重庆市重点中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题（含答案）

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重庆市重点中学2023-2024学年高二下学期开学考试
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知函数，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
2．设动直线l与交于A，B两点．若弦长既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l的方程可以是（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（ ）
A．4069 B．2023 C．2024 D．4046
4．已知函数的定义域为R，设．设甲：是增函数，乙：是增函数，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5．已知F为抛物线的焦点，A、B、C为抛物线上三点，当时，则在点A、B、C中横坐标大于2的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
6．已知定义在R上的偶函数满足，，．则（ ）
A．4545 B．4552 C．4553 D．4554
7．已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前n项和分别为，，如果关于x的实系数方程有实数解，那么以下2021个方程中，无实数解的方程最多有（ ）
A．1008个 B．1009个 C．1010个 D．1011个
8．记椭圆的左右焦点为，，过的直线l交椭圆于A，B，A，B处的切线交于点P，设的垂心为H，则PH的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在正四棱台中，，则（ ）
A．直线与所成的角为
B．平面与平面的夹角为
C．平面
D．平面
10．设F为双曲线的右焦点，O为坐标原点．若圆交C的右支于A，B两点，则（ ）
A．C的焦距为 B．为定值
C．的最大值为4 D．的最小值为2
11．已知数列：1，1，2，1，3，5，1，4，7，10，…，其中第1项为1，接下来的2项为1，2，接下来的3项为1，3，5，再接下来的4项为1，4，7，10，依此类推，则（ ）
A．
B．
C．存在正整数m，使得，，成等比数列
D．有且仅有3个不同的正整数m，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若直线与直线垂直，则m的值为__________．
13．已知数列的各项均为非零实数，其前n项和为，，且对于任意的正整数n均有．（1）若，则__________；（2）若，则满足条件的无穷数列的一个通项公式可以是__________．
14．已知函数，（，），若存在直线l，使得l是曲线与曲线的公切线，则实数a的取值范围是__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面平面ABCD，，．
（1）证明：；
（2）求PC与平面PAD所成角的正弦值．
16．（15分）
记，分别为数列，的前n项和．已知为等比数列，，，．
（1）求，的通项公式；
（2）求数列的前2n项和．
17．（15分）
已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若是的极大值点，求a的取值范围．
18．（17分）
设、分别是粗圆的左、右焦点．
（1）求E的离心率；
（2）过的直线l与E相交于A，B两点（AB与y轴不平行）．
①当t为常数时，若，，成等差数列，求直线l的方程；
②当时．延长与E相交于另一个点C（与x轴不垂直），证明：直线AC与椭圆相切．
19．（17分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，分别为的极大值点和极小值点，记，．
（ⅰ）证明：直线AB与曲线交于另一点C；
（ⅱ）在（i）的条件下，判断是否存在常数，使得．若存在，求n；若不存在，说明理由．
附：，．
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数学试题参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．B 2．D 3．C 4．D 5．D 6．C 7．C 8．D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．ACD 10．BCD 11．ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．0或 13．2；（答案不唯一）
14．
四、解答题：共77分．
15．解：（1）取AB的中点O．因为，所以．
因为平面平面ABCD，且平面平面，所以平面ABCD．
因为平面ABCD，所以．
因为，所以，因此．
因为，所以平面POC．
又因为平面POC，所以．
（2）以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题设得，，，，
，，．
设是平面PAD的法向量，则即可取．
所以．因此PC与平面PAD所成角的正弦值为．
16．解：
（1）由题设得，即．因此的公比为2，
于是，即．
又因为，所以，即．
当时，．
当时，．所以．
又因为，，所以，因此，．
因为，所以．
因此的通项公式为，的通项公式为
（2）设，由（1）得，
所以的前2n项和．
17．解：
（1）当时，，，则．
令函数，则，可得单调递增．
又，所以当时，，当时，．
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）若，则，此时是的极小值点，故．，
令函数，则．
令函数，可知在区间上单调递增．
①当且，即且时，，
此时在区间上单调递增，则，此时不可能是的极大值点．
②当，即或时，由在区间上单调递增，
可知存在，使得当时，，
则在上单调递减，从而，即，在上单调递减．
由，可得为偶函数，
的图象关于y轴对称，此时是的极大值点．
综上，a的取值范围为．
18．解：
（1）由题意得，，则，故，即．
（2）①，，成等差数列，，
又，，
AB与y轴不平行，所以直线AB的斜率存在，若AB的斜率为k，
设直线AB方程为，，，
联立，消去y得，
则，，解之得，
故直线AB方程为或．
②设，则，令，，
与y轴不平行且AB、BC斜率存在，，
联立，消去y得，且，
由韦达定理可知，，并注意到，
得，即，
故，得，
同理得．此时，，
直线AC的方程为，整理得，
联立，消去y得，
注意到，故，
此时，，
直线AC与椭圆相切．
19．解：
（1）．
令得或．
当时，；
当时，．所以在，单调递增，在单调递减．
（2）由（1）得，．
（ⅰ）直线AB的方程为，即．
由得．
设，则．
令得．
当时，；
当时，．所以在单调递减，在单调递增．
因为，，，
所以有且仅有2个零点，，其中．
这表明方程的解集为，
即直线AB与曲线交于另一点C，且C的横坐标为．
（ⅱ）由（ⅰ）得，即．
假设存在常数，使得，则，
所以，代入可得．
设，则．令得．
当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．
因为，，，
所以存在唯一的，使得．
此时．
因此，存在常数，使得，且．