21.2.2 公式法
教学内容
本节课主要学习用公式法解一元二次方程。
教学目标
知识技能
掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程．
数学思考
通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性．
解决问题
培养学生准确快速的计算能力．
情感态度
通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识；通过求根公式的推导，渗透分类的思想．
重难点、关键
重点：求根公式的推导及 用公式法解一元二次方程．
难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解．
关键：掌握一元二次方程的求根公式，并应用求根公式法解简单的一元二次方程．
教学准备
教师准备：制作课件，精选习题
学生准备：复习有关知识，预习本节课内容
教学过程
复习引入
【问题】（学生总结，老师点评）
1.用配方法解下列方程
（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52
2．总结用配方法解一元二次方程的步骤。
（1）移项；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
【活动方略】
教师演示课件，给出题目．
学生根据所学知识解答问题．
【设计意图】
复习配方法解一元二次方程，为继续学习公式法引入作好铺垫．
探索新知
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
【问题】
已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根为x1=，x2=
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：ax2+bx=-c
二次项系数化为1，得x2+x=-
配方，得：x2+x+（）2=-+（）2
即（x+）2=
∵b2-4ac≥0且4a2>0
∴≥0
直接开平方，得：x+=±
即x=
∴x1=，x2=
【说明】
这里 （）是一元二次方程的求根公式
【活动方略】
鼓励学生独立完成问题的探究，完成探索后，教师让学生总结归纳，由形式是一元二次方程的一般形式，得出一元二次方程的求根公式．
【设计意图】
创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容，导出一元二次方程的求根公式。
【思考】
利用公式法解下列方程，从中你能发现什么？
（1）
（2）
（3）
【活动方略】
在教师的引导下，学生回答，教师板书
引导学生总结步骤：确定的值、算出的值、代入求根公式求解．
在学生归纳的基础上，老师完善以下几点：
（1）一元二次方程的根是由一元二次方程的系数确定的；
（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在的前提下，把的值代入 （）中，可求得方程的两个根；
（3）我们把公式（）称为一元二次方程的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法；
（4）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．
【设计意图】
主体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式．
反馈练习
教材P37 练习第1、2题．
补充习题：
用公式法解下列方程．
（1）x2-5x-6=0 （2）7x2+2x-1=0 （3）3x2-5x+2=0
（4）5x2+2x-6=0 （5）4x2-7x+2=0 （6）2x2-x-=0
【活动方略】
学生独立思考、独立解题．
教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）
【设计意图】
检查学生对知识的掌握情况.
应用拓展
例：某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．
（2）要使它为一元一次方程，必须满足:
①或②或③
解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2
m2=1 m=±1
当m=1时，m+1=1+1=2≠0
当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）
∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0
a=2，b=-1，c=-1
b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9
x=
x1=1，x2=-
因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=-．
（2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0
因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0
所以m=0满足题意．
②当m2+1=0，m不存在．
③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0
所以m=-1也满足题意．
当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，
解得：x=-1
当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0
解得x=-
因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1时，其一元一次方程的根为x=-．
【活动方略】
教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．
学生活动：合作交流，讨论解答。
【设计意图】
使学生应用方程有关的有关舦知识解题，进一步掌握公式法。
作业
21.2解一元二次方程
21.2.3 因式分解法
教学内容
本节课主要学习用因式分解法解一元二次方程。
教学目标
知识技能
1．应用分解因式法解一些一元二次方程．
2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．
数学思考
体会“降次”化归的思想。
解决问题
能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．
情感态度
使学生知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度．
重难点、关键
重点：应用分解因式法解一元二次方程．
难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.
