(共29张PPT)
18.1.1 平行四边形的性质定理1、2
八年级下
华师版
1. 认识平行四边形；
2. 探索并掌握平行四边形对边相等、对角相等的性质；
3. 初步体会几何研究的一般思路与方法；
4. 能计算平行四边形性质相关问题.
学习目标
重点
难点
新课引入
两组对边都不平行
一组对边平行，
一组对边不平行
两组对边分别平行
问题1: 观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？
问题2: 第三个图片是什么图形？
平行四边形
问题3: 你还记得我们是如何定义平行四边形的吗？
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
1.定义:
2.平行四边形用“ ” 表示，如图，平行四边形ABCD 记作 ABCD ( 要注意字母顺序) .
A
B
D
C
语言表述：
∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
新知学习
√
√
例1 请你指出以下图形中的平行四边形.
例2 如图，DC∥GH ∥ AB，DA∥ EF∥ CB，图中的平行四边形有多少个？将它们表示出来.
D
A
B
C
H
G
F
E
K
解：∵DC∥GH ∥ AB，
DA∥ EF∥ CB，
∴根据平行四边形的定义可以判定图中共有9个平行四边形，即
AEKG， ABHG， AEFD， GKFD，
BEKH， CHKF， BEFC， CDGH， ABCD.
探究
根据平行四边形的定义，你能说出平行四边形的特点吗？
A
B
C
D
AB
CD
AD
BC
ABCD
①
1、边的关系
A
B
C
D
2、角的关系
①
∵AB∥CD
∴∠B与∠C互补；
∠A与∠D互补.
∵AD∥BC
∴∠A与∠B互补；
∠D与∠C互补.
相邻内角互补
n
试一试
作一个平行四边形.
步骤:
1， 任意画一条直线m；
2， 在直线m上任取点 A，在直线m外任取点B，连结AB；
3， 过点B作直线m的平行线n，在直线n上任取点C；
4， 过点C作直线AB的平行线，交直线m于点D，就得到 ABCD.
·
A
·
B
·
C
·
D
m
探索
1、如图，用剪刀把 ABCD剪下，放在另一张纸上，并沿 ABCD的边沿，画出一个四边形，记为EFGH，则四边形EFGH和 ABCD完全一样，也是平行四边形，它们的对应边、对应角都分别相等.
A(E)
B(F)
C(G)
D(H)
A
B
C
D
2、在 ABCD中，连结AC、BD，它们的交点记为点O，用一枚图钉穿过点O，将 ABCD绕点O旋转180°，观察旋转后的 ABCD和纸上所画的 EFGH是否重合.
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
你能从中得出 ABCD的一些边角关系吗
思考
归纳
旋转180°之后两个平行四边形完全重合，即平行四边形是中心对称图形，对角线的交点O就是对称中心.
1、边的关系
②
AB=CD；AD=BC.
A
B
C
D
2、角的关系
②
∠A=∠C；∠B=∠D.
如何用演绎推理证明上述探索得到的结论？
思考
A
B
C
D
已知:如图， ABCD.
求证:AB=CD，AD=CB，∠A=∠C，∠B=∠D.
分析:我们知道要证明边相等或角相等的一个重要方法是找出它们分别所属的三角形，然后证明这两个三角形全等，从上面旋转纸片的探索过程，可以发现一条对角线恰好将平行四边形分成两个全等的三角形.
A
B
C
D
证明:
连接BD，如图所示.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC(平行四边形的两组对边分别平行)
∴∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，
又∵BD=DB ∴△ABD≌△CDB，
∴AB=CD，AD=CB，∠A=∠C，
由∠ABD=∠CDB和∠ADB=∠CBD，得
∠ABD+∠CBD=∠CDB+∠ADB，
即∠ABC=∠CDA.
归纳
平行四边形的性质定理1 平行四边形的对边相等.
平行四边形的性质定理2 平行四边形的对角相等.
例3 如图，在 ABCD中，AB=8， ABCD的周长为24，求其他各边的大小.
A
B
C
D
解：
在 ABCD中，AB=CD，AD=BC(平行四边形的对边相等)
∵AB=8，
∴CD=8，
又∵AB+BC+CD+AD=24，
∴AD=BC= (24-2AB)=4.
试一试
在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺量出平行线之间这些垂线段的长度.
经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等，由此我们得到：
平行线之间的距离处处相等.
