(共19张PPT)
第1课时 菱形的判定定理
八年级下
华师版
1. 运用菱形的定义探索菱形判定定理；
2.掌握菱形的判定方法；
3.能利用菱形判定方法解决简单问题.
学习目标
重点
重点
菱形的定义：
边：
角：
互相垂直且平分
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的性质：
四条边都相等
对角相等
对角线：
如何判定一个四边形是菱形？
新课引入
根据菱形的定义，如果一个平行四边形的邻边相等，这个四边形就是是菱形.
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
几何语言：
A
B
C
D
你还能通过其他的方法进行判定吗？
思考
我们已经知道菱形的特殊性质(区别于普通平行四边形)：
2.菱形的对角线互相垂直且平分.
1.菱形的四条边都相等.
如果把菱形的性质看做一个命题，你能写出它们的逆命题吗？
思考
1.四条边都相等的四边形是菱形.
2.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
能否用来证明一个四边形是菱形？
新知学习
作一个四条边都相等的四边形.
试一试
步骤：
1.画两条相等的线段AB、AD；
2.分别以点B和点D为圆心、AB长为半径画弧，两弧相交于点C；
3.连结BC、CD，即得一个四条边都相等的四边形ABCD.
四边形ABCD是菱形吗？
是菱形
A
B
D
C
如何用演绎推理证明上述探索得到的结论？
思考
已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AB=BC=CD=AD；
∴AB=CD，BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
四条边相等的四边形是菱形，如果条件减少一点呢，有三条边相等时，四边形还是菱形吗
？
不一定是
A
B
C
D
归纳
菱形的判定定理1 四条边都相等的四边形是菱形.
几何语言：
在四边形ABCD中，
∵AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
例1 如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是四条边的中点，试问四边形EFGH是什么图形 并说明理由.
分析：四边形EFGH的四条边分别属于矩形四个角上的三角形，如果能够证明这四个三角形全等，那么就可以利用菱形的判定定理1，得出四边形EFGH是菱形.
A
E
B
F
D
G
C
H
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠D=90°.
∵点E、F、G为AB、AD、CD的中点，
∴AE=DG，AF=DF
∴△AEF≌△DGF，∴EF=FG，
同理可得EF=EH=HG=FG.
∴四边形EFGH是菱形.
A
E
B
F
D
G
C
H
1.你还记得做过的剪纸探索吗 如图，将一张菱形的纸对折，再对折，然后沿着虚线剪下，打开，你发现这是一个特殊的平行四边形，即菱形.现在你能说明其中的理由吗
将一张菱形的纸对折两次，使打开的纸张形状为四边形，而沿虚线剪下，可以是四边形的四条边相等，即是一个菱形.
随堂练习
2.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（ ）
A．AB=BC B．AC=BC
C．∠B=60° D．∠ACB=60°
B
解析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴AC∥DE，AC=DE，
∴四边形ACED为平行四边形.
当AC=BC时，AC=CE，
平行四边形ACED是菱形．
故选B．
3.如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到点E，使AE=AB，连接ED、EC、AC．添加一个条件，能使四边形ACDE成为菱形的是（ ）
A．AB=AD B．AB=ED
C．CD=AE D．EC=AD
B
4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE.求证：四边形ABED是菱形.
A
B
C
D
E
证明：∵AD∥BC
∴∠DAE=∠AEB
又∵AE是∠BAD的平分线
∴∠DAE=∠BAE，即∠BAE=∠AEB
∴△ABE是等腰三角形，即AB=BE
A
B
C
D
E
∵AB=AD
∴AD=BE
∴四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形).
5.如图，在 ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为点E、F，且PE=PF， ABCD是菱形吗 为什么
解： ABCD是菱形
∵PE⊥AB，PF⊥AD
∴∠AFP=∠AEP
又∵PE=PF AP=AP
∴△AFP≌△AEP
∴∠FAP=∠EAP
∵四边形ABCD是平行四边形
∴CD∥AB
∴∠DCA=∠CAB
∴∠DCA=∠FAP
∴△ACD是等腰三角形
∴AD=DC
∴ 四边形ABCD是菱形
菱形的判定
定理
菱形的判定定理 一组邻边相等的平行四边形是菱形.
菱形的判定定理1 四条边相等的四边形是菱形.
课堂小结(共22张PPT)
第2课时 菱形的判定定理
八年级下
华师版
1. 运用菱形的定义探索菱形判定定理；
2.掌握菱形的判定方法；
3.能利用菱形的性质与判定解决综合性问题.