关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法，感悟用因式分解法使解题简便．
教学准备
教师准备：制作课件，精选习题
学生准备：复习有关知识，预习本节课内容
教学过程
复习引入
解下列方程．
（1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法）
老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）2，同时减去（）2．（2）直接用公式求解．
【设计意图】
复习前面学过的一元二次方程的解法，为学习本节内容作好铺垫。
探索新知
【问题】
仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？
（1）上面两个方程中有没有常数项？
（2）等式左边的各项有没有共同因式？
【活动方略】
在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据。
上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:
2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）
因此，上面两个方程都可以写成：
（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0
因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-．
（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．
因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．
归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．
【设计意图】
引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．
【探究】
通过解下列方程，你能发现在解一元二次方程的过程中需要注意什么？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【活动方略】
学生活动：
四个学生进行板演，其余的同学独立解决，然后针对板演的情况让学生讨论、分析可能出现的问题．
对于方程（1），若把（x－2）看作一个整体，方程可变形为（x－2）（x＋1）＝0；
方程（2）经过整理得到，然后利用平方差公式分解因式；
方程（3）的右边分解因式后变为，然后整体移项得到，把（2x－1）看作一个整体提公因式分解即可；
方程（4）把方程右边移到左边，利用平方差公式分解即可．
教师活动：
在学生交流的过程中，教师注重对上述方程的多种解法的讨论，比如方程（1）可以首先去括号，然后利用公式法和配方法；方程（3）可以去括号、移项、合并然后运用公式法或配方法；方程（4）可以利用完全平方公式展开，然后移项合并，再利用配方法或公式法．
在学生解决问题的基础上，对比配方法、公式法、因式分解法引导学生作以下归纳：
（1）配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．配方法、公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程．
（2）解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．
【设计意图】
主体探究、灵活运用各种方法解方程，培养学生思维的灵活性．
【应用】
例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为
．
你能根据上述规律求出物体经过多少秒回到地面吗？
【活动方略】
学生活动：
学生首先独立思考，自主探索，然后交流
教师活动：
在学生解决问题的过程中鼓励学生运用多种方法解方程，然后让学生体会不同方法间的区别，找到解方程的最佳方法，体会因式分解法的简洁性．
【设计意图】
应用所学知识解答实际问题，培养学生的应用意识．
反馈练习
教材P14 练习第1、2题
补充练习
解下列方程．
1．12（2-x）2-9=0 2．x2+x（x-5）=0
【活动方略】
学生独立思考、独立解题．
教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）
【设计意图】
检查学生对基础知识的掌握情况.
拓展提高
例1：我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．
（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0
分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式．
解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）
∴（x-4）（x+1）=0
∴x-4=0或x+1=0
∴x1=4，x2=-1
（2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）
∴（x-6）（x-1）=0
∴x-6=0或x-1=0
∴x1=6，x2=1
（3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）
∴（x+5）（x-1）=0
∴x+5=0或x-1=0
∴x1=-5，x2=1
上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．
例2．已知9a2-4b2=0，求代数式的值．
分析：要求的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．
解：原式=
∵9a2-4b2=0 ∴（3a+2b）（3a-2b）=0
3a+2b=0或3a-2b=0，
a=-b或a=b
当a=-b时，原式=-=3
当a=b时，原式=-3．
例2：若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．
分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．
∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0
a<-2
∵ax+3>0即ax>-3
∴x<-
∴所求不等式的解集为x<-
【活动方略】
教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．
学生活动：合作交流，讨论解答。
【设计意图】
应用提高、拓展创新，培养学生的应用意识和创新能力．
作业
21.2 解一元二次方程
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
教学内容
本节课主要学习用公式法解一元二次方程。
教学目标
知识技能
掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程．
数学思考
通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性．
解决问题
培养学生准确快速的计算能力．
情感态度
通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识；通过求根公式的推导，渗透分类的思想．
重难点、关键
重点：求根公式的推导及 用公式法解一元二次方程．
难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解．
关键：掌握一元二次方程的求根公式，并应用求根公式法解简单的一元二次方程．
教学准备
教师准备：制作课件，精选习题
学生准备：复习有关知识，预习本节课内容
教学过程
复习引入
【问题】（学生总结，老师点评）
1.用配方法解下列方程
（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52
2．总结用配方法解一元二次方程的步骤。
（1）移项；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
【活动方略】
教师演示课件，给出题目．
学生根据所学知识解答问题．
【设计意图】
复习配方法解一元二次方程，为继续学习公式法引入作好铺垫．
探索新知
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
【问题】
已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根为x1=，x2=
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：ax2+bx=-c
二次项系数化为1，得x2+x=-
配方，得：x2+x+（）2=-+（）2
即（x+）2=
∵b2-4ac≥0且4a2>0
∴≥0
直接开平方，得：x+=±
即x=
∴x1=，x2=
【说明】
这里 （）是一元二次方程的求根公式
【活动方略】
鼓励学生独立完成问题的探究，完成探索后，教师让学生总结归纳，由形式是一元二次方程的一般形式，得出一元二次方程的求根公式．
【设计意图】
创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容，导出一元二次方程的求根公式。
【思考】
利用公式法解下列方程，从中你能发现什么？
（1）
（2）
（3）
【活动方略】
在教师的引导下，学生回答，教师板书
引导学生总结步骤：确定的值、算出的值、代入求根公式求解．
在学生归纳的基础上，老师完善以下几点：
（1）一元二次方程的根是由一元二次方程的系数确定的；
（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在的前提下，把的值代入 （）中，可求得方程的两个根；
（3）我们把公式（）称为一元二次方程的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法；
（4）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．
【设计意图】
主体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式．
反馈练习
教材P16 练习题．
补充习题：
用公式法解下列方程．
（1）x2-5x-6=0 （2）7x2+2x-1=0 （3）3x2-5x+2=0
（4）5x2+2x-6=0 （5）4x2-7x+2=0 （6）2x2-x-=0
【活动方略】
学生独立思考、独立解题．
教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）
【设计意图】
检查学生对知识的掌握情况.
