课件20张PPT。3.1.1空间向量及其加减运算复习回顾：平面向量1、定义：既有大小又有方向的量。2、平面向量的加法、减法运算向量加法的三角形法则3、平面向量的加法、减法运算律加法交换律：加法结合律：已知F1=2000N,F2=2000N,F3=2000N,这三个力两两之间的夹角都为60度,它们的合力的大小为多少N?这需要进一步来认识空间中的向量……平面中存在向量,空间中是否也有向量?你能类比平面向量的定义、表示 以及运算法则推出空间向量的定义、表示 以及运算法则.平面向量概念加法
减法
运算运
算
律减法:三角形法则加法:三角形法则或
平行四边形法则空间向量及其加减运算空间向量具有大小和方向的量加法交换律加法结合律具有大小和方向的量起点终点空间向量与平面向量没有本质的区别！ 零向量单位向量相等向量相反向量长度为零长度为1方向相同，长度相等方向相反，长度相等找一找、说一说相等向量？
相反向量？
单位向量？平面向量概念加法
减法
运算运
算
律减法:三角形法则加法:三角形法则或
平行四边形法则空间向量及其加减运算空间向量具有大小和方向的量加法交换律加法结合律具有大小和方向的量OABCABCD平行六面体：平行四边形ABCD平移向量
到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体.记做ABCD-A1B1C1D1平面向量概念加法
减法
运算运
算
律减法:三角形法则加法:三角形法则或
平行四边形法则空间向量及其加减运算空间向量具有大小和方向的量加法交换律加法结合律加法交换律加法:三角形法则或
平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律成立吗？具有大小和方向的量加法结合律：OABCOABC推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始
向量的起点指向末尾向量的终点的向量；做一做、想一想变式一变式二E平面向量概念加法
减法
运算运
算
律减法:三角形法则加法:三角形法则或
平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量加法交换律加法结合律小结加法交换律加法结合律类比思想 数形结合思想具有大小和方向的量作业课件16张PPT。3.1.2 空间向量的数乘运算空间向量的定义、表示、几种特殊的向量
空间向量的加减运算:
加法运算:三角形法则或平行四边形法则
减法运算:三角形法则
空间向量的运算律:
加法交换律
加法结合律复习 我们知道平面向量还有数乘运算.
类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢??空间向量的数乘定义: 显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律练习:如图,已知空间四边形ABCD,连接AC,BD, E,F分别是BC,CD中点.化简下列各表达式,并标出化简结果的向量:复习那么空间向量共线的条件是什么?空间任意向量又有什么结论?共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。思考:利用向量可以判断三点共线,利用向量能否判断四点共面?1.下列说明正确的是：
A.在平面内共线的向量在空间不一定共线
B.在空间共线的向量在平面内不一定共线
C.在平面内共线的向量在空间一定不共线
D.在空间共线的向量在平面内一定共线2.下列说法正确的是：
A.平面内的任意两个向量都共线
B.空间的任意三个向量都不共面
C.空间的任意两个向量都共面
D.空间的任意三个向量都共面练习一3.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：
A.若 ，则P、A、B共线
B.若 ，则P是AB的中点
C.若 ，则P、A、B不共线
D.若 ，则P、A、B共线在立方体AC1中,点E,F分别是面A’C’ 和面CD’
的中心,求下列各式中的x,y.练习二例 如图，已知平行四边形ABCD，过平
面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使
求证：
⑴四点E、F、G、H共面；
⑵平面EG//平面AC。
课堂小结：
1.共线向量的概念。
2.共线向量定理。
3.共面向量的概念。
4.共面向量定理。作业
课本第97页 1、2。课件20张PPT。3.1.3空间向量的数量积运算 平面向量的夹角：平面向量的数量积的定义：即你能类比平面向量的数量积的有关概念、计算方法和运算律推导出空间向量的数量积的有关概念、计算方法和运算律概念
1） 两个向量的夹角的定义2）两个向量的数量积注意：
①两个向量的数量积是数量，而不是向量.
②零向量与任意向量的数量积等于零。
3)空间向量的数量积性质 注意：
①性质2）是证明两向量垂直的依据；
②性质3）是求向量的长度（模）的依据；4)空间向量的数量积满足的运算律 注意：思考应用由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关,所以立体几何中的距离、夹角的求解都可以借助向量的数量积运算来解决.
(1)空间中的两条直线(特别是异面直线)的夹角,可以通过求出这两条直线所对应的两个向量的夹角而获得.对于两条直线的判断更为方便.
(2)空间中的距离,即两点所对应的向量的模.因此空间中的两点间的距离或线段的长度,可以通过求向量的模得到.典型例题例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！证明：为逆命题成立吗?分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析.变式设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足
则△BCD是 ( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.不确定C分析：要证明一条直线与一个平面
垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.例2:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)
已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线,
如果 ⊥m, ⊥n,求证: ⊥ .mn 取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系? 共面向量定理例2:已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线,
如果 ⊥m, ⊥n,求证: ⊥ .课堂练习B 小 结：
通过学习, 我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：
1、证明两直线垂直;
2、求两点之间的距离或线段长度;
3、求两直线所成角.
作业P98 A组 3 4 5
B组 1 2课件12张PPT。3.1.4空间向量的正交分解 及其坐标表示由平面向量基本定理知,平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示,对于空间的任意一个向量,有没有类似的结论呢?如图，设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，且有公共
起点O。对于空间任意一个向量p=OP,设点Q为点P
在i,j所确定的平面上的正投影，
由平面基本定理可知，
在OQ,k所确定的平面上，存在实数z，使得
OP=OQ+zk,
而在i,j所确定的平面上，由平面向量基本定理
可知，存在有序之前数对(x,y)，
使得OQ=xi+yj.
从而OP=OQ+zk=xi+yj+zk.一、空间向量基本定理：如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，对空间
任一个向量p，存在一个有序实数组使得
p=xi+yj+zk.
xi,yj,zk为向量p在i,j,k上的分向量。思考：在空间中，如果用任意三个不
共面向量a,b,c代替两两垂直的向量i,j,k,能得
到类似的结论吗？空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c
不共面，那么对空间任一向量p,存在有序
实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.空间所有向量的集合{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量。二、空间直角坐标系C例题讲解：例2、如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，
BC的中点，P，Q是MN的三等分点。用向量
表示 和 。变式小结：
1、选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求；
2、求解时要结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式,就近表示所需向量,再对照目标进行调整,直到符合要求.
作业：课本P98：10 11课件15张PPT。3.1.5空间向量运算的坐标表示以
建立空间直角坐标系O—xyz若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2),
则复习一、向量的直角坐标运算二、距离与夹角1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。（2）空间两点间的距离公式2.两个向量夹角公式例1 已知＝(-3, 2,5)，＝(1,5,-1)，则三、应用举例变式(-1,-2,3)(0,0,1)变式四、课堂小结：1.基本知识：（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；（2）两个向量的夹角公式。 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题
时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐
标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或
证明。五 作业P98：7 8 9 10补充:如图，在平行六面体ABCD-
A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，
求证：B1C∥面ODC1.
