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17.4.2 反比例函数的图象
与性质
八年级下
华师版
1.经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的图象特征和性质的过程.
2.能够初步应用反比例函数的图象和性质解题．
学习目标
重点
难点
复习回顾
一次函数：
形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.
图 象
决定函数的增减性和倾斜方向
决定图象与y轴的交点情况
y=kx+b
类似地，反比例函数的图象是什么？反比函数的图象有什么性质呢？
直线
新课引入
本节课，我们就来讨论一般的反比例函数(k是常数，k≠0)的图象，探究它有什么性质．
P55练习第2题，画出函数y= (x＞0)的图象．
O 2 4 6 8 12 24
x
y
24
12
8
6
4
2
我们画出了练习2中函数的图象，发现它并不是直线.那么它是怎么样的曲线呢？
思考
反比例函数的图象和性质
做一做
例 画出反比例函数 与 的图象.
注意：在反比例函数中自变量 x 不能为 0(分母不能为0).
新知学习
解：列表如下：
x … －6 －3 －2 －1 1 2 3 6 12 …
… …
… …
－1
－2
－3
－6
6
3
2
1
2
－2
－4
－6
6
4
2
1
－12
12
我们发现在这里取的自变量都是整数，因变量也全是整数，为什么要这样取呢？
无论是自变量还是因变量如果取小数的话，我们自己画出来的图会不那么精确，所以我们取得全是整数.
O
－2
5
6
x
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
－3
－4
－1
－5
－6
－1
－2
－3
－4
－5
－6
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．
连线：用光滑的曲线顺次连接各点， 即可得 与 的图象．
y
5
6
x
y
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
O
－2
－3
－4
－1
－5
－6
－1
－2
－3
－4
－5
－6
思考
观察函数图象，回答问题：
(1) 每个函数图象分别位于哪些象
限？
都位于一三象限
x 增大
5
6
x
y
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
y减
小
O
－2
－3
－4
－1
－5
－6
－1
－2
－3
－4
－5
－6
思考
观察函数图象，回答问题：
(2) 在每一个象限内， 随着x的增
大，y 如何变化？你能由它们的解析
式说明理由吗？
因为解析式是 ，而且k是正的，所以当x增大时，对应的函数值应该减小，所以y 减小
(3) 对于反比例函数 (k＞0)，你能得出同样的结论吗？
O
x
y
当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
一般地，反比例函数 (k＞0) 的图象是双曲线，它具有以下性质：
取不到原点，所以得分象限说明.其次解析式是分式的形式，x是分子，y是分母，所以x越大y越小
请画出 、 、 的函数图像，并说出其性质.
问题：1.你能猜测出他们的函数图像吗？
2.它们有怎样的性质？
探究
解：列表如下：
x … －6 －3 －2 －1 1 2 3 6 …
… …
… …
… …
1
2
3
6
-6
-3
-2
-1
2
4
6
-6
-4
-2
12
-12
3
6
9
18
-18
-9
-6
-3
O
－2
5
6
x
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
－3
－4
－1
－5
－6
－1
－2
－3
－4
－5
－6
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．
连线：用光滑的曲线顺次连接各点， 即可得 、 与
的图象．
y
(1) 每个函数图象分别位于哪些象限？
都在第二、四象限
(2) 在每一个象限内， 随着x的增大，
y 如何变化？你能由它们的解析式说
明理由吗？
思考
O
－2
5
6
x
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
－3
－4
－1
－5
－6
－1
－2
－3
－4
－5
－6
y
y增大
x 增大
因为解析式是 ，而且k是负的，所以当x增大时，对应的函数值应该增大，所以y 增大.
(1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，
y 随 x 的增大而减小；
(2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，
y 随 x 的增大而增大.
一般地，反比例函数 的图象是双曲线，它具有以下性质：
O
x
y
O
x
y
观察函数图象，知道了反比例函数 图象的增减性，实际上我们还可以通过证明得到.