应用拓展
例：某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．
（2）要使它为一元一次方程，必须满足:
①或②或③
解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2
m2=1 m=±1
当m=1时，m+1=1+1=2≠0
当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）
∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0
a=2，b=-1，c=-1
b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9
x=
x1=1，x2=-
因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=-．
（2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0
因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0
所以m=0满足题意．
②当m2+1=0，m不存在．
③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0
所以m=-1也满足题意．
当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，
解得：x=-1
当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0
解得x=-
因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1时，其一元一次方程的根为x=-．
【活动方略】
教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．
学生活动：合作交流，讨论解答。
【设计意图】
使学生应用方程有关的知识解题，进一步掌握公式法。
作业
Module 4 Healthy food
Unit 1 We’ve got lots of apples
第一课时
一、学习目标
1、To understand conversations involving food and drink.
2、To talk about food.
3、Key vocabulary: food, drink, candy, fruit, meat, vegetable, apple, bean, beef, carrot, chicken, chocolate, coffee, cola, juice, milk, potato, tea, tomato., water, shop, have, get, have got, some, much, kind, so, has, bad
Key phrase: go shopping, lots of, too much
Key structures: have / has got How about…?
4、学习音标/s/,/z/,/t/,/d/
二、学习重点
1、学习有关水果，蔬菜，糖，肉类以及饮料的一些名词，学会分类，注意可数与不可数
2、听懂对话，能提取细节信息
三、学习难点
对新单词的识记和分类
课前预习
一、使用说明与学法指导
1、课前记住新单词
2、同桌互相听写，并讨论哪些是可数名词哪些是不可数名词
3、同桌相互学习音标/s/,/z/,/t/,/d/不会的请教老师
4、15分钟完成
二、教材助读
1、结合教材20页，用头脑风暴法想出这些种类的名词，越多越好,然后在可数名词下划上横线
1)Fruit：____________________________________________________________
2)Candy:____________________________________________________________
3)Meat:_____________________________________________________________
4)Vegetables:_________________________________________________________
5)Drink:_____________________________________________________________
2、熟读以下交际用语
1) We've got lots of apples.
2) —Have we got any juice?
—Yes, we’ve got some juice .We haven’t got any milk.
3) —Have we got any fruit?
—Yes, we have. / No, we haven’t.
4) —Have we got any meat in the fridge?
—Yes, we have.
三、预习自测
1、单词拼写
1) Let’s go shopping for food and ________________ (饮料).
2)We haven’t got any ___________ (肉).
3) Let’s get some _______________ (水).
4) Have you got ____________ (一些) chocolate?
5)What _______________ (种类) of fruit do you like best?
6) Let’s get some ______________ (咖啡)for mum.
7)How about some apple _____________ (果汁)?
8) There are lots of ________________ (马铃薯) in the basket.
2、翻译短语
拥有_________________________去买东西；去购物________________________
让我们去做某事___________________太多巧克力_________________________
太多苹果__________________________许多______________________________
对……有益______________________对……有害__________________________
……好吗？……行吗？_______________________________________
四、我的疑问
_____________________________________________________________________________
课内探究
一、质疑探究
1、Complete the passage.
Tony and Tony’s dad go shopping for food and drink. They haven’t got any __________,They get some ________.They have got some _________and ___________. They haven’t got any _______. They have got some ____________. They have got some _____________ for Mum. They haven’t got any _______. ______ is bad for Tony. They haven’t got some _____________.
2、True or False
some juice a milk some tomato
a beef a glass of juice a apple
a chicken a melon some potatos
当堂检测
1、吃太多巧克力对你不好。
Eating too much chocolate _________________________ you.
2、我通常星期天购物。
I usually _____________________ on Sundays.
3、买些土豆怎样？
___________________ buying some _______________?
4、我们没有水果了，让我们去买些吧。
We _________________ fruit, let’s __________________.
5、他爸爸有许多好朋友。
His father ______________________ good friends.
三、课后反思
_____________________________________________________________________________
课后训练
一、拼写单词
1、My mother buys some ________________ (鸡肉) for me.
2、Let’s go shopping for some food and ________________(饮料)..
3、There are two _______________ (西红柿) on the table.
4、I have some ________________ (牛奶) and an egg in the morning.
5、I like eating ________________ (蔬菜). They are good for my body.
6、My favourite meat is ______________ (牛肉).
7、Do you like eating _____________ (水果)?
8、Chicken, potatoes and melons are ________________(健康的) food.
选用合适单词完成句子
1、Have you ___________ (get, got) a pen?
2、I haven’t got _________ (some, any) money.
3、There are two _________ (childs, children).
4、My mother buys some _________ (meat, meats).
5、_______________ (Is, Are) there any beef in the dining hall?
三、根据汉语提示完成句子。
1、你总是吃健康食品吗？
Do you always eat ___________ _____________?
