山东省青岛第五十八中学2023-2024学年高二上学期期末模块考试数学试卷（含答案）

青岛第五十八中学2023-2024学年高二上学期期末模块考试
数学试卷
2024.1
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题，共60分：第Ⅱ卷为非选择题，共90分，满分150分，考试时间为120分钟。 2.第1卷共2页，每小题有一个正确答案，请将选出的答案标号(A、B、C、D)涂在答题卡上。第Ⅱ卷共2页，将答案用黑色签字笔(0.5mm)写在答题纸上。
第Ⅰ卷
一. 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.双曲线与双曲线具有相同的( )
A.焦点 B.实轴长 C.离心率 D.渐近线
2.已知等差数列的前n项和为,若,则 ( )
A.7 B.-7 C.-10 D.10
3.已知函数在区间(1,2)上不单调，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.已知数列an}满足，则 ( )
A. B. C. D.
5.已知圆为圆内一点，将圆折起使得圆周过点F(如图)，然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为( )
A. B. C. D.
6.已知函数 ,则的图象上关于y轴对称的点共有( )
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
7.已知双曲线的中心位于坐标原点，焦点在坐标轴上，且虚轴比实轴长，若直线与C的一条渐近线垂直，则C的离心率为(
A. B. C. D.
8.函数是定义在区间上的函数，是函数的导函数，且时，，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
二.多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9. 若数列 为等比数列, 为数列的前项和, 则下列数列一定成等比数列的有( )
A. 数列 B. 数列
C. D. 数列
10. 若曲线 , 且 分别是1与9的等差中项与等比中项, 则下列描述正确的是( )
A. 曲线 可以表示焦点在 轴的椭圆
B. 曲线 可以表示焦距是 的双曲线
C. 曲线 可以表示离心率是 的椭圆
D. 曲线 可以表示渐近线方程是 的双曲线
11. 已知函数, 则( )
A. 存在唯一的极值点
B. 存在唯一的零点
C. 直线与的图像相切
D. 若, 则
12. 已知, 函数, 若, 则下列成立的是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.加斯帕尔·蒙日（图1）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）。则椭圆的蒙日圆的半径为___________
14. 若直线是曲线的切线, 也是曲线的切线, 则 ____________
15. 设数列 满足 , 则 的通项公式______________
16. 已知双曲线的左、右顶点分别为是圆上一点, 点关于的对称点恰好在双曲线上, 且, 则双曲线的离心率为___________
四.解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知等差数列 和等比数列 满足.
(1) 求数列的通项公式;
(2) 设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列, 记数列的前项和为Sn，求S50.
18.(本小题12分)
已知点为椭圆的左焦点, 在上.
(1)求的方程;
(2) 已知两点与, 过点的直线与交于两点, 且 , 试判断 是否为定值 若是, 求出该值；若不是, 说明理由.
19.(本小题12分)
已知函数
(1) 讨论的单调性;
(2) 证明: 当.
20.(本小题12分)
已知数列 满足:
(1)设, 求证数列是等比数列, 并求其通项公式；
(2)求数列前20项中所有奇数项的和.
21.(本小题12分)
已知抛物线 为的焦点, 直线与交于不同的两点, 且点位于第一象限.
(1)若直线经过的焦点，且，求直线的方程；
(2) 若直线经过点为坐标原点, 设的面积为的面积为, 求的最小值.
22.(本小题12分)
设函数
(1) , 对 恒成立, 求的取值范围;
(2) 设, 若方程的两根为, 且，求证:
青岛第五十八中学2023-2024学年高二上学期期末模块考试
数学答案
一. 单项选择题
二. 多项选择题
9. 11. 12. ABD
三. 填空题
13. 3 14. 15. 16.
四. 解答题
17. 解: (1) 设等差数列 的公差为 , 等比数列 的公比为 ,
由 , 可得 , 则 ,
所以 ;
(2) 由 (1) 知
即 是数列 中的第 项,
设数列 的前 项和为 , 数列 的前 项和为 ,
因为 ,
所以数列 的前 50 项是由数列 的前 55 项去掉数列 的前 5 项后构成的
厉以 .
18. (1) 由已知可得 , 且 的另一焦点坐标为 , 设为 ,
所以有 ,
所以 , 所以 , 所以 的方程为 .
(2)
设 , 代入 整理可得: ,
设 , 则 ①, ,
由 , 可得 ③,
由①②③可得: , 恒成立, 所以 , 为定值.
19.解: (1) 的定义域为
………………………………………...1 分
(1) 若 , 则
所以 在 单.调递减. …………………………………………………………….3 分
(2) 若 , 由 得
当 时,
当 时,
所以 在 单调递减, 在 单调递增……………………………6 分
(2) 当 时, . ……………………………9 分
设
由 得
当 时,
当 时,
所以 在 单调递减, 在 单调递增…………………………………….11 分
所以
所以, 当 …………………………………………………………………………12 分
20. (1) 令 , 得 ;
根括题意, 得 ,
所以 ,
所以数列 是 的等比数列, 故 ;
(2) 由（2）可得 , 所以数列 前 20 项中所有奇数项的和
21. (1) 解: 依题意知, .
若直线 与 轴重合, 此时, 直线 与抛物线 只有一个交点, 不合乎题意,
设直线 的方程为 , 设点 ,
联立 , 可得 , 则 ,
由韦达定理可得 ，
所以, ,
解得 , 所以, 直线 的方程为 或 ,
即 或 .
(2) 解: 若直线 与 轴重合, 此时, 直线 与抛物线 只有一个交点, 不合乎题意,
设直线 的方程为 , 设点 ,
联立 , 可得 , 则 ,
由韦达定理可得 , 则 , 即 .
不妨设 , 则 ，
所以, 的面积为 ,
的面积为 ,
所以, ,
当且仅当 时, 即 时取等号.
所以 的最小值为 .
22. (1) 由 得 ,…………………………………………………1分
设 , 则 ……………………………………………...2分
令 , 得 , 故 在 上单调递减,
所以 ,…………………………………………………………….3分
等价于 , 即
又因为 在 上单调递增, 在 上单调递减 . …….4 分
所以 , 即
故 的取值范围为 ………………………………………………………………5 分
(2) 因为 , 即
所以 , 其定义域为 ,
则 ,…………………………………………….6分
因为方程 有两根为 , 即 的两根为 , 且 ,
所以, , 即 , 且 , ……………….7 分
所以 , 且 ,
所以 , ……………………………………….8分
要证 , 只需证 , 即证 ,即证 , 即证 , …….9分
因为 , 只需证 , ……………………………10分
令 ,
则 , ……………………………………………..11 分
所以, 在 上单调递增, 且 ,
故 , 所以 ………………………………12 分