你能用平行四边形的性质说明这个结论吗？
例4 如图，在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别是E，F.求证：DE=BF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=CB，
又∠AED=∠CFB=90°，
∴△ADE≌△CBF(AAS)，
∴DE=BF
D
A
B
C
F
E
试用平行四边形的性质证明：平行线之间的距离处处相等.
例5 如图，如果直线l1∥l2，那么△ABC的面积和△DBC的面积是相等的，你能说出理由吗 你还能在这两条平行线之间画出其他与△ABC面积相等的三角形吗
A
B
C
D
l1
l2
解：
△ABC和△DBC的共用底BC，
∵l1∥l2
∴l1与l2之间的距离相等，
∴△ABC和△DBC的高相等，即△ABC和△DBC的面积相等，
其他三角形，只要底与BC相等，面积都与△ABC面积相等.
例6 用一根长度为36cm的铁丝围成一个平行四边形，各边的长度恰好都是3的整数倍，试找出所有满足条件的平行四边形，并分别求出各边的长.
A
B
C
D
解：
已知 ABCD边长为36cm，
则：2(AB+BC)=36cm
∴AB+BC=18cm
∵AB、BC是3的倍数，
设AB、BC的长度分别为3a，3b
∴3(a+b)=18， a+b=6
∴AB、BC共有5种可能，
∴AB分别为3cm、6cm、9cm、12cm、15cm
BC对应分别为15cm、12cm、9cm、6cm、3cm
A
B
C
D
你知道平行四边形的邻边之间有什么关系吗？
？
例7 已知平行四边形的周长是24，相邻两边的长度相差4，求该平行四边形相邻两边的长.
A
B
C
D
解： 如图，设AB的长为x，则BC的长为x+4，
根据已知，可得
2(AB+BC)=24，即2(x+x+4)=24，
4x+8=24，
解得x=4，
所以，该平行四边形相邻两边的长分别为4和8.
例8 已知:如图，在 ABCD中，∠ADC的平分线与AB相交于点E.
求证:BE+BC=CD.
D
A
B
C
E
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD(平行四边形的对边相等)，
AB∥CD(平行四边形的对边平行)
∴∠CDE=∠AED
又∵DE是∠ADC的平分线
∴∠ADE=∠CDE
∴∠ADE=∠AED
∴AD=AE，
又∵AD=BC(平行四边形的对边相等)，
∴AE=BC，
∴BE+BC=BE+AE=AB=CD，
D
A
B
C
E
1. 如果平行四边形的一组邻边的长相等，且等于其较短的对角线的长，而此对角线的长为4cm，求此平行四边形各内角的大小及各边的长.
解： 由已知得，该平行四边形4条边长度相等，均为4cm，
因为平行四边形一条较短对角线长为4cm，
因此，该对角线将平行四边形分为两个等边三角形，
所以该平行四边形边内角大小为：60°、120°、60°、120°.
随堂练习
证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥CD，AD = BC.
∴ ∠CDE = ∠DEA，∠CFB = ∠FBA.
又∵DE，BF 分别平分
∠ADC，∠ABC，
∴∠CDE = ∠ADE，∠CBF = ∠FBA.
∴ ∠DEA = ∠ADE，∠CFB =∠CBF.
∴AE = AD， CF = BC.
∴AE = CF.
2. 已知在平行四边形 ABCD 中，DE 平分∠ADC，BF 平分∠ABC.求证：AE = CF.
A
B
D
C
E
F
3. 如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE相交于CD上的一点E.求证:AE⊥BE.
解：
D
A
B
C
E
ABCD中，∠BAD+∠ABC=180°
∵AE平分∠BAD，BE平分∠ABC
∴∠EAB=∠DAE，∠EBA=∠EBC，
∴∠EAB+∠EBA=（∠BAD+∠ABC）÷ 2=90°，
即∠AEB=180°－(∠EAB+∠EBA)=90°
∴AE⊥BE.
平行四边形
性质
性质定理1 平行四边形的对边相等.
性质定理2 平行四边形的对角相等.
课堂小结
平行线之间的距离处处相等.
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是对称中心(共17张PPT)
18.1.2 平行四边形的性质定理3
八年级下
华师版
1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质；
2.运用平行四边形的性质求平行四边形的周长和面积.
学习目标
重点
难点
平行四边形的性质：
1、角的性质：
复习回顾
①相邻的角互补；②对角相等;
2、边的性质：
①对边平行；②对边相等;
平行四边形还有什么其他性质吗？
新课引入
在第73页图18.1.3探索过程中，你观察到OA与OC、OB与OD各有什么关系
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
通过以上过程，我们可以看出， ABCD是一个中心对称图形，对角线的交点O就是对称中心，有
OA=OC、OB=OD
新知学行四边形的性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
如何用演绎推理证明上述探索得到的结论？
思考
已知：如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
分析：要证明相等的OA与OC、OB与OD分别属于△AOB与△COD，因此只需证明这两个三角形全等即可.
