(共26张PPT)
19.1.2 矩形的判定
八年级下
华师版
1. 经历矩形判定定理的猜想与证明过程，体会发现问题方法；
2.理解并掌握矩形的判定定理；
3.能应用矩形的判定解答简单的证明题和计算题.
学习目标
重点
难点
矩形的定义：
边：
角：
互相平分且相等
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形的性质：
对边平行且相等
四个角均为直角
对角线：
如何判定一个四边形是矩形？
新课引入
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.
判定是否为矩形的方法除了定义之外还有别的吗？我们该怎么去思考呢？
（提示：还记得我们是如何研究平行四边形的判定方法吗？）
我们可以类比平行四边形的判定方法，直接对矩形性质的逆命题进行研究，看其是否成立.
新知学习
问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
成立.
问题2 必须是四个角吗？至少有几个角是直角的四边形是矩形？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有两个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
作一个三个角都是直角的四边形.
试一试
步骤：
1.任意作两条互相垂直的线段AB、AD；
2.过点B作垂直于AB的直线l；
3.过点D作垂直于AD的直线m，交l于点C，即得
一个三个角都是直角的四边形ABCD
四边形ABCD是矩形吗？
是矩形
A
B
D
l
m
C
如何用演绎推理证明上述探索得到的结论？
思考
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)
A
B
C
D
归纳
矩形的判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言：
在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
例1 如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD的中点.求证：四边形BMDN是矩形.
分析：由已知条件，可知BN⊥AD，DM⊥BC，因此，在四边形BMDN中，已有两个角是直角，只需再证明另一个角也是直角即可得到它是一个矩形.
证明：∵△ABD和△BCD是全等的正三角形，
∴∠ADB=∠CDB=60°.
又∵M、N分别为BC、AD的中点，
∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠BDM=30°，
∴∠DNB=∠DMB=90°，
∠MDN=∠ADB+∠BDM=90°，
∴四边形BMDN是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形).
例2 如图，□ ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，
求证：四边形EFGH为矩形．
证明：在□ ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE与BG分别为∠DAB、
∠ABC的平分线，
A
B
D
C
H
E
F
G
∴四边形EFGH是矩形．
同理可证∠AED=∠EHG=90°，
∴∠AFB=90°，
∴∠GFE=90°.
∴ ∠BAE+ ∠ABF= ∠DAB+ ∠ABC=90°.
问题2 继续类比平行四边形，上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：对角线相等的四边形是矩形.
不成立，因为也可能是等腰梯形
思考
能不能在“对角线相等的四边形是矩形”的基础上稍作
修改，使得它成立呢？
猜测：对角线相等的平行四边形是矩形
作一个对角线相等的平行四边形.
试一试
步骤：
1.任意作两条相交的直线，交点记为O；
2.以点O为圆心、适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA、OB、OC、OD；
3.顺次连结所得的四点，即得一个对角线相等的平行四边形ABCD
四边形ABCD是矩形吗？
是矩形
O
如何用演绎推理证明上述探索得到的结论？
思考
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC=BD.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB DC，
∴ ∠ABC+∠DCB=180°.
又∵AC=DB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB，∴∠ABC=∠DCB=90°，
∴四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).
∥
=
归纳
矩形的判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：
在平行四边形ABCD中，
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
矩形的判定定理2在日常生活中经常被应用.
木工师傅在制作门窗的框或其他矩形形状的物体时，常用测量对角线的方法，来检验产品是否符合要求.
例3 如图，点O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是矩形.
分析：根据已知条件，我们可以先证明四边形EFGH是平行四边形，再证明对角线EG和FH相等，即可得证.
证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO
∵AE=BF=CG=DH，
∴OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EO+OG=FO+OH，
即EG=FH，
∴四边形EFGH是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
例4 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB，交AG于点E.求证：四边形ADCE是矩形.
分析：根据已知条件AB=AC，我们可以先通过证明四边形ABDE是平行四边形，得到DE=AB=AC，因此可以利用“对角线相等的平行四边形是矩形”这一判定定理.
证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠B=∠ACB，BD=DC.
又∵AE是△ABC的外角∠CAF的平分线，
∴∠1=∠2，∠CAF=∠1+∠2=∠B+∠ACB，
∴∠1=∠B
∴AE∥BC.
又∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD，AB=DE，
∴AC=DE，AE=DC.
又∵AE∥DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
1.下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（4）有三个角都相等的四边形是矩形；
×
×
×
×
√
√
√
√
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；
随堂练习
证明：∵AD、AE分别是△ABC的内角∠BAC和外角∠BAF的平分线
∴∠BAD=∠CAD，∠BAE=∠FAE.
∴∠DAE=∠BAD+∠BAE= ×180°=90°
∵BE⊥AE，DA⊥BC
∴∠ADB=∠BEA=90°
∴四边形AEBD是矩形.
2.如图，AD、AE分别是△ABC的内角∠BAC和外角∠BAF的平分线，BE⊥AE，DA⊥BC.求证：四边形AEBD是矩形.
3.如图，将 ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连结AE，交BC于点F，∠AFC=2∠D，连结AC、BE.求证：四边形ABEC是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴CD AB .
∴∠ABC=∠BCE，∠BAE=∠AEC
又∵CE=DC=AB
∴△ECF≌△ABF
∴AF=FE，BF=CF
∴AE与BC互相平分
∥
=
∴四边形ABEC是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
∵∠AFC=2∠D
∴∠AFC=2∠ABC
又∵∠ABC+∠BAE=∠AFC
∴∠ABC=∠BAE
∴BF=AF ∴BC=AE
∴四边形ABEC是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)
矩形的判定
矩形的判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形.
矩形的判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形.
课堂小结