2、我们没有食物和饮料就活不了多久
We cannot live for long without ________ ________ ____________.
3、我们吃蔬菜，水果和肉。
We eat ________________, ______________ and _____________.
4、我们没有肉，只能吃些苹果了。
We __________ _________ _______meat, so we'll have to eat _______ ________.
5、我们还有啤酒和葡萄酒吗？
______________ ___________ ____________ _________beer and wine?
Unit 1 We’ve got lots of apples
第二课时
学习目标
1、has/have got的肯定，否定与一般疑问句极其答语
2、可数名词和不可数名词
3、some和any的用法
4、辨析重点短语many/ much/lots of;too much/too many;there be与has/have got
5、注意and, or 和but的用法
学习重点
1、has/have got的肯定，否定与一般疑问句极其答语
2、可数名词单复数的变化
3、some和any的用法
三、学习难点
1、可数名词单复数的变化
2、some和any的用法
课前预习
一、使用说明与学法指导
1、熟读课文
2、预习语言知识点，在文章中找出相应的例句
3、15分钟完成
教材助读
1、诵读以下句子
We haven’t got any meat.
She hasn’t got any coffee.
Too much chocolate isn’t good for you.
All right, some coffee for Mum, and some coffee for me.
2、参照教材79页自学has/have got的肯定，否定与一般疑问句极其答语
三、预习自测
1、试用some/any填空
1)I have _________ books in English.
2)They can’t see _____________ juice in the bottle.
3)Has Amy got ______________ friends at school?
4)Can I drink __________ water, Mum?
5)We can ask _____________ questions in our Chinese class.
2、按要求完成下列句子，词数不限。
1)Have you got any vegetables? (给出否定回答)
____________, we ________________________.
2) There are many bananas and eggs in the fridge. (改为一般疑问句)
_________________________________ bananas or eggs in the fridge?
3)Coke and hamburgers are not healthy. (就画线部分提问)
_______________________________________________ not healthy?
4) There is an apple and a potato on the table. (改为含有名词复数的句子)
There _______________________________________ on the table.
Eat some beef. Don't eat any hamburgers. (用but将两句话合并为一句话)
Eat some beef ___________________________________________________.
四、我的疑问
_____________________________________________________________________________
课内探究
一、质疑探究
1、参照教材79页学习has/have got的肯定，否定与一般疑问句极其答语
注意has/have got表某人拥有某物，has和have为助动词，there be句型是指某地有某物。
2、可数名词与不可数名词
普通名词所表示的人或事物是可以按个数计算的，这类名词叫可数名词。可数名词分为个体名词(表示某类人或事物中的个体，如worker, farmer, desk, factory等)和集体名词(表示作为一个整体来看的一群人或一些事物，如people, family 等)。
如果普通名词所表示的事物是不能按个数来计算的，这类名词就叫不可数名词。不可数名词分为物质名词(表示无法分为个体的物质，如meat, rice, water, milk, orange 等)和抽象名词(表示动作、状态、情况、品质等抽象概念，如work, homework, time, health, friendship等)。
可数名词
可数名词有单数和复数两种形式。指一个人或一件事物时，用单数形式；指两个或多个人或事物时用复数形式。名词由单数形式变成复数形式的规则如下：
1)一般的名词词尾直接加-s 。如：
book → books room → rooms house → houses day → days
2)以s, ss, ch, sh, x 结尾的名词，在词尾
加-es 。如：
bus → buses glass → glasses watch → watches
dish → dishes box → boxes
3)以“辅音字母+y”结尾的名词，要先将y改
为i再加-es。如：
city → cities body → bodies factory → factories
4)以f 或fe 结尾的名词，要将f或fe改为v再
加-es。如：
half → halves leaf → leaves
knife → knives wife → wives
5)不规则变化。
① child → children
② man → men woman → women
policeman → policemen
(规律：man → men)
③ tomato → tomatoes
potato → potatoes
[初中英语以o 结尾的名词变复数时只有这两个词加-es，其余的加-s，如：
photo → photos
④ foot → feet tooth → teeth [oo变成ee]
⑤ sheep, Chinese, Japanese单、复数同形 [ 变复数时词形不变]
⑥ people单数形式表示复数意义，要求谓语动词用复数；people的复数形式peoples通常指"多个民族"。
不可数名词
1)不可数名词没有复数，当它作句子的主语时，谓语动词要用单数形式。如：
The food is very fresh. 食品很新鲜。
2)有的不可数名词也可以作可数名词，有复数形式，但他们的意义往往发生变化。如：
water (水) → waters (水域)
orange (橘汁) → oranges (橘子)
3)很多的不可数名词表示泛指时为不可数，表示种类时就可数，意义大多不发生变化。如：
fruit → fruits food → foods
fish → fishes hair → hairs
3、some和any的用法
1) some和any 既可以修饰可数名词又可以修饰不可数名词，some常用在肯定句中，而any则常用在否定和疑问句中。所以，some 和 any 的区别在于: some和any 的用法主要是考虑用在肯定句、疑问句还是否定句中，与名词的可数与否无关。
2) some的用法: some意为“一些”，可作形容词和代词。它常修饰可数名词复数。
如：some books一些书，some boys一些男孩，也可修饰不可数名词，如：some water一些水，some tea一些茶叶，some常用在肯定句中。
3) any的用法: any意为“任何一些”，它也可修饰可数名词复数或不可数名词，常用于疑问句和否定句。如： I have some tea here. 我这儿有些茶叶。
I can’t see any tea. 我没看见茶叶。
Do you have any friends at school? 你在学校有些朋友吗?
