(共26张PPT)
18.2.1 平行四边形的判定定理
八年级下
华师版
1. 经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定方法的一般思路；
2. 掌握平行四边形的判定定理1和2，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证.
学习目标
重点
难点
你还记得平行四边形具有哪些性质吗？请用命题的形式叙述出来.
复习回顾
1、如果四边形是平行四边形，那么它的对边平行且相等；
2、如果四边形是平行四边形，那么它的对角相等，相邻内角互补；
3、如果四边形是平行四边形，那么它的对角线相互平分；
新课引入
根据平行四边形的定义，我们研究了平行四边形的其他性质，那么如何来判定一个四边形是平行四边形呢？除了定义还有什么方法？平行四边形性质定理的逆命题是否成立？我们一起来看.
思考
把平行四边形的性质“平行四边形的两组对边分别相等”互换条件与结论，写出它的逆命题.你认为它是一个真命题吗
命题 条件 结论
平行四边形的两组对边分别相等 四边形为平行四边形 两组对边分别相等
两组对边分别相等的四边形为平行四边形 四边形的两组对边分别相等 四边形为平行四边形
新知学习
作一个两组对边分别相等的四边形.
试一试
步骤：
1.任取两点B、D;
2.分别以点B和点D为圆心、任意长为半径，分别
在线段BD的两侧画弧;
3.再分别以点B和点D为圆心、适当长为半径画弧，与前面所画的弧分别交于点A和点C;
4.顺次连结各点，即得两组对边分别相等的四边形ABCD.
B
D
A
C
温馨提示
度量检查，所作的四边形是平行四边形吗？
实验发现，尽管每个人取的边长不一样，但只要对边分别相等，所作的就都是平行四边形.
你能演绎推理证明上述结论吗？
思考
已知:如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=DA.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，现在只有平行四边形的定义这一种方法，即必须证明AB∥CD，AD∥CB，因此需要连结对角线构造内错角.
A
C
D
B
3
2
4
1
证明：连结BD，
在△ABD和△CDB中，
∵AB=CD，AD=CB，BD=DB
∴△ABD≌△CDB.
∴∠1=∠3，∠2=∠4.
∴AD∥CB，AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).
A
C
D
B
3
2
4
1
归纳
平行四边形的判定定理1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵AB=CD，
AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形.
几何语言：
B
D
C
A
例1 如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．
解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，
∴∠DBF＝∠ABC.
又∵BD＝BA，BF＝BC，
∴△ABC≌△DBF(SAS)，
∴AC＝DF＝AE.
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB＝EF＝AD，
∴四边形DAEF是平行四边形．
例2 如图， AD⊥AC，BC⊥AC，且AB=CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：在Rt△ABC和Rt△CDA中，
∵AC=CA，AB=CD，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL)，
∴BC=AD.
又∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
如果有一个四边形，现在只能确定一组对边相等，还需要添加什么条件，才能使这个四边形确定为平行四边形？
？
一组对边相等
平行四边形
平行
试一试
作一个有一组对边平行且相等的四边形.
步骤：
1.任意画两条平行线m、n;
2.在直线m、n上分别截取AB、CD，使AB=CD;
3.分别连结点B、C和点A、D，即得到一组对边平行且相等的四边形ABCD.
m
n
·
·
C
D
·
A
·
B
四边形ABCD是平行四边形吗？
是平行四边形
你能用演绎推理证明上述结论吗？
思考
已知:如图，在四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，可以用平行四边形的定义，也可以用前面得到的平行四边形的判定定理1.
A
C
D
B
证明一：连结对角线AC，如图所示
在△ABC和△CDA中，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2.
又∵AB=CD，AC=CA，
∴△ABC≌△CDA.
∴BC=DA.
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)
A
C
D
B
2
1
证明二：连结对角线AC，如图所示
在△ABC和△CDA中，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2.
又∵AB=CD，AC=CA，
∴△ABC≌△CDA.
∴∠3=∠4.即AD∥BC
∴四边形ABCD 是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)
A
C
D
B
2
1
3
4
归纳
平行四边形的判定定理 2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵AB=CD，
AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形.
几何语言：
B
D
C
A
温馨提示
示
“平行且相等”常用符号“ ”来表示.如图，AB=CD且AB∥CD，可以记作“AB CD”，读作“AB 平行且等于CD”
∥
=
A
C
D
B
∥
=
例3 如图，在 ABCD中，点E、F分别在对边BC和DA上，且AF=CE.求证:四边形AECF是平行四边形.