A
C
D
B
O
3
2
4
1
证明：在 ABCD中，如图，
A
C
D
B
O
3
2
4
1
有AD=BC，AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴OA=OC，OB=OD.
例1 如图， ABCD的对线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，那么对角线AC与BD的和是多少
A
C
D
B
O
解：在 ABCD中
∵AB=6，AO+BO+AB=15
∴ AO +BO=15-6=9
又∵AO=OC，BO=OD(平行四边形的对角线互相平分)
∴AC+BD=2AO+2BO=2(AO+BO)=2×9=18
例2 如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AD、BC分别相交于点E和点F.求证：OE=OF.
A
C
D
B
O
E
F
分析：要证明OE=OF，只要证明它们所在的两个三角形全等即可.
证明： ABCD中
有OB=OD(平行四边形的对角线互相平分)
∵AD∥BC
∴∠DEO=∠BFE
又∵∠DOE=∠BOF，
∴△DEO≌△BFO.
∴OE=OF
针对训练
1. 如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，指出图中各对相等的线段.
A
C
D
B
O
解：在 ABCD中
因为对边相等，所以有AB=CD，AD=BC
因为对角线互相平分，所以有AO=CO，OD=BO.
2.如图，在 ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F.求证：OE=OF.
D
B
C
A
O
E
F
分析：要证明OE=OF，只要证明它们所在的两个三角形全等即可.
证明：在 ABCD中
有OB=OD(平行四边形的对角线互相平分)
∵BE⊥AC，DF⊥AC
∴BE∥DF
∴∠FDO=∠EBO
又∵∠DOF=∠EOB
∴△DFO≌△BEO.
∴OE=OF
例3 如图， ABCD的对角线AC与DB相交于点O，其周长为16，且△AOB的周长比△BOC的周长小2.求边AB和BC的长.
A
C
D
B
O
解：在 ABCD中
有OA=OC(平行四边形的对角线互相平分)
∵△AOB的周长+2=△BOC的周长
∴AB+OA+OB+2=BC+OB+OC，
即AB+2=BC
又∵ ABCD的周长等于16
∴2(AB+BC)=16
即4AB+4=16
∴AB=3，BC=5
例4 如图，在 ABCD中，对角线AC=21cm，BE⊥AC，垂足为点E，且BE=5cm，AD=7cm.求AD和BC之间的距离.
D
B
C
A
E
解：设AD，和BC之间的距离为x，则 ABCD的面积等于AD·x
∵S ABCD=2S△ABC=AC·BE
∴AD·x=AC·BE，即7x=21×5
∴x=15(cm).
即AD和BC之间的距离为15cm.
1.如图，如果△AOB与△AOD的周长之差为8，而AB∶AD=3∶2，那么 ABCD的周长为多少
D
B
C
A
O
解：由题知△AOB与△AOD的周长之差为8
∴AB﹣AD=8
∵AB∶AD=3∶2
∴AB= AD
∴AB﹣AD= AD﹣AD=8，即AD=16，AB=24
∴ ABCD 的周长=2(AD+AB)=2(16+24)=80.
随堂练习
2. 如图，在 ABCD中，EF过对角线的交点O，且与边AB、CD分别相交于点E、F，AB=4，AD=3，OF=1.3.求四边形BCFE的周长.
D
B
C
A
O
E
F
解：在 ABCD中
易证得：△BEO≌△DFO
∴OE=OF，EB=DF，
∴lEB+lBC+lCF=lBC+lCD=4+3=7
∴四边形BCFE的周长=7+2OF=7+1.3×2=9.6
3. 在 ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，BC=5，AC=6，BD=8.求△AOB的周长.
解：由题知，AC=6，BD=8
∴OA=OC=3，OB=OD=4
∵BC=5
∴△OBC为直角三角形
∴ ABCD被两条对角线平分的四个三角形均为直角三角形且全等
∴△AOB的周长=3+4+5=12.
4.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD，交BC于点E.若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长是多少？
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，OB=OD.
∵OE⊥BD，
∴BE=DE.
∵△CDE的周长为10，
∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10，
∴平行四边形ABCD的周长为2×(BC+CD)=20．
平行四边形
性质
性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
根据平行四边形性质求面积与周长
课堂小结