4) 但在表示建议，反问，请求的疑问句中，或期望得到肯定回答时，多用some而不用any。如：
Would you like some coffee? 你要不要来点咖啡?
How about some fruit juice? 来点水果汁如何?
5) 当any表示“任何”的意义，起强调作用时，它可以用在肯定句中；
Any student can answer this question.任何学生都可以回答这个问题。
4、many, much, lots of的用法：
1）many许多 用来修饰可数名词，例如：
Are there many students in his class？ 他的班上有很多学生吗？
I haven’t got many English books． 我没有很多英语书。
2）much许多 用来修饰不可数名词，例如：
We haven’t got much work to do． 我们没有太多工作要做。
Is there much milk in the bottle？ 瓶子里有很多牛奶吗？
3）lots of = a lot of许多它既可以修饰可数名词，相当于many；也可以修饰不可数名词，相当于much，例如：
There are lots of apples on the desk. 桌子上有很多苹果。
We have got lots of meat at home. 我们家里有许多肉。
5、too much 和too many的用法：
too much 和too many都表示“太多”。
1）too much + 不可数名词?，例如：
We have too much work to do.?我们有太多的工作要做。
2）too many + 可数名词，例如：
There are too many students in our class.我们班上有太多的学生。
and用于肯定句表并列连接，but表转折，or多用于选择疑问句
二、当堂检测
1、按要求改写句子：
1)There is some fish on the plate.（改为否定句）
________________________________________________________
2)We have got some oranges.（改为一般疑问句）
________________________________________________________
3) They have got some milk and water.（改为否定句）
________________________________________________________
4) There is a tomato on the table.（改为复数形式）
________________________________________________________
5) He has got a potato .（改为复数形式）
________________________________________________________
三、课后反思
_____________________________________________________________________________
课后训练
一、用词的适当形式填空
1.How many _______________ (sheep) are there on the hill?
2. There is some _________________ (food) in the basket.
3. The baby has only two _______________ (tooth) now.
4. There is a lot of ____________________ (water) in the bottle.
5. There are five _______________________ (people ) in his family.
6. Let's take ________________ (photo), OK?
7. I have lots of ____________________________ (tomato) here.
8. The ____________________ (leaf) on the tree turn yellow.
9.The ___________________ (child) are playing games on the playground now.
10. Their ________________________ (dictionary) look new.
11. I see you have a few white ___________________ (hair).
12. They are _________________ (woman) doctors.
13. Can you give me some bottles of _________________ (orange), please?
14. There are many _____________________ (fox) in the picture.
15. I would like some apple _____________________ (juice). I am very thirsty.
二、用 there be / have (has) got / has (have) 的正确形式填空。
1. ________________ ____________ many books in her bag.
2. I _______________ ________________ three sisters.
3. ____________ ________________ a basketball under Tony’s bed?
4. My brother ___________ _______________ a new bike.
5. _______________ your sister _____________ a computer on the desk?