A
C
D
B
E
F
分析:我们已经有了三种判定平行四边形的方法，根据已知条件AF=CE，若运用刚刚得到的判定定理2，则只需证明AF∥CE.
A
C
D
B
E
F
证明一: ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB(平行四边形的对边平行)，
即AF∥CE.
又∵AF=CE，
∴四边形AECF为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
你还有其他方法证明吗？试一试吧!
思考
A
C
D
B
E
F
证明二:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=CB(平行四边形的对边相等)，
又∵AF=CE，
∴FD=EB
∵AB=CD，∠B=∠D
∴△ABE≌△CDF
∴AE=CF
∴四边形AECF为平行四边形(两组对边相等的四边形是平行四边形)
随堂练习
∵E，F 分别是 AD，BC 的中点，
1. 已知：如图，E，F 分别是平行四边形 ABCD 的边 AD，BC 的中点.
求证：BE = DF.
D
F
E
C
B
A
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD = BC.
∴ED = BF，即 ED BF.
∥
=
∴四边形 EBFD 是平行四边形(一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形).
∴BE = DF (平行四边形的对边分别相等).
证明：在平行四边形 ABCD 中，∠A = ∠C，AD = BC，
又∵BF = DH，
∴AH = CF.
又∵AE = CG，
∴△AEH≌△CGF（S.A.S.）.
∴EH = GF.
同理得△BEF≌△DGH（S.A.S.）∴GH = EF.
∴四边形 EFGH 是平行四边形．
2. 如图，已知 E，F，G，H 分别是□ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上的点，且 AE = CG，BF = DH．求证：四边形 EFGH 是平行四边形．
3. 如图所示，△ABC 是等边三角形，P 是其内任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC 的周长为 24，则 PD + PE + PF = .
A
F
B
D
C
E
P
8
解：延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，
则由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，
四边形PGBD，EPHC是平行四边形，
∴PG=BD，PE=HC，
又∵△ABC 是等边三角形，PF∥AC，PD∥AB，
∴△PFG和△PDH都是等边三角形，
∴PF=PG=BD，PD=DH，
又∵△ABC的周长为24，
∴PD + PE + PF=DH+HC+BD=BC=24÷3=8
H
G
平行四边形
判定定理
判定定理1
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
判定定理 2
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
课堂小结(共23张PPT)
18.2.2 平行四边形的判定定理
八年级下
华师版
1. 掌握应用对角线判定平行四边形的方法；
2. 能进行有关对角线的计算和推理，用判定定理解决相关问题；
3. 会用两组对角相等判定平行四边形.
学习目标
重点
难点
平行四边形的性质
复习回顾
1、对边平行且相等；
2、对角相等；
3、对角线相互平分
平行四边形的判定
四边形是平行四边形的条件：
1、两组对边分别平行
2、两组对边分别相等
3、一组对边平行且相等
1、两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗？
2、对角线相互平分的四边形是平行四边形吗？
新课引入
思考
逆向思考，把“平行四边形的两条对角线互相平分”互换条件与结论，试写出它的逆命题.你认为它是一个真命题吗
命题 条件 结论
平行四边形的两条对角线互相平分 四边形为平行四边形 两条对角线互相平分
两条对角线互相平分的四边形为平行四边形 四边形的两条对角线互相平分 四边形为平行四边形
新知学习
作一个两条对角线互相平分的四边形.
试一试
步骤：
1.任意画两条相交直线m、n，记交点为O；
2.以点O为中心，分别在直线m、n上截取OB与OD、OA与OC，使OB=OD，OA=OC，顺次连结所得的四点，即得到一个两条对角线互相平分的四边形ABCD.
该四边形即是一个平行四边形.
B
D
A
C
O
n
m
所以对角线互相平分的四边形是平行四边形.
如何用演绎推理证明上述探索得到的结论？
思考
已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，可以用定义，也可以用平行四边形的两条判定定理.
A
C
D
B
O
证明：
在△AOB和△COD中，
OA=OC(已知)，
OB=OD(已知)，
∠AOB=∠COD(对顶角相等)，
∴△AOB≌△COD(SAS)，
∴∠BAO=∠OCD，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)
同理可证AD∥BC
A
C
D
B
O
∴∠BAO=∠OCD，AB=CD
∴AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形.
(一组对边平行且相等的四边形
是平行四边形)
法三证明：
在△AOB和△COD中，
OA=OC(已知)，
OB=OD(已知)，
∠AOB=∠COD(对顶角相等)，
∴△AOB≌△COD(SAS)，
∴∠BAO=∠OCD，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)
同理可证AD=BC
A
C
D
B
O
归纳
平行四边形的判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
几何语言：
在四边形ABCD中，∵AO=CO，DO=BO，
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
O
D
A
C
A
C
D
B
O
E
F
·
·
例1 如图，在 ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.
