2023-2024学年河南省信阳市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省信阳市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则等于( )
A. B. C. D.
2.若，且，则角是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
3.函数的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
4.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入若该公司计划年全年投入芯片制造研发资金亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过亿元的年份是参考数据：，，( )
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
8.已知，若对于任意，都有，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 函数与的图象关于原点对称
B. 函数，且恒过定点
C. 已知命题：，，则的否定为：，
D. 是的充分不必要条件
10.下列化简正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，则以下说法正确的是( )
A. 若，则是上的减函数
B. 若，则有最小值
C. 若，则的值域为
D. 若，则存在，使得
12.已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则( )
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 在上单调递增 D. 在上单调递增
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若扇形的半径为，面积为，则扇形的周长为______．
14.函数在上单调递减，则的范围为______．
15.已知是偶函数，当时，，且，则 ______．
16.已知的零点为，若，则整数的最大值是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算、求值：
；
．
18.本小题分
已知幂函数在上是增函数；
求的解析式；
若，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
当时，求该函数的值域；
若不等式在上有解，求的取值范围．
20.本小题分
已知产品利润等于销售收入减去生产成本．若某商品的生产成本单位：万元与生产量单位：千件间的函数关系是；销售收入单位：万元与生产量间的函数关系是．
Ⅰ把商品的利润表示为生产量的函数；
Ⅱ当该商品生产量千件定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？
21.本小题分
设，是关于的方程其中的两个实数根．
求的值；
求的值；
求的值．
22.本小题分
已知定义域为的函数是奇函数．
求实数，的值；
若对任意恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，，
则．
故选：．
由已知先求出集合，，然后结合集合的交集运算即可求解．
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
则，
，
则，
故角是第四象限．
故选：．
根据已知条件，结合正弦、余弦、正切函数位于所在象限确定的符号，即可求解．
本题主要考查三角函数值的符号，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：函数，．
又为单调增函数，所以有唯一零点，且在区间内．
故选：．
根据零点存在性定理和单调性即可求解．
本题主要考查函数零点存在性定理和单调性的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，
由于，都有，则在区间上，，
在区间上，，排除、，
当时，，排除．
故选：．
根据题意，分析函数值的符号，排除和，分析函数的变化趋势，排除，综合可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数值符号以及函数变化趋势的分析，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解析：，即，而，即，
，
故选：．
由题意利用指数函数的单调性和特殊点，得出结论．
本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，，，所以，
当且仅当，即时，等号成立．
故选：．
利用基本不等式，结合已知条件，即可得出答案．
本题考查基本不等式的性质的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：依题意知，第时投入资金为亿元，
根据题意列不等式为，得，
两边同取常用对数，得，所以，
所以从年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过亿元．
故选：．
根据指数函数模型列不等式求解即可．
本题考查了指数函数模型的应用问题，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：对任意成立，
令，
则对任意成立，
在上单调递增，
则函数在上单调递增，且对成立，
令，因此在上单调递增，且对成立，
当时，在上单调递增，且对成立，
当时，由在上单调递增，得，解得，
由，，得，解得，因此，
所以实数的取值范围是．
故选：．
对给定不等式作等价变形，构造函数并确定其单调性，再借助函数单调性并结合复合函数单调性求解即得．
本题考查了复合函数的单调性，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于：设上任意一点，其关于原点的对称点为，
所以，所以，所以，即为图象上任意一点，故A正确．
对于：令，所以，此时，所以过定点，故B错误．
对于：修改量词否定结论可得：，，故C正确．
对于：不一定能推出，但一定能推出，所以是的必要不充分条件，故D错误．
故选：．