设(x1,y1)，(x2,y2)为反比例函数 图象上的两点，且x1＜x2，
试比较y1，y2的大小.
(1)当k＞0，且这两点在同一象限时，
则 .此时y随x的增大而减小 .
做一做
(2)当k＜0时，且这两点在同一象限时，
即 . 此时y随x的增大而增大 .
当k＜0时，且这两点不在同一象限时，
因为 x10，y1>0，y2<0.
所以y1< y2 .
当k＞0，且这两点不在同一象限时，
因为 x10，y1<0，y2>0.
所以y1< y2 .
例1 已知反比例函数 .
(1)画出此反比例函数图象.
x … －8 －4 －2 －1 1 2 4 8 …
… …
-1
-2
-4
-8
8
4
2
1
解：列表如下：
描点
连线
O
－2
5
6
x
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
－3
－4
－1
－5
－6
－1
－2
－3
－4
－5
－6
y
－7
－8
7
8
－7
－8
7
8
(1)反比例函数 的图象在________象限.
一、三
(2)在图象的每一支上，y 随 x 的增大而________.
(3)若点（2，a）是该函数图
像上一点求出a的值.
解：将x=2代入反比例函数 中，
则y=4，所以a=4.
减小
例2 填空：
（1）反比例函数y= - 的图象在第_______象限.
（2）反比例函数y= 的图象如图所示，则k_____0;在图象的每一支上，
y随x的增大而_______.
二、四
<
增大
O
x
y
例3 在同一直角坐标系中，函数 y = 2x 与 的图象大致是（ ）
O
x
y
A
O
x
y
B
O
x
y
C
O
x
y
D
D
探究
反比例函数图象是中心对称图形吗？如果是， 请找出对称中心.
1. 若点（m,n）在反比例函数y=的图象上，点（-m,-n）在反比例函数y=的图象上吗？
反比例函数图象是中心对称图形，其对称中心是坐标原点；
在的，只不过是在图象的另一支.
2. 反比例函数图象是轴对称图形吗？如果是，你能试着说明它的对称轴是什么吗？
反比例函数图象也是轴对称图形，它有两条对称轴：直线 y = x 和直线 y = -x.
例4 已知反比例函数y=与正比例函数图像的交点为（-1,3），则另一个交点的坐标是多少？反比例函数的解析式是什么？
解：因为反比例函数图象根据原点对称，
所以另一个交点是（1，-3），
当x=-1时，代入反比例函数 ，得：k=-3
所以函数解析式为 .
随堂练习
1.下列图象中是反比例函数图象的是（ ）.
C
A B C D
2.如图所示的图象对应的函数解析为（ ）.
A. y = 5x
B. y = 2x + 3
C.
D.
C
3. 在同一直角坐标系中，函数y=kx，y= （k≠0）的图象大致是（ ）.
（A）(1)(2) （B）(1)(3) （C）(2) (4) （D）(3)(4)
O
x
y
（1）
O
x
y
（2）
O
x
y
（4）
O
x
y
（3）
C
4. 如图，点P(-2a,a)是反比例函数 与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为5π，则反比例函数的解析式 ( )
A. B. C. D.
解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：
解得：
∵点P(-2a,a)是反比例函数 与⊙O的一个交点.
∴-2a =k且
∴a =4
∴k=-2×4=-8
则反比例函数的解析式是：
故选D.
课堂小结
解析式 图象 所在 象限
渐进性 k>0，一、三象限
双曲线
k﹤0，二、四象限
x
y
o
x
y
o
当k>0时,在每一象限
内, y随x的增大而减小
当k﹤0时,在每一象限
内, y随x的增大而增大
增减性
双曲线的两支无限靠近坐标轴，但无交点
对称性
既是轴对称图形也是中心对称图形
与 的图象关于x轴对称,也关于y轴对称
或
或
