的取值范围
表达式
实际问题
整式
全体实数
分式
使分母不为0的实数
偶次根式
使被开方数为非负数的实数
奇次根式
全体实数
零指数幂(或负整数指数幂)
使底数不为0的实数
使实际问题有意义的实数
归纳
解：根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，可知
2x+y=180°,
有 y=180°-2x.
由于等腰三角形的底角只能是锐角，所以自变量的取值范围是0°例2 等腰三角形顶角的度数y是底角度数x的函数，试写出这个函数关系式，并求出自变量x的取值范围.
y
x
二、求函数值
想一想
1.填写如图所示10以内正整数的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么
1
1
2
3
4
5
6
7
12
8
10
11
9
2
3
4
5
6
7
12
8
10
11
9
5
6
2
＋
横向的加数与纵向的加数之和为10；
涂黑的格子在一条直线上.
2.横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，则y和x之间的函数关系式是_______，
自变量x的取值范围是_________________.
1≤x≤9，且x为整数
y=10-x
3.当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是___，当纵向的加数为6时，横向的加数是___.
7
4
1
1
2
3
4
5
6
7
12
8
10
11
9
2
3
4
5
6
7
12
8
10
11
9
5
6
2
＋
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
例3 当x=3时，求下列函数的函数值：
(1)y=2x+4； (2)y=－2x2； (3) (4)
解：(1)当x=3时，y=2x+4=2×3+4=10；
(2)当x=3时，y =－2x2=－2×32=－18；
(4)当x=3时，
(3)当x=3时，
1.求下列函数中自变量x的取值范围．
(1)y＝3x＋7 ； (2)y＝ ； (3)y＝ ； (4)y＝ .
解：(1)函数关系式右边是整式，所以x的取值范围为一切实数；
(2)由x－4≥0，得x≥4，所以x的取值范围是x≥4；
(3)由 得x≥－2且x≠0，所以x的取值范围是x≥－2且x≠0；
(4)由 得x＝ ，所以x的取值是x＝ .
随堂练习
2.汽车的油箱中有汽油 50L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y (单位：L) 随行驶里程 x (单位：km) 的增加而减少，平均耗油量为 0.1L/km.
(1) 写出表示 y 与 x 的函数关系的式子；
解：(1) 函数关系式为：y = 50 - 0.1x
(2) 指出自变量 x 的取值范围；
解：(2)由题意知：50 - 0.1x ≥ 0，即 x≤500，
又∵ 汽车行驶里程 x ≥ 0∴ 自变量的取值范围是 0 ≤ x ≤ 500.
(3) 汽车行驶 200 km 时，油箱中还有多少油？
解：当 x = 200 时，函数 y 的值为 y = 50 - 0.1×200 = 30.
因此，当汽车行驶 200 km 时，油箱中还有油 30 L.
3.一个游泳池内有水300 m3，现打开排水管以每小时25 m3的排出量排水.
(1)写出游泳池内剩余水量Q m3与排水时间t h间的函数关系式；
(2)写出自变量t的取值范围.
解:(1)排水后的剩水量Q是排水时间 t 的函数，函数表达式为
Q= 300 - 25t =-25t+300.
(2)由于池中共有300 m3水，每时排25 m3，全部排完只需300 ÷ 25 = 12 ( h)，故自变量 t 的取值范围是0 ≤t≤12.
(3)开始排水后的第5h末，游泳池中还有多少水？
(4)当游泳池中还剩150 m3水时，已经排水多长时间？
(3)当t=5时，代入函数表达式,得Q=-5 ×25 +300 = 175 ( m3)，即排水5h后，池中还有水 175 m3.
(4)当Q=150时，由 150 =- 25t+ 300 ,得t =6 (h)，即池中还剩水150 m3时，已经排水6 h.
4. 等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，CA与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．
(1)试写出重叠部分面积y(cm2)与线段MA长度x(cm)之间的函数关系式．
(2)当A点向右移动1 cm时，重叠部分的面积是多少
分析：(1)根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA的长度可得出y与x的关系；
(2)将x=1cm代入，可得出重叠部分的面积．
M
Q
N
P
A
B
C
x
x
解：(1)重叠部分面积 y与线段MA长度 x之间的函数关系式为
(2)点A向右移动1cm，即x=1，
所以当点A向右移动1cm时，重叠部分的面积为 cm2.
自变量的取值范围
表达式
实际问题
整式
全体实数
分式
使分母不为0的实数
偶次根式
使被开方数为非负数的实数
奇次根式
全体实数
零指数幂(或负整数指数幂)
使底数不为0的实数
使实际问题有意义的实数
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
课堂小结