分析：连结BD，交AC于点O，由四边形ABCD是平行四边形，可得OB=OD.如果能证明OE=OF，就可以根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得到四边形BFDE是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC(平行四边形的对角线互相平分).
又∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
A
C
D
B
O
E
F
·
·
证明：连结BD，交AC于点O.
【变式题】如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，四边形BMDN是平行四边形吗？说说你的理由．
解：四边形BMDN是平行四边形．
证明：连接BD交AC于O．
∵BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，
∴∠AND=∠CMB=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AO=CO，AD=BC，AD∥BC，
O
∴∠DAN=∠BCM，
∴△ADN≌△CBM，∴AN=CM，
∴OA-AN=OC-CM，即ON=OM，
∴四边形BMDN是平行四边形．
O
思考
逆向思考，把“平行四边形的两组对角相等”互换条件与结论，试写出它的逆命题.你认为它是一个真命题吗 如果是你能证明吗
命题 条件 结论
平行四边形的两组对角相等 四边形为平行四边形 两组对角相等
两组对角相等的四边形为平行四边形 四边形的两组对角相等 四边形为平行四边形
已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°，
∴2∠A+2∠B=360°，
即∠A+∠B=180°，
∴AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
同理得AB∥CD，
证明：
平行四边形的判定定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言：
在四边形ABCD中，∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
D
A
C
归纳
思考
到目前为止，我们学习了几种平行四边形的证明方法？
定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
补充：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
红色字部分对照平行四边形的性质看一看，看有什么不同？
读一读
由平行四边形的性质，联想平行四边形的判定方法，通过合情推理，提出猜想.这是一个由原命题到逆命题的逆向思维的过程，今后在探索和研究其他几何问题时还会继续运用.
随堂练习
1. 如图，△ABC 中，AB = AC = 10，D 是 BC 边上的任意一点，分别作 DF∥AB 交 AC 于 F，DE∥AC 交 AB 于 E，求 DE + DF 的值．
解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形 AEDF 是平行四边形.
∴DE = AF.
又∵AB = AC = 10，∴∠B = ∠C.
∵DF∥AB，
∴∠CDF = ∠B. ∴∠CDF = ∠C.
∴DF = CF.
∴DE + DF = AF + FC = AC = 10．
2.如图，在 ABCD中，两条对角线AC和BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，以图中标明字母的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形.
A
C
D
B
O
·
·
·
·
E
F
G
H
A
C
D
B
O
·
·
·
·
E
F
G
H
A
C
D
B
O
·
·
·
·
E
F
G
H
3.在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，EF过点O交AB于点E，交CD于点F，且OE=OF.求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
C
D
B
O
E
F
证明：∵AB∥CD，
∴∠BEO=∠DFO
又∵OE=OF，∠EOB=∠FOD
∴△EOB≌△FOD，∴EB=DF
同理，可得△EOA≌△FOC，
∴EA=CF
∴AE+BE=CF+DF 即AB=CD
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
A
C
D
B
O
E
F
平行四边形
判定定理
判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
判定定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
课堂小结(共21张PPT)
18.2.3 平行四边形性质与判定综合应用
八年级下
华师版
1. 掌握平行四边形的判定定理；
2. 能运用平行四边形的性质进行计算和证明；
3. 体会互逆思想及作用.
学习目标
重点
难点
平行四边形的性质
复习回顾
1、对边平行且相等；
2、对角相等；
3、对角线相互平分
平行四边形的判定
2、一组对边平行且相等；
4、两组对角分别相等；
5、对角线相互平分
3、两组对边分别相等；
四边形是平行四边形的条件：
1、两组对边分别平行；
新课引入
例1 如图，在 ABCD中，点F、H分别在边AB、CD上，且BF=DH.求证：AC和HF互相平分.
分析：因为AC和HF是四边形AFCH的对角线，所以要证明AC和HF互相平分，只需证明四边形AFCH是平行四边形.
新知学习
证明：分别连结AH、CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD(平行四边形的对边平行)，
AB=CD(平行四边形的对边相等).
又∵BF=DH，
∴AB-BF=CD-DH，
即AF=CH，
∴四边形AFCH是平行四边形(一组对边平行且相
等的四边形是平行四边形)，
∴AC和HF互相平分.
例2 如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形.求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD EF.
