新疆克孜勒苏柯尔克孜自治州2023-2024学年高二上学期期末质量监测数学试题（含解析）

克州2023-2024学年度第一学期期末质量监测试卷
高二年级·数学
时间：120分钟 满分：100分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．经过点和的直线斜率为（ ）
A． B． C．3 D．
2．圆心是，且过点的圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．我国古代著名的思想家庄子在《庄子，天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完这样，每日剩下的部分都是前一日的一半如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么每日剩下的部分所构成的数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
4．直线的方向向量，直线的方向向量，则不重合直线与的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定
5．若点到直线的距离是4，则k的值是（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
6．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A． B． C．2 D．8
7．平行六面体中，M为与的交点，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．若双曲线的渐近线和圆相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分。
9．己知直线，则下列选项中正确的有（ ）
A．直线l的斜率为 B．直线l的倾斜角为
C．直线l不经过第四象限 D．直线l的一个方向向量为
10．关于椭圆，下列结论正确的是（ ）
A．长轴长为4 B．短轴长为1 C．焦距为 D．离心率为
11．已知空间向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．在上的投影数量为 D．
12．我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗：禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还α升、b升、c升粟，1斗为10升，则下列判断正确的是（ ）
A．a，b，c依次成公比为2的等比数列 B．
C．a，b，c依次成公比为的等比数列 D．
三、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13．设数列为等差数列，若，则_________．
14．若椭圆的长轴长为4，焦距为2，则椭圆C的标准方程为_________．
15．如图，M，N分别是正方体的棱和的中点，则MN和所成角的大小为_________．
16．己知抛物线的焦点为F，在C上有一点P，，则线段PF的中点M到y轴的距离为_________．
四、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步。
17．（8分）己知是等差数列的前n项和：
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若，求．
18．（8分）（1）求经过点，倾斜角为的直线的一般式方程．
（2）的三个顶点是，求边BC上的中线所在的直线方程．
19．（8分）己知圆及直线．
（1）当时，判断直线l与圆C的位置关系；
（2）当直线l被圆C截得的弦长为时，求a的值．
20．（8分）已知等比数列满足，为数列的前n项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求n的值．
21．（10分）己知四边形ABCD是边长为2的正方形，是正三角形，平面平面ABCD，O为AB中点．
（1）证明：平面ABCD；
（2）求PC与平面POD所成角的正弦值．
22．（10分）已知双曲线的实轴长为2，右焦点为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）己知直线与双曲线C交于不同的两点A、B，求．
克州2023-2024学年度第一学期期末质量监测
详细答案（高二数学）
一、单项选择题：
1．【详解】过点和的直线斜率为
故选：C
2．【详解】由题可得，
又圆心为，所以圆的方程为．
故选：A
3．【详解】记第日剩下部分长为，显然有，，即数列是等比数列，且公比为，所以．
故选：C．
4．【详解】因为，所以，
所以直线与平行．
故选：B
5．【详解】由题得，解方程即得k=-3或．
故答案为D
6．由标准方程可得
根据抛物线性质可知，焦点到准线的距离为
本题正确选项：
7．【详解】因为在平行六面体中，为与的交点，
所以为的中点；
，
由平行六面体的性质可知,
所以．
故选：A．
8．【详解】易知双曲线的一条渐近线为，
圆的圆心为，半径，
由题意得：圆心到渐近线的距离，
又因为，代入可得：，
所以，
故选：D．
二、多项选择题：
9．【详解】因为，可以表示为，所以，倾斜角为，故选项A正确B错误；
因为直线，故斜率，纵截距，所以直线不经过第三象限，故选项C错误；取直线上两点,，所以得到方向向量，得到直线的一个方向向量为，故选项D正确．
故选：AD
10．【详解】因为椭圆，所以，，．
长轴长为4 ，故 A正确；短轴长为，故B 错误；焦距为，故C正确；
，故 D正确．
故选：ACD．
11．【详解】由题得，而，故A不正确；
因为，所以，故B正确；
因为在上的投影数量为，故C正确；
因为，故D错；
故选：BC．
12．【详解】依题意，所以依次成公比为的等比数列，
，即．
所以CD选项正确．
故选：CD
三、填空题
13．【详解】∵数列为等差数列，∴a2 +a8＝2a5，
又a2+a5+a8＝15， ∴3a5＝15，解得a5＝5．
故答案为：5．
14．【详解】因为椭圆的长轴长为4，则，焦距为2，
由，得，
则椭圆的标准方程为：．
故答案为：．
15．【详解】连接、，则可得．因为是等边三角形。所以
故答案为：
16．【详解】设抛物线的准线为，过点作于点，准线与轴的交点为，
由抛物线的定义可知，，
故的中点到的准线的距离为，
故的中点到轴的距离为4．
故答案为：4．
四、解答题
17．（1）；（2）．
【详解】（1）设等差数列的公差为，则由已知可得
，解得．
所以，
因为，根据公式，可得
18．（1）；（2）．
【详解】（1）因为该直线的倾斜角为，所以斜率．由于经过点，代入点斜式方程得，即．
（2）设边的中点为，根据中点坐标公式得，从而可得中线所在直线方程为，即．
19．（1）相交；（2）或．
【详解】（1）当时，圆的圆心,半径r=2，
∴到直线的距离为
∴直线与圆相交；
（2）设到直线的距离为d，
则；
由垂径定理得：，即
解得：或．
【详解】（1）设等比数列的公比为，则，解得：，
．
（2），，解得：．
21．【详解】（1）是正三角形，为中点，
，
又平面平面，平面平面，
平面．
（2）方法一：取的中点，连接在正方形中，为中点，
∴，由（1）知，平面，所以以为原点，以，，的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系．
∵
∴，，，，
∴，，
设平面法向量为，则，取，得．
设与平面所成角，则．
所以与平面所成角的正弦值为．
22．【详解】（1）由已知，，
又，则，
所以双曲线方程为．
（2）由，得，
则，
设，，则，，
所以．