2023-2024学年陕西省咸阳市高二（上）期末数学试（含解析）

2023-2024学年陕西省咸阳市高二（上）期末数学试
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列，，，，，的一个通项公式为( )
A. B. C. D.
2.设数列为等比数列，若，，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
3.已知直线的方程是，的方程是，则下列各图形中，正确的是( )
A. B.
C. D.
4.双曲线：的右顶点为，点到直线距离为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
5.已知两条异面直线的方向向量分别是，，这两条异面直线所成的角为( )
A. B. C. D.
6.已知平面的一个法向量，点在平面内则点到的距离为( )
A. B. C. D.
7.已知半径为的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
8.中国自古就有“桥的国度”之称，福建省宁德市保留着多座存世几十年甚至数百年的木拱廊桥，堪称木拱廊桥的宝库如图是某木拱廊桥的剖面图，，，是拱骨，，，，是相等的步，相邻的拱步之比分别为，若，，是公差为的等差数列，且直线的斜率为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和，则下列说法正确的有( )
A. 是递减数列 B. 是等比数列 C. D.
10.已知三条直线：直线：，：，：不能围成一个封闭图形，则实数的值可以是( )
A. B. C. D.
11.在空间直角坐标系中，若，，，四点可以构成一个平行四边形，则的坐标可以为( )
A. B. C. D.
12.新定义：如图，与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，交于，两点在，之间，我们把点称为关于直线的“近点”，把的值称为关于直线的“秘钥数”根据新定义解决问题：在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，为半径作若与直线相离，点是关于直线的“近点”，且关于直线的“秘钥数”是，则直线的表达式为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在等差数列中，若，则 ______．
14.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点，若，则 ______．
15.当直线：被圆：截得的弦长最短时，实数 ______．
16.已知椭圆的左，右焦点分别为，，为坐标原点，若以为直径的圆与椭圆在第一象限交于点，且是等边三角形，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知三角形三顶点，，，求：
边上的高所在的直线方程；
边的中线所在的直线方程．
18.本小题分
圆锥曲线的方程是．
Ⅰ若表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；
Ⅱ若表示焦点在轴上且焦距为的双曲线，求的值．
19.本小题分
如图，在平行六面体中，，，设，，．
Ⅰ用基底表示向量，，；
Ⅱ证明：平面．
20.本小题分
已知等差数列前三项的和为，前三项的积为．
求等差数列的通项公式；
若，，成等比数列，求数列的前项和．
21.本小题分
如图，在直角梯形中，，，以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且．
求证：平面；
在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
22.本小题分
已知抛物线：上任意一点到焦点的距离比到轴的距离大．
求的标准方程；
，，交于，两点，交于，两点求四边形的面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，对于数列，，，，，
有，，，，，
归纳可得：．
故选：．
根据题意，归纳数列各项与的关系，分析可得答案．
本题考查数列的表示方法，涉及数列的通项公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了等比数列的求和，属于基础题．
由已知结合等比数列的性质先求出公比，进而可求，进而可求．
【解答】
解：因为数列为等比数列，，，
所以，
而，故，
则数列的前项和为．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：根据直线的方程是，的方程是，
当时，，，，选项A错误；
当，，则，故D正确；
当，时，，故B错误；
由于两直线的交点在轴上，故，故和异号，故C错误．
故根据函数的图象只有符合答案．
选项ABC都不对．
故选：．
直接利用直线中和的取值范围判断函数的图象．
本题考查的知识要点：直线和图象的关系，主要考查学生视图能力和数学思维能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由双曲线：的右顶点为，点到直线距离为，
可得，解得，
故，
可得的离心率为：．
故选：．
根据已知条件求出，进而求出，即可求得结论．
本题主要考查双曲线的离心率，考查计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：两条异面直线的方向向量分别是，，
，，
这两条异面直线所成的角满足，
这两条异面直线所成的角为．
故选：．
利用向量夹角余弦公式直接求解．
本题考查向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：平面的一个法向量，，，
则，
故点在平面内则点到的距离为．
故选：．
根据已知条件，结合点到平面的距离公式，即可求解．
本题主要考查平面的法向量，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设圆心坐标，
由圆心与点关于直线对称，得到直线与垂直，
结合的斜率为得直线的斜率为，
所以，化简得，
再由的中点在直线上，
得到，化简得
联解，可得，，
圆心的坐标为，
半径为的圆的标准方程为．
故选：．
设圆心坐标，由对称知识求出圆心的坐标为，由此能求出半径为的圆的标准方程．
本题考查圆的标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对称知识的合理运用．
8.【答案】
【解析】解：由题可知，
因为，
所以，
又因为，，是公差为的等差数列，所以，
所以，解得，
所以．
故选：．
利用题中关系建立等式求解即可．
本题以实际问题为情景，考查了等差数列的性质，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：数列的前项和，
随着的增大不断减小，
是递减数列，故A正确；
数列的前项和，
当时，，
当时，，上式也成立，
，
是等比数列，，故BC正确；
