(共24张PPT)
第1课时 矩形的性质
八年级下
华师版
1. 理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系；
2. 会证明矩形的性质；
3.会应用矩形性质解决相关问题.
学习目标
重点
难点
观察以下图形，你能说出它们的形状吗？
长方形
新课引入
长方形跟我们前面学行四边形有什么关系？
思考
如图，用四根木条做一个平行四边形的活动木框，将其一条边轻轻推动，你会发现什么？
试一试
角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状.
新知学习
如果一个内角恰好转到90°时，图形变成什么形状
？
长方形
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
注意：矩形是特殊的平行四边形；平行四边形不一定是矩形.
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形.
归纳
准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果.
A
B
C
D
O
（实物）
（形象图）
活动
AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠AOD ∠AOB
橡皮擦
课本
桌子
物体
测量
（2）根据测量的结果,你有什么猜想？
猜想1 矩形的四个角都是直角.
猜想2 矩形的对角线相等.
你能证明吗？
证明
对于性质定理1，如图，怎样根据矩形的定义和平行四边形角的性质加以证明？
证明：由定义，矩形必有一个角是直角，
设∠A = 90°
∴∠C=∠A=90°.
∴∠B=∠D=180°÷2=90°
即矩形ABCD的四个角都是直角.
A
B
C
D
对于性质定理2，可以应用什么方法证明？.如图：
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，
在△ABC和△DCB中，
∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC= CB，
∴△ABC≌△DCB.
∴AC=DB.
A
B
C
D
O
归纳
矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有：
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等.
几何语言描述：
在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AC=DB.
A
B
C
D
O
例1 如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形周长的和是86cm，矩形的对角线长是13cm，那么该矩形的周长是多少
解：∵△AOB、△BOC、△COD和△AOD四个小三角形周长的和为86cm，
∴AB+BC+CD+DA+2(OA+OB+OC+OD)
=AB+BC +CD+DA+2(AC+BD)
=86.
又∵AC=BD=13(矩形的对角线相等)，
∴AB+BC+CD+DA=86-2(AC+BD)
=86-2×26
=34(cm)，
即矩形ABCD的周长等于34cm.
解 在矩形ABCD中，∠ABC=90°，AC= = =5.又∵S△ABC = AB·BC= AC·BE，
∴BE= .
例2 如下图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，BE⊥AC，垂足为点E.试求BE的长.
A
B
D
C
E
例3 如下图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分线段BO，垂足为点E，BD=15cm.求AC、AB的长.
A
B
D
C
E
O
解 ∵四边形ABCD是矩形，∴ AC=BD=15(矩形对角线相等).
∴ AO = AC = 7.5.
∵AE垂直平分BO，∴AB=AO=7.5.
即AC的长为15cm，AB的长为7.5cm.
思考
思考：矩形是不是中心对称图形 如果是，那么对称中心是什么？
矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
由于矩形是平行四边形，因此
O
请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考. 矩形是不是轴对称图形 如果是，那么对称轴有几条
矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为通过对边中点的直线.
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )
A.对角线相等 B.对边相等
C.对角相等 D.对角线互相平分
A
随堂练习
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是 （ ）
A．AB∥DC B．AC=BD
C．AC⊥BD D．OA=OB
A
B
C
D
O
C
3.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的 .
4. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，试找出图中相等的线段与相等的角.
解：矩形ABCD中，
相等的线段有：AD=BC，AB=CD，BD=AC，AO=OC=OB=OD
相等的角有：∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，∠AOB=∠COD，∠AOD=BOC，
∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD，∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB
5. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°.求证：AC=2AB.
证明：矩形ABCD中， 有AO=OC=OB=OD
∴△AOB是等腰三角形
∵∠AOD=120°
∴∠AOB=180°－120°=60°
∴△AOB是等边三角形，即AO=AB
∵AC=2AO
∴AC=2AB
6. 如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上.将该矩形沿AE折叠，恰好使点D落在边BC上的点F处，如果∠BAF=60°，求∠DAE的大小.
解：矩形ABCD中，有∠BAD=90°
∵矩形沿AE折叠，恰好使点D落在边BC上的点F处
∴△ADE≌△AFE
∴∠DAE=∠FAE
又∵∠BAF=60°
∴∠DAE=∠FAE= =15°
矩形的性质
矩形具有平行四边形所有的性质
矩形四个角都是直角；矩形的对角线相等；
课堂小结(共16张PPT)
第2课时 矩形性质的应用
八年级下
华师版
1. 掌握矩形的性质.
2.会应用矩形性质解决相关问题.
学习目标
重点
复习回顾
矩形的性质有：
1、作为平行四边形的性质：
2、独特的性质：
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
邻边互相垂直
内角均为90°
对角线相等
中心对称
轴对称、中心对称
新课引入
利用矩形特殊性质，我们可以解决哪些问题呢？
？
例1 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，BE⊥AC，垂足为点E.
试求BE的长.
解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
新知学习
例2 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分线段BO，垂足为点E，BD=15cm.求AC、AB的长.
A
B
C
D
O
E
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=15(矩形的对角线相等)，
∴AO= AC=7.5.
∵AE垂直平分BO，
∴AB=AO=7.5.
即AC的长为15cm，AB的长为7.5cm
1.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°，则两条对角线相交的锐角是 ( )
A.20 ° B.40° C.80 ° D.10°
C
随堂练习
2.小雨过年在家大扫除时意外发现儿时的带有相框的相片．如图是从相框抽离出来的平面图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠DAO＝30°，则∠BEO的度数为________.
75°
3. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点.试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系.
解：过E作EF//AB交BC于F，
∵矩形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°
又∵AB∥EF.∴四边形ABFE是矩形
∴S△BEF= S四边形ABFE ，同理可证S△CEF = S四边形CDEF
∵S△BEF+S△CEF=S△BEC，SABFE+SCDEF=SABCD
∴△BCE的面积是矩形ABCD的面积的一半
F
4.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD，
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
又∵∠DAE：∠BAE＝3：1，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，
∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°
∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.
5.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.
（1）求证：BD=BE，
A
B
C
D
O
E
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AB∥CD.
又∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC=BE，
∴BD=BE.
（2）若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积.(提示：直角三角形中，30°角所对边的长等于斜边的一半)
A
B
C
D
O
E
解：∵在矩形ABCD中，BO=4，
∴BD=2BO=2×4=8.
∵∠DBC=30°，
∴CD= BD= ×8=4，
∴AB=CD=4，DE=CD+CE=CD+AB=8.
在Rt△BCD中，BC=
∴四边形ABED的面积= ×(4+8)× = .
6. 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边长AB、BC分别为8和15.求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和.(提示：记对角线AC和BD的交点为点O，连结OP)
O
E
F
分析：连接OP，过P做垂线交AC于E，过P做垂线交BD于F，
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，OA=OD=OC=OB，
∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC
= S矩形ABCD= ×8×15=30.
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=17，
∴AO=OD=8.5，
∵S△APO+S△DPO=S△AOD，
∴ AO·PE+ DO·PF=30，即8.5PE+8.5PF=60，
∴PE+PF=
O
E
F
矩形性质的
应用
矩形的性质与垂直综合
矩形的性质与勾股定理综合
课堂小结