对于：根据图象上任意一点的对称点所满足的关系式判断；：令，由此确定出所过定点坐标；：通过修改量词否定结论可得结果；：根据与的互相推出情况进行判断．
本题主要考查命题的真假判断，简易逻辑，函数的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，，故正确；
对于，，故正确；
对于，，故正确；
对于，，故错误．
故选：．
利用诱导公式逐项求解即可．
本题主要考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：若，则，在上单调递减，故A正确；
若，则，
当时，，在区间上单调递减，，
由时，，则有最小值，故B正确；
若，则，
当时，，在区间上单调递减，；
当时，，在区间上单调递增，，
则的值域为，故C正确；
若，则，当时，；
由，可得．
则当时，有；
当时，有，
即当时，，而当时，．
不存在，使得，故D错误．
故选：．
分别把四个选项中的值代入分段函数解析式，由分段函数的单调性判断；求解函数的值域判断与；由的范围，求出的范围，代入分段函数解析式验证判断．
本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性与函数的最值，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，
所以，，
所以和均为偶函数，A正确，B错误；
又因为，在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，由复合函数的单调性可知，在上单调递增，单调递减，故C正确，D错误．
故选：．
根据奇偶性定义可判断；根据复合函数单调性可判断．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的判断，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由题意设扇形圆心角所对弧长、半径以及面积分别为，，，
由题意得，，
解得，
所以扇形的周长为．
故答案为：．
由扇形的面积公式求出弧长，代入扇形周长公式即可求解．
本题考查了扇形的弧长与面积计算问题，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，
所以根据函数图像的平移变换和指数函数的性质可得在单调递增，在单调递减．
因为函数在上单调递减，
所以．
故答案为：．
函数是由指数函数变换得到的，根据函数图像变换知识和指数函数单调性可得的单调性，从而解出答案．
本题主要考查了函数单调性的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，当时，，
则，
因为是偶函数，
所以，解得．
故答案为：．
根据题意，先求出的值，结合偶函数的性质分析可得答案．
本题考查偶函数的性质，涉及函数值的计算，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，
当时，恒成立，不存在零点；
当时，单调递增，且，，
所以的零点，，
即，两边同时取对数，即，即，
所以，所以，
记，
显然单调递减，所以，
所以，所以整数的最大值是．
故答案为：．
根据题意，可得的零点，记，通过判断的范围，求出的取值范围即可．
本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了转化思想，属中档题．
17.【答案】解：原式；
原式．
【解析】利用指对幂的运算法则求解即可．
运用诱导公式直接化简求值即可．
本题主要考查了对数的运算性质的应用，还考查了诱导公式的应用，属于基础题．
18.【答案】解：因为是幂函数，
所以，解得或，
又在上是增函数，故，
，则．
由知在上是增函数，
又，的定义域为，
，解得，
的取值范围是．
【解析】利用幂函数的定义与性质即可得解；
利用的单调性与定义域即可得解．
本题主要考查幂函数的性质，属于基础题．
19.【答案】解：因为，
由对数函数单调性可知，当时，，
令，，即可得，，
可知的开口向上，对称轴为，
由二次函数性质可知当时，，当时，，
所以可得当时，函数的值域为．
当时，可得，令，，
可得，即在上有解，
整理可得在上有解，
因为函数在上单调递增，当时，，
所以的取值范围是．
【解析】换元令，结合二次函数的性质求值域；
换元令，整理可得在上有解，根据存在性问题分析求解．
本题主要考查了对数函数性质在函数值域求解中的应用，还考查了存在性问题与最值关系的转化，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ设商品的利润为万元，
由题意可得，；
Ⅱ当时，，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，有最大值，
当时，，
综上所述，当时，取得最大值，
所以当该商品生产量千件定为千件时获得的利润最大，最大利润为万元．
【解析】Ⅰ设商品的利润为万元，由产品利润等于销售收入减去生产成本，列式求解即可；
Ⅱ分和两种情况，分别利用基本不等式以及单调性求解最值，比较即可得到答案．
本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：，是关于的方程其中的两个实数根，
所以，，或，
由两边平方得，
，解得舍或．
所以．
．
．
【解析】根据根与系数关系以及同角三角函数的基本关系式求得．
利用诱导公式以及的结论来求得正确答案．
利用同角三角函数的基本关系式以及的结论来求得正确答案．
本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系的运用，属于中档题．
22.【答案】解：在上为奇函数，故，
即，解得，可得．
由，得，解得．
综上所述，，．
；
根据在上是增函数且，可得在上单调递减．
因为为奇函数，
所以不等式可化为．
根据在上单调递减，可得对于任意恒成立；
即对任意恒成立．
设，不等式化为对于任意恒成立．
设，，
所以实数满足：，解得，即的取值范围为．
【解析】根据题意得，，从而列式解出实数、的值；
由函数单调性，可知在上单调递减，从而将问题转化为对任意恒成立，然后根据二次不等式恒成立，算出的取值范围．
本题主要考查二次函数与指数函数的性质、函数的单调性与奇偶性及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
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