(共23张PPT)
19.2.1 菱形的性质
八年级下
华师版
1. 了解菱形的概念及其与平行四边形的关系;
2.探索并证明菱形的性质定理;
3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.
学习目标
重点
重点
新课引入
平行
四边形
矩形
前面我们学行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时，就成为了矩形.
有一个角是直角
如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等（四条边都相等），我们如何做出这个特殊的平行四边形呢？这个特殊的平行四边形有什么特点？我们又该如何称呼它？这就是我们本节课所要学习的内容.
思考
新知学习
将一张矩形的纸对折，再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，这样就会形成一个一组邻边相等（四条边都相等）的平行四边形.
四边形的四条边相等
结论：这就是另一类特殊的平行四边形，即菱形.
做一做
平行四边形
菱形
一组邻边
相等
注意：菱形是特殊的平行四边形；平行四边形不一定是菱形.
定义：菱形是有一组邻边相等的平行四边形.
归纳
例1 下列哪个图形能够反映四边形、平行四边形、菱形的关系的是（ ）
D
C
四边形
菱形
平行四边形
四边形
菱形
平行四边形
四边形
菱形
平行四边形
平行四边形
菱形
四边形
A
B
C
在自己剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手中的图形 (如图)，完成下表内容：
对称性 边 角 对角线
平行四边形的 一般性质 中心对称 对边平行且相等 对角分别相等 对角线互相平分
菱形的 特殊性质 中心对称；轴对称 对边平行且相等；邻边相等 对角分别相等 对角线垂直且互相平分
思考
通过我们的折叠，我们发现菱形即是轴对称图形也是中心对称图形，那么它有几条对称轴呢？对称轴位置有什么特点？对称中心在哪里？
菱形有2条对称轴；
对称轴为对角线所在直线
对称中心是两条对角线的交点
根据菱形定义及其轴对称性，我们很容易猜想菱形的特殊性质：
1. 菱形的性质定理1：菱形的四条边都
2. 菱形的性质定理2：菱形的对角线
相等
互相垂直，且平分每一组对角
那么除了折纸外，我们该如何演绎推理证明这两个结论呢？
证明
证明：由定义，菱形的邻边相等，
设AD=DC，AB=CB
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=CB，AB=DC
∴AD=CB=AB=DC
即菱形ABCD四条边都相等.
A
B
C
D
对于性质定理1，如图，怎样根据菱形的定义和平行四边形边的性质加以证明？
对于性质定理2，怎样根据菱形的定义和等腰三角形的性质加以证明？
如图：
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC，AO=OC，
∴△ADC是等腰三角形，且DO是△ADC底边的中线
根据等腰三角形中“三线合一”，
∴DO也是△ADC底边的高
∴DO⊥AC，即AC⊥BD
A
B
C
O
D
在性质定理2的证明过程中，你还能发现菱形对角线什么性质？
根据等腰三角形“三线合一”，对角线也是菱形内角的角平分线.
思考
A
B
C
O
D
在菱形ABCD中，对角线AC、BD相互垂直且平分，而对角线AC、BD也是四个内角的角平分线，因此，易证得：
对角线AC、BD将菱形ABCD分成的四个三角形，是全等的直角三角形.
例2 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B.试求出∠B的大小，并说明△ABC是等边三角形.
解：在菱形ABCD中，
∵∠B+∠BAD=180°，∠BAD=2∠B，
∴∠B=60°.
在菱形ABCD中，
∵AB=BC(菱形的四条边都相等)，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形.
归纳
菱形除了具有平行四边形的所有性质，还具有：
菱形的四条边都相等；
菱形的对角线相互垂直，且为各个内角的角平分线.
几何语言描述：
在菱形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.
AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，AC平分∠BAD与∠BCD，BD平分∠ABC与∠ADC
A
B
C
O
D
例3 如图，已知菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD=120°，对角线AC、BD相交于点O.试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长.(结果保留根号)
解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴∠BAO=∠DAO= ∠BAD = 60°.(菱形的对
角线是内角的角平分线).
又∵AB=BC， ∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=2. AO= AC=1
∴BO=
∴BD=2BO= (cm).
例4 试说明菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半.
A
B
C
O
D
解：在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直
∴S△ABC= AC×BO
同理，S△ADC= AC×DO
∴S菱形ABCD=S△ABC+S△ADC= AC×(BO+DO)= AC×BD
∴菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半.
例5 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分CD，垂足为点E.求∠BCD的大小.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC=CB=BA(菱形的四条边都相等).
又∵AE垂直平分CD，
∴AC=AD，
∴AC=AD=DC=CB=BA，
即△ADC与△ABC都为等边三角形，
∴∠ACD=∠ACB=60°.
∴∠BCD=120°
随堂练习
1.中国结是一种手工编织工艺品，它身上所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个印证，小凯家有一个菱形中国结挂件，测得BD＝6 cm，AC＝8 cm，直线EF⊥AB分别交两条边于点E，F，则EF的长为______cm.
2.如图，已知菱形ABCD的一条对角线BD恰好与其边AB的长相等.求这个菱形各内角的大小.
解：在菱形ABCD中，
有AB=BC=CD=DA
∵BD=AB
∴三角形ABD为等边三角形
∴∠A=60°
∴∠C=∠A=60°
根据平行四边形相邻内角互补可知：
∠ADC=∠ABC=180°－60°=120°
3.如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=4.求：
(1)∠ABC的大小；
解：(1)在菱形ABCD中，有AB=BC=CD=DA=4
∵E是AB的中点
∴AE=2
∵DE⊥AB
∴三角形ADE是直角三角形
∴∠ADE=30°，∴∠DAE=90°－30°=60°
∴∠ABC=180°－60°=120°
(2)菱形ABCD的面积(精确到0.1)
解：Rt△ADE中，根据勾股定理得：
DE=
连接BD
∴S△ABD= ×AB×DE= ×4×
∴S菱形ABCD=2S△ABD=2× (cm2)
菱形的性质
菱形的性质定理 1 菱形的四条边都相等.
菱形的性质定理 2 菱形的对角线互相垂直.
课堂小结
菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半.
对称性 边 角 对角线
平行四边形的 一般性质 中心对称 对边平行且相等 对角分别相等 对角线互相平分
菱形的 特殊性质 中心对称；轴对称 对边平行且相等；邻边相等 对角分别相等 对角线垂直且互相平分