三、根据括号内的要求改写下列句子。
1.There are five people in my family.(对划线部分提问)
___________________________________________________________
2. I have got a little brother. (用Jim代替I改写句子)
___________________________________________________________
3. His brother has got some new books. (变为一般疑问句) ___________________________________________________________
4. She has got some new pens. (变为否定句)
____________________________________________________________
I have got a big family. (用small family变为选择疑问句)
_____________________________________________________________
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学校名录参见：http://www.zxxk.com/wxt/list.aspx?ClassID=3060
配方法
第2课时
教学内容
给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程．
教学目标
了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．
通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．
重难点关键
1．重点：讲清配方法的解题步骤．
2．难点与关键：把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方．
教具、学具准备
小黑板
教学过程
一、复习引入
（学生活动）解下列方程：
（1）x2-8x+7=0 （2）x2+4x+1=0
老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式，右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．
解：（1）x2-8x+（-4）2+7-（-4）2=0 （x-4）2=9
x-4=±3即x1=7，x2=1
（2）x2+4x=-1 x2+4x+22=-1+22
（x+2）2=3即x+2=±
x1=-2，x2=--2
二、探索新知
像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．
可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．
例1．解下列方程
（1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0
分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．
解：（1）移项，得：x2+6x=-5
配方：x2+6x+32=-5+32（x+3）2=4
由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5
（2）移项，得：2x2+6x=-2
二次项系数化为1，得：x2+3x=-1
配方x2+3x+（）2=-1+（）2（x+）2=
由此可得x+=±，即x1=-，x2=--
（3）去括号，整理得：x2+4x-1=0
移项，得x2+4x=1
配方，得（x+2）2=5
x+2=±，即x1=-2，x2=--2
三、巩固练习
教材P39 练习 2．（3）、（4）、（5）、（6）．
四、应用拓展
例2．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6
分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=（6x+7）+，x+1=（6x+7）-，因此，方程就转化为y的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．
解：设6x+7=y
则3x+4=y+，x+1=y-
依题意，得：y2（y+）（y-）=6
去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72
y2（y2-1）=72， y4-y2=72
（y2-）2=
y2-=±
y2=9或y2=-8（舍）
∴y=±3
当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-
当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-
所以，原方程的根为x1=-，x2=-
五、归纳小结
本节课应掌握：
配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．
六、布置作业
1.教材P45 复习巩固3．
2.作业设计
一、选择题
1．配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为（ ）．
A．（x-）2= B．（x-）2=0
C．（x-）2= D．（x-）2=
2．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．
A．x2+1=0 B．（2x+1）2=0
C．（2x+1）2+3=0 D．（x-a）2=a
3．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（ ）．
A．1 B．2 C．-1 D．-2
二、填空题
1．如果x2+4x-5=0，则x=_______．
2．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数．
3．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________．
三、综合提高题
1．用配方法解方程．
（1）9y2-18y-4=0 （2）x2+3=2x
2．已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求的值．
3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．
①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．
答案:
一、1．D 2．B 3．B
二、1．1，-5 2．正 3．x-y=
三、1．（1）y2-2y-=0，y2-2y=，（y-1）2=，
y-1=±，y1=+1，y2=1-
（2）x2-2x=-3 （x-）2=0，x1=x2=
2．（x+2）2+（y-3）2=0，x1=-2，y2=3，
∴原式=
3．（1）设每件衬衫应降价x元，则（40-x）（20+2x）=1200，
x2-30x+200=0，x1=10，x2=20
（2）设每件衬衫降价x元时，商场平均每天赢利最多为y，
则y=-2x2+60x+800=-2（x2-30x）+800=-2[（x-15）2-225]+800=-2（x-15）2+1250
∵-2（x-15）2≤0，
∴x=15时，赢利最多，y=1250元．
答：略
Unit 2 Poems
《解一元二次方程》课下作业 第2课时 公式法
积累●整合
1、用公式法解方程4x2-12x=3得（ ）
A．x=
B．x=
C．x=
D．x=
2、不解方程，判别方程5x2-7x+5=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
3、关于x的方程x2-mx+m-3=0（ ）
A．一定有两个不相等的实数根
B．没有实数根
C．一定有两个相等的实数根
D．以上说法都不正确
4、已知x2+3x+5=9，则代数式3x2+9x-2的值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
5、在下列方程中，有实数根的是（ ）
A．m2+2m-3=0
B．= -6
C．m2-2m+3=0
D．=
6、已知方程3x2+4x=0，下列说法正确的是（ ）
A．只有一个根
B．只有一个根x=0
C．有两个根，x1=0，x2= -
D．有两个根，x1=0，x2=
7、已知a、b、c是△ABC的三条边，则方程cx2+（a+b）x+=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．无法确定
8、三角形两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24
B．24或
C． 48
D．
拓展●应用
9、在一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a与c异号，则方程的根的情况是
10、若关于x的方程x2-（m+2）x+m=0的 根的判别式b2-4ac=5，则m=
11、关于x的一元二次方程kx2-6x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
12、已知一元二次方程x2-（4k-2）x+4k2=0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值为
13、中国民歌不仅脍炙人口，而且还有许多教育意义，有一首《牧童王小良》的民歌还包含着一个数学问题：牧童王小良，放牧一群羊，问他羊几只，请你仔细想。头数加只数；只数减头数；只数乘头数；只数除头数。四数连加起，正好一百数。如果设羊的只数为x，则根据民歌的大意，你能列出的方程是
探索●创新
14、若0是关于x的方程（a-2）x2+3x+a2-2a-8=0的解，求实数a的值，并讨论此方程解的情况。
15、先阅读，再填空解题：
（1）方程x2-x-6=0的根是x1=3，x2= -2，则x1+ x2=1，x1· x2= -6
（2）方程2x2-5x+3=0的根是x1=1，x2= ，则x1+ x2=，x1· x2=
（3）方程x2+2x-1=0的根是x1= ，x2= ，则x1+ x2= ，x1· x2=
根据以上（1）（2）（3）你能否猜出：
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，且a、b、c为常数）的两个实数根是x1，x2，那么x1+ x2及x1· x2与系数a、b、c有什么关系？请写出你的猜想并说明理由。
参考答案
1、答案：D 解析：4x2-12x-3=0，x=，即x=，故选D
2、答案：D 解析：b2-4ac=49-4×5×5＜0，所以没有实数根，故选D
3、答案：A 解析：b2-4ac=（-m）2-4（m-3）=m2-4m+12=（m-2）2+8＞0，故选A
4、答案：D 解析：因为x2+3x+5=9，所以x2+3x=4，所以3x2+9x=12，原式=12-2=10，故选D
5、答案：A 解析：A中b2-4ac=16＞0，故选A
6、答案：C 解析：用公式法解出来即可
7、答案：B 解析：b2-4ac=（a+b）2-4c·=（a+b）2-c2 ，∵a+b＞c∴（a+b）2-c2 ＞0，故选B
8、答案：B
解析：x2-16x+60=0的解x1=6，x2= 10，根据三边之间关系知都成立，当x=6时，面积为，当x=10时，面积为24，故选B
9、答案：有两个不相等的实数根
解析：b2-4ac中a、c异号，-4ac为正，所以b2-4ac＞0，所以方程有两个不相等的实数根
10、答案：±1
解析：［-（m+2）］2-4m=5，m=±1
11、答案：k＜9且k≠0
解析：一元二次方程kx2-6x+1=0有两个不相等的实数根，所以（-6）2-4k＞0，k＜9，又因为原方程为一元二次方程，所以k≠0，所以k＜9且k≠0
12、答案：0
解析：一元二次方程x2-（4k-2）x+4k2=0有两个不相等的实数根，所以［-（4k-2）］2-4×4k2＞0，即k＜，k的最大整数为0
13、答案：x2+2x+1=100
解析：头数加只数为2x；只数减头数为0；只数乘头数为x2；只数除头数为1。相加即为x2+2x+1=100
14、答案：将x=0代入（a-2）x2+3x+a2-2a-8=0得
a2-2a-8=0
利用求根公式可得a1=-2，a2=4
当a=-2时，原方程为-4x2+3x=0，此时方程的解为x1=0，x2=
当a=4时，原方程为2x2+3x=0，此时方程的解为x1=0，x2=
解析：将x=0代入方程，得到关于a的方程，再根据a的值确定方程解的情况。
15、答案：（3）x1=-1+，x2= -1-，x1+ x2=-2，x1· x2= -1
猜想：x1+ x2=-，x1· x2=
理由：因为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）的两个实数根是：
x1=， x2=
所以x1+ x2=+
=
=-
x1· x2=·
=
=
=
解析：仔细观察题中每一个方程两根的和，积与系数的关系，就容易得出结论：“若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）的两个实数根是x1， x2，则x1+ x2=-，x1· x2= ”
《解一元二次方程》课下作业 第3课时 因式分解法
积累●整合
1、一元二次方程x2-3x=0的根是（ ）
A．x=3
B．x1=0，x2= -3
C．x1=0，x2=