学习目标
重点
重点
上一课我们已经从定义和边的角度学习了菱形的判定方法：
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.定理1(边)：四边相等的四边形是菱形.
思考
从对角线的角度如何判定呢？
猜想：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
我们知道对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以在这里我们对这个猜想做出一点修改，把它变成：“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”
新课引入
你能知道为什么把“对角线互相平分的四边形”换成“平行四边形”呢？
？
平行四边形有多种证明方式，不局限于对角线互相平分
把两根长短不一的木棒中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线.得到的一个平行四边形.转动其中一根木棒，当两根木棒之间的夹角等于90°时，得到的是什么图形呢
探究
新知学习
是菱形，所以很明显，一旦平行四边形的对角线互相垂直了，它就由平行四边形变成了菱形.
作一个两条对角线互相垂直的平行四边形
试一试
步骤：
1.作两条互相垂直的直线m、n，记交点为点O；
2.以点O为圆心、适当长为半径画弧，在直线m上截取相等的两条线段OA、OC；
3.以点O为圆心、另一适当长为半径画弧，在直线n上截取相等的两条线段OB、OD；
4.顺次连结所得的四点，即得一个对角线互相垂直且平分的四边形ABCD
是菱形
四边形ABCD是菱形吗？
A
B
D
C
n
m
O
如何用演绎推理证明上述探索得到的结论？
思考
已知：如图，在 ABCD中，对角线AC、BD互相垂直
求证：四边形ABCD是菱形.
分析：只需证明有一组邻边相等，即可得到 ABCD是菱形
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD，
∴BD所在直线是线段AC的垂直平分线，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)
归纳
菱形的判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
几何语言：
在 ABCD中，∵AC⊥BD，
∴ ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
例5 如图，已知菱形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F.求证：四边形AFCE是菱形
分析：要证四边形AFCE是菱形，由已知条件可知EF⊥AC，所以只需证明四边形AFCE是平行四边形，又知EF垂直平分AC，所以只需证明OE=OF
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AE∥FC，
∴∠1=∠2.
∵EF平分AC，
∴OA=OC.
又∵∠AOE=∠COF=90°，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四
边形是菱形)
1.作一个菱形，使它的两条对角线的长分别为6cm和8cm，并说明其理由
解：如图，菱形ABCD中，
∴对角线AC⊥BD
∴△AOD，△DOC，△AOB，△BOC都是直角三角形
∴OA与OD需满足直角边的关系
有题可知，该菱形的对角线长分别为6cm和8cm
∴对角线的一半分别为3cm和4cm，符合直角边关系
随堂练习
2.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是 （ ）
A．∠ABC=90°
B．AC⊥BD
C．AB=CD
D．AB∥CD
B
3.判断下列说法是否正确
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
√
╳
╳
╳
A
B
C
D
O
∴平行四边形ABCD是菱形.
∵ OA=4，OB=3，AB=5，
证明：
即AC⊥BD，
∴ AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形，
4.如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3.求证：四边形ABCD是菱形.
5.如图，过 ABCD的对角线的交点O，作互相垂直的两条直线EG、FH，与 ABCD各边分别相交于点E、F、G、H.求证：四边形EFGH是菱形
证明： ABCD中
∴AO=OC，OB=OD，AD∥BC，AB∥CD
∴∠CAE=∠ACG
又∵∠EOA=∠COG
∴△AOE≌△COF
∴OE=OG
同理可证，△AOE≌△COF，得：
FO=OH
∵EG与FH互相垂直，且为四边形EFGH的对角线
∴四边形EFGH是菱形(对角线互相垂直且平分的四边形是菱形)
6.如图，在△ABC中，DE∥BC，且2DE＝BC，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(1)证明：∵DE∥BC，且2DE＝BC，
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵EF＝BE，
∴四边形BCFE是菱形；
(2)解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为 ，
∴菱形的面积为 .
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
证明：∵MN是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AD=CD，OA=OC，
∠AOD=∠EOC=90°.
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO，
∴△ADO≌△CEO（ASA）．
∴AD=CE，OD=OE，
7.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形.
A
D
O
E
M
∵OD=OE，OA=OC，
∴四边形ADCE是平行四边形
又∵∠AOD=90°，
∴四边形ADCE是菱形．
A
D
O
E
M
四条边都相等
菱形
一组邻边相等
对角线互相垂直
对角线互相平分
一组对边平行且相等
两组对边分别平行或相等
四边形
平行四边形
两组对角分别相等
课堂小结