，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合时，，即可求出，即可依次求解．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：若，，中有两条相互平行，或三条线过同一点都不可以围成封闭图形，
若，由两直线平行与斜率之间的关系可得；
若，由两直线平行与斜率之间的关系可得；
联立，可得，可知，的交点为，
若，，交于同一点，可得．
故选：．
根据题意可知，三条直线中有两条相互平行或三条线过同一点的情况下满足题意，分类讨论即可求得实数的值．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由题意得．
设的坐标为，
若四边形为平行四边形，则，则，
此时的坐标为．
若四边形为平行四边形，则，
则，此时的坐标为．
若四边形为平行四边形，则，
则，此时的坐标为．
故选：．
分类考虑平行四边形顶点的位置，结合向量的相等，即可求得点坐标，即得答案．
本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为的半径为，点是关于直线的“近点”，
所以点到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，点到直线的距离为，不满足题意；
当直线的斜率存在时，直线的方程为，即，
则点到直线的距离为，
解得或，
所以时，直线的方程是，即；
时，直线的方程是，即．
故选：．
分类讨论直线是否与坐标轴垂直，结合题意求解即可．
本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，设等差数列的公差为，
若，则有，
则．
故答案为：．
根据题意，设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式可得，又由，计算可得答案．
本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的通项公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：抛物线的焦点，准线的方程为，
过点作，垂足为，设，则，
由抛物线的定义得，
所以，
即点的横坐标为，
所以．
故答案为：．
由抛物线的标准方程，求出焦点和准线，过点作，垂足为，设，由抛物线的定义求出，从而可求解．
本题考查了抛物线定义以及几何性质的运用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：将直线：，化为，
令，解得，所以直线过定点，
又圆的标准方程为，则圆心为，
由，则点在圆内，
故当时，圆心到直线的距离取得最大值，此时直线被圆截得的弦长最短，
则，解得．
故答案为：．
根据直线的方程，求得直线所过的定点，直线被圆截得的弦长最短时有，则，解出方程即可．
本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：以为直径的圆与椭圆在第一象限交于点，
，又是等边三角形，
，又，，
，
椭圆的离心率为．
故答案为：．
根据题意可得，，，从而可得，从而可得，再根据离心率的定义，即可求解．
本题考查椭圆离心率的求解，属基础题．
17.【答案】解：，，
边所在直线的斜率为，可得边上的高所在的直线的斜率为．
边上的高所在的直线方程为，即；
由已知求得边的中点为，则边的中线过点和．
边的中线所在直线方程为，
即．
【解析】根据高与所在边垂直关系求斜率，再由点斜式写出直线方程；
由中点坐标公式写出中点坐标，应用两点式写出中线所在直线方程．
本题考查直线方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：Ⅰ由曲线的方程是表示焦点在轴上的椭圆可得，
解得：，
所以的取值范围为；
Ⅱ由曲线的方程是表示焦点在轴上的双曲线，可得，，
所以，即，
再由焦距为，可得，解得，
所以的值．
【解析】Ⅰ由曲线表示的方程为在轴上的椭圆，则，求出的范围；
Ⅱ由题意可得，，求出的值，再由焦距的值，求出的值．
．
本题考查曲线为椭圆，双曲线的条件即双曲线的性质的应用，属于基础题．
19.【答案】解：Ⅰ因为，
，
所以；
证明：Ⅱ不妨设，，
所以
，即，
又因为
，即，
又，平面，平面．
所以平面．
【解析】Ⅰ利用空间向量基本定理和向量的线性运算直接求解；
Ⅱ先利用向量法证明出和，再利用线面垂直的判定定理直接证明．
本题考查了空间向量基本定理、向量的线性运算和线面垂直的证明，属于中档题．
20.【答案】解：设等差数列的公差为，则，，
由题意得，
解得或，
或；
由得或，
则当时，，，分别为，，不成等比数列，
当时，，，分别为，，成等比数列，满足条件，
故，
设数列的前项和为，
当时，，当时，，
当时，
，
又当时，满足上式，
综上所述，，
．
【解析】设等差数列的公差为，由题意得，可得，，即可得出答案；
由的通项可求满足条件，，成等比的通项为，则，根据等差数列的求和公式，即可得出答案．
本题考查等差数列和等比数列的综合，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：证明：将直角梯形绕着旋转得到直角梯形，
故CD且，
故四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，所以平面；
因为，，，
所以，，两两垂直，
故以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
因为，设，
则，，，，，
设，则，设，
则，解得，，故，
当时，此时与重合，直线和平面垂直，
不满足所成角的正弦值为，舍去；
当时，设平面的法向量为，
则，
令，则，故，
设直线和平面所成角的正弦值为，
则，，
解得：或舍去，
综上，在线段上存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为，
此时．
【解析】证明出四边形为平行四边形，得到，从而得到线面平行；
建立空间直角坐标系，设出，利用线面角的正弦值列出方程，求出答案．
本题考查了线面平行问题，考查平面的法向量以及向量在立体几何中的应用，考查转化思想，是中档题．
22.【答案】解：由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，
再由到焦点的距离比到轴的距离大，可得准线到轴的距离为，
即，可得，
所以的标准方程为：；
由可得焦点，
由题意直线，的斜率存在，且不为，
设直线的方程为，设，，
联立，整理可得：，
可得，，
由抛物线的性质可得，
同理可得，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以边形的面积的最小值为．
【解析】由抛物线的性质可得的值，进而可得的值，求出抛物线的方程；
设直线的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和，再由抛物线的性质可得弦长的表达式，同理可得弦长的表达式，代入四边形的面积公式，再由均值不等式可得面积的最小值．
本题考查抛物线的性质的应用及直线与抛物线的综合应用，属于基础题．
第1页，共1页