(共25张PPT)
19.3 正方形
八年级下
华师版
1. 探索并证明正方形的性质，了解特殊的平行四边形之间的联系和区别.
2.探索并证明正方形的判定方法；
3.会运用正方形的性质及判定条件进行有关的论证和计算.
学习目标
重点
重点
重难点
你能说出下列图案的形状吗？
正方形
新课引入
矩形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？
探究
矩 形
〃
〃
正方形
正方形是有一组邻边相等的矩形.
新知学习
菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？
正方形
正方形是有一个角是直角的菱形.
归纳
邻边相等
矩形
〃
正方形
〃
菱 形
一个角是直角
正方形
∟
正方形定义：
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
性质：1. 正方形的四个角都是直角，四条边相等；
2. 正方形的对角线相等且互相垂直平分.
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形. 所以矩形、菱形有的性质，正方形都有.
四边形
①正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
②正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.
由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：
A
B
C
D
例1. 如图，已知正方形 ABCD. 求∠ABD、∠DAC、 ∠DOC 的大小
分析：由正方形的特殊性质，可知 ∠DOC = 90°.易证 △ABO≌△CBO，从而可得 ∠ABD = × 90° =45°，同理可得 ∠DAC = 45°.
解：∵四边形ABCD是正方形
∴ AC与BD相等且互相垂直平分，内角都为90°
∴AO=OC，∠AOB =∠BOC=∠DOC=90°
∴△ABO≌△CBO
∴∠ABD =∠CBD= × 90° =45°
同理可得 ∠DAC =∠BAC= 45°
讨论
同学们从一张彩色纸中剪出一个正方形，他们用了如下的方式检测，你觉得他们的做法正确吗？
小明：比较边的长度，发现四条边是相等的，于是就判定自己剪的是正方形.
四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形.
小兵：比较对角线的长度，发现发现对角线是相等，于是就判定自己剪的是正方形.
对角线相等的四边形可能是矩形或等腰梯形，不一定是正方形.
小英：比较了由对角线相互分成的 4 条线段，发现它们是相等的，于是就判定自己剪的是正方形.
对角线分成的4条线段相等的四边形是矩形，不一定是正方形.
如果是你，你会如何检测自己剪出的图形是不是正方形？
结合小明+小英的方法：邻边相等，对角线相等且互相平分的四边形是正方形.
结合边+内角的方法：4条边相等，一个内角是直角的四边形是正方形.
思考
测量对角线：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形.
针对训练
1.如图，在矩形ABCD中，AC ， DB是它的两条对角线，AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴ AO=CO=BO=DO .
∵AC⊥DB，
∴ AD=AB=BC=CD，
∴矩形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
2.已知：如图，在菱形ABCD中，AC ， DB是它的两条对角线， AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥DB.
∵AC=DB，
∴ AO=BO=CO=DO，
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，
∴菱形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
归纳
正方形判定的几条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个直角或对角线相等
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
一组邻边相等或对角线垂直
读一读
矩形、菱形都是特殊的平行四边形，因而既具有平行四边形的一般性质，又具有它们自己的特殊性质.
正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，它具有更多的性质.
我们在研究几何图形时，必须关注这种一般与特殊的关系，从而更好地认识各种几何图形，顺利解决各类问题.
1.把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么
解：如图所示的方法对折之后，阴影部分的三角形是等腰直角三角形，展开后，由全等的等腰直角三角形的斜边拼成的四边形是正方形.
随堂练习
2.判断下列命题是否正确:
(1)正方形有四条对称轴;
√
(2)正方形的两条对角线将其分成 4 个全等的等腰直角三角形;
(3)对角线互相垂直的矩形是正方形;
(4)对角线相等的菱形是正方形.
√
√
√
3.在下列各方格图中，有多少个正方形 有多少个矩形
(1)
正方形：
5个
矩形：
4+5=9个
(2)
正方形：
14个
矩形：
22+14=36个
4. 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形.求证：∠EAD＝EDA＝15° .
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC，∠EBC=∠ECB=60°，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD， ∠ABE= ∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
扩展(变式)
四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小．
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.
∴∠AEB＝15°.
同理可得∠DEC＝15°.
∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，
AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，
∴∠AEB＝75°.
同理可得∠DEC＝75°.
∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.
综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ，
∴∠DEC= ∠DFC=90°.
又∵ ∠C=90 °，
∴四边形EDFC是矩形.
过点D作DG⊥AB，垂足为G.
5. 如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形.
A
B
C
D
E
F
G
∵AD是∠CAB的平分线
DE⊥AC，DG⊥AB，
∴ DE=DG.
同理得DG=DF，
∴ED=DF，
∴矩形EDFC是正方形.
A
B
C
D
E
F
G
正方形
定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
性质：
四个角都是直角
四条边都相等
对角线相等且互相垂直平分
判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形；
2.有一个角是直角的菱形是正方形.
课堂小结