D．x1=0，x2= 3
2、方程（1-x）2=x-1的根是（ ）
A．x=0
B．x1=2，x2= 1
C．x1=-2，x2= -1
D．x1=2，x2= -1
3、方程3x2=0与方程3x2=3x的解（ ）
A．都是x=0
B．有一个相同的解x=0
C．都不相同
D．无法确定
4、用换元法解分式方程-=2，若设=y，则原方程可化为关于y的整式方程是（ ）
A．y2-3y-2=0
B．3y2-2y-1=0
C．3y2-y+2=0
D．y2-2y-3=0
5、一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程（x-3）（x-4）=0的根，则这个三角形的周长（ ）
A．13
B．11或13
C．11
D．11和13
6、要使的值为0，x的值为（ ）
A．4或1
B．4
C．1
D．-4或-1
7、已知x2-5xy+6y2=0，那么x与y的关系是（ ）
A．2x=y或3x=y
B．2x=y或3y=x
C．x=2y或x=3y
D．x=2y或y=3x
8、已知（a2+b2）2-2（a2+b2）+1=0，则a2+b2的值为（ ）
A．0
B．-1
C．1
D．±1
拓展●应用
9、方程（x+1）（3x-2）=0的根是
10、如图，是一个正方体的展开图，标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，则x的值是
11、请写出一个根为x=1，另一个根满足-1＜x＜1的一元二次方程：
12、已知一元二次方程（m-1）x2+7mx+m2+3m-4=0有一根为0，则m=
13、若2x2+9xy-5y2=0，则=
探索●创新
14、若m是关于x的方程x2+nx+m=0的根，切m≠0，则m+n的值是多少？
15、阅读材料：为解方程（x2-1）2-5（x2-1）+4=0，我们可以将x2-1看作一个整体，然后设x2-1=y①，那么原方程可化为y2-5y+4=0，解得y1=1，y2=4，当y=1时，x2-1=1，∴x2=2，∴x=±；当y=4时，x2-1=4，∴x2=5，∴x=±，故原方程的解为x1=，x2= -，x3=，x4= -
解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想。
（2）请利用以上的知识解方程：
x4-x2-6=0
参考答案
1、答案：D 解析：x2-3x=0，x（x-3）=0，x=0或x-3=0，即x1=0，x2= 3，故选D
2、答案：B 解析：原方程可变形为（x-1）2=x-1，（x-1）2-（x-1）=0，（x-1）（x-2）=0，x-1=0或x-2=0，x1=1，x2= 2，故选B
3、答案：B 解析：3x2=0的解为x1=x2=0，3x2=3x的解为x1=0，x2= 1，所以它们有一个相同的解x=0，故选B
4、答案：D 解析：原方程可变形为y-=2，整理得y2-2y-3=0，故选D
5、答案：A 解析：方程（x-3）（x-4）=0的根为x1=3，x2= 4，根据三角形两边之和大于第三边，所以x=4，所以周长为13，故选A
6、答案：C 解析：因为=0，所以x2-5x+4=0且x-4≠0，解方程得x1=1，x2= 4，因为x≠4，所以x=1，故选C
7、答案：C 解析：x2-5xy+6y2=0看作关于x的一元二次方程，利用因式分解法求解：（x-2y）（x-3y）=0，x-2y=0或x-3y=0，即x=2y或x=3y，故选C
8、答案：C 解析：用换元法，设a2+b2=y，则原方程可变形为y2-2y+1=0，解得y1=y2=1，即a2+b2=1， 故选C
9、答案：x1= -1，x2=
解析：（x+1）（3x-2）=0，x+1=0或3x-2=0，即x1= -1，x2=
10、答案：1或2
解析：根据题意得：x2=3x-2，解得x1= 1，x2= 2
11、答案：x2-x=0（答案不唯一）
解析：可设另一根为0，得到（x-1）（x-0）=0，展开得x2-x=0，答案不唯一。
12、答案：-4
解析：将x=0代入原方程得m2+3m-4=0，解得m1= -4，m2= 1，因为原方程为一元二次方程，所以m-1≠0，即m≠1，所以m= -4
13、答案：2或
解析：2x2+9xy-5y2=0看作关于x的一元二次方程，解得x1= -5y，x2= y，当x1= -5y时，=，当x2= y时，=2
14、答案：把m代入方程，得m2+mn+m=0
m（m+n+1）=0
∵m≠0
∴m+n+1=0
即m+n= -1
解析：利用因式分解法使本题的解答较为简单，在解答方程问题时，要灵活运用因式分解法。
15、答案：（1）换元
（2）x4-x2-6=0
解：设x2=y，则原方程可化为
y2-y-6=0
解得y1= 3，y2= -2
∵y= x2≥0
∴y=-2舍去
∴y=3
当y=3时，x2=3，x=±
∴原方程的解为x1= ，x2= -
一元二次方程根与系数的关系 同步练习
一、填空题
1.如果x1、x2是一元二次方程的两个实数根，则x1+x2=_________.
2.一元二次方程两根的倒数和等于__________.
3.关于x的方程的根为，则p=______，q=____.
4.若x1、x2是方程的两根，那么，
5.已知方程的两根之比为2，则k的值为_______.
6.已知为方程的两实根，则
7.方程与方程的所有实数根的和为___________.
8.关于x的方程的两个实数根同号，则a的取值范围是__________.
二、选择题（18分）
9.已知a、b是关于x的一元二次方程的两实数根，则式子的值是（ ）
A. B. C. D.
10.以3和—2为根的一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
11.设方程的两根分别为，且，那么m的值等于（ ）
A. B.—2 C. D.—
12.点P （a,b）是直线y=—x+5与双曲的一个交点，则以a,b两数为根的一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
13.已知两根之和等于两根之积，则m的值为（ ）
A.1 B.—1 C.2 D.—2
14.设α、β是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2009 B.2010 C.2011 D.2012
三、解答题
15. 不解方程，求下列方程的两根x1、x2的和与积。
（1） （2）
16. 已知x1、x2是一元二次方程的两个实数根，且x1、x2满足不等式，求实数m的取值范围。
17. 已知实数a、b满足等式，求的值。
18. 若ab≠1,且有，求的值。
19. 已知关于x的方程的两根是一个矩形两邻边的长。
（1）k为何值时，方程有两个实数根；（2）呈矩形的对角线长为时，求k.
20. 已知关于x的一元二次方程有两个非零实数根。
（1）求m的取值范围；
（2）两个非零实数根能否同为正数或同为负数？若能，请求出相应的m的取值范围，若不能，请说明理由。