又∵四边形EBCF是平行四边形，
∴BC EF.
∴ AD BC.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形(一组对边平行且相
等的四边形是平行四边形)
∥
=
∥
=
∥
=
例3 如图，G、H是 ABCD对角线AC上的两点，且AG=CH，E、F分别是边AB和CD的中点.求证：四边形EHFG是平行四边形.
证明：连结EF交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB CD.
又∵E、F分别是边AB、CD的中点，
∴AE=CF.
又∵AB∥CD，
∴∠EAO=∠FCO
∥
=
在△AOE和△COF中，
∵∠EAO=∠FCO，
∠AOE=∠COF，
AE=CF，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
又∵AG=CH，
∴OG=OH.
∴四边形EHFG是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
扩展
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t(s)．
（1）用含t的代数式表示：
AP=_____； DP=________；
BQ=________； CQ=________；
t cm
(12-t) cm
(15-2t) cm
2t cm
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
解：根据题意有AP=t cm，BQ=(15-2t)cm．
∵AD∥BC，
∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t=15-2t，
解得t=5．
∴t=5s时四边形APQB是平行四边形；
解：由题意知CQ=2t cm，PD=(12-t)cm，
∵AD∥BC，
∴当PD=QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即12-t=2t，
解得t=4，
∴当t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
1. 如图，在 ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，且AE∥CF.求证：AE=CF.
证明： ABCD中，AD∥CB，
∴AF∥CE，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形(两组对边分别平行
的四边形是平行四边形)
∴AE=CF
随堂练习
2. 如图①是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图②.雨刷EF⊥AD，垂足为A，AB＝CD且AB∥CD, 已知雨刮器角度不能太大，∠BAF应不超过60度，那么∠DCB最小为多少度？
3.如图，在 ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明： ABCD中，有AB=CD，BC=AD，∠A=∠C，∠B=∠D
∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴AH=HD=BF=FC，AE=EB=DG=GC
∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴△HEA≌△FGC，△BEF≌△DGH
∴有FG=EH，EF=HG
∴四边形EFGH是平行四边形(两组对边分别相
等的四边形是平行四边形)
4. 如图，在 ABCD中，AF=CH，DE=BG.求证：EG和HF互相平分.
证明： ABCD中，有AB=CD，BC=AD，∠B=∠D，∠A=∠C
∵AF=CH，
∴AB－AF=CD－CH 即BF=DH
∵DE=BG，
∴△HED≌△FGB，∴有FG=EH
同理可证△AFE≌△CHG， 有EF=HG
∴四边形EFGH是平行四边形(两组对边分别相
等的四边形是平行四边形)
∴EG和HF互相平分
5. 在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D.求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
证明：在四边形ABCD中
∵AB∥CD
∴∠B+∠C=∠A+∠D=180°
∵∠B=∠D
∴∠C=∠A
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)
6. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AE、CF分别与直线DB相交于点E和点F，且AE∥CF，分别连结点C、E和点A、F.求证：四边形AFCE是平行四边形.
证明： ABCD中，有AD BC
∴∠ADB=∠CBD ，∴∠ADE=∠CBF
∵AE∥CF
∴∠AED=∠CFB，
∴△AED≌△CFB，即有AE=CF
∴四边形AFCE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
∥
=
7. 如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，直线EF过点O，且与AB、DC分别相交于点E和点F，直线GH过点O且与AD、BC分别相交于点G和点H.求证：四边形GEHF是平行四边形.
证明： ABCD中，有AD∥BC，CD∥AB，OD=OB
∠ADB=∠CBD
∵∠GOD=∠HOB
∴△GOD≌△HOB，即有GO=HO
同理可证△DFO≌△BEO，即有OF=OE
∴四边形GEHF是平行四边形(对角线相互平分的四边形是平行四边形)
8.如图，在 ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G、H．求证：AG=CH．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵E、F分别为AD、BC边的中点，
∴AE=DE= AD，CF=BF= BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴∠ADF=∠EBF，
∵∠ABF=∠ADC，
∴∠ABG=∠HDC，
在△ABG和△CDH中，
∠BAG＝∠DCH
AB＝CD
∠ABG=∠HDC，
∴△ABG≌△CDH，
∴AG=CH．
课堂小结
平行四边形的性质
1、对边平行且相等；
2、对角相等；
3、对角线相互平分
平行四边形的判定
2、一组对边平行且相等；
4、两组对角分别相等；
5、对角线相互平分
3、两组对边分别相等；
四边形是平行四边形的条件：
1、两组对边分别平行；
