广东省东莞市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检查数学试题（含答案）

东莞市2023—2024学年度第一学期期末教学质量检查
高二数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
1．在等比数列中，，，则
A．4 B．8 C．10 D．12
2．若直线l的一个方向向量是，则直线l的倾斜角是
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则
A． B．2 C．6 D．
4．已知点P在抛物线上，且点P与点的距离和点P到直线的距离相等，则
A．1 B．2 C．3 D．4
5．若构成空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是
A． B． C． D．
6．东莞鸿福路大桥是一座系杆拱桥，其圆拱结构可近似看作圆的一部分，经查询资料知该拱桥（如下图）的跨度AB约为126米，拱高OP约为9米，该拱桥每隔约7米用一根吊杆连接圆拱与系杆，则与OP相距35米的吊杆MN的高度约为
（参考数据：）
A．7.3米 B．6.3米 C．5.3米 D．4.3米
7．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，且该双曲线与圆在第二象限的交点为点P，若，则双曲线的离心率为
A． B．2 C． D．
8．在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得新数列按照同样的方法进行构造，可以不断形成新的数列．现对数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…依次构造，记第n（）次得到的数列的所有项之和为，则
A．1095 B．3282 C．6294 D．9843
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
9．已知数列的前n项和，则下列说法正确的是
A．的最大值为 B．是等差数列
C．是递减数列 D．
10．已知圆：和圆：，则下列说法正确的是
A．若，则圆和圆相离
B．若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是
C．若圆和圆外切，则
D．若圆和圆内切，则
11．已知曲线C：，则
A．曲线C在第一象限为椭圆的一部分 B．曲线C在第二象限为双曲线的一部分
C．直线与曲线C有两个交点 D．直线与曲线C有三个交点
12．在如图所示的试验装置中，ABCD和ABEF均为边长为1正方形框架，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在对角线AC，BF上移动，且，（）．则下列结论正确的是
A．， B．，
C．，平面CEF D．，平面MNB⊥平面MAF
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上．
13．已知空间两点，，则与方向相同的单位向量的坐标是 ．
14．数列满足（），则数列的前10项和为 ．
15．一条光线从点射出，经直线反射后与圆C：相切，则反射光线所在直线的方程可以为 ．（写出满足条件的一条直线方程即可）
16．在平面直角坐标系中有，，三点，则同时满足条件：①△PAB的周长为6；②△PAC的面积为的点P的个数为 ．
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．
17．（本小题满分10分）
如图，平行六面体的底面是正方形，，，若，，．
（1）用，，表示；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
18．（本小题满分12分）
已知椭圆C：（）的离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）经过椭圆C的右焦点作倾斜角为45°的直线l与椭圆C相交于M，N两点，求线段MN的长．
19．（本小题满分12分）
已知数列是等差数列，数列是正项等比数列，且，，是和的等差中项，是和的等比中项．
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和．
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，，，E是PC的中点，．
（1）证明AC∥平面DEF；
（2）求点A到平面DEF的距离．
21．（本小题满分12分）
已知为数列的前n项和，且（）．
（1）证明数列为等比数列；
（2）求满足不等式的n（）的最小值．
22．（本小题满分12分）
已知圆心为C的动圆经过点且与直线相切，设圆心C的轨迹为．
（1）求轨迹的方程；
（2）已知为定点，P，Q为上的两动点，且AP⊥AQ，求点A到直线PQ距离的最大值．
2023－2024学年度第一学期教学质量检查
高二数学参考答案
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A C D B C B
二、多项选择题（全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 BC BD ABC ACD
三、填空题（16题第一空2分，第二空3分）
13． 14． 15．或（一个方程即给满分） 16．3
四、解答题
17．解：
（1）因为．
（2），
因为，，，
所以，
，
，
所以，
所以异面直线与夹角的余弦值为．
18．解：
（1）由题意可得，，
，即，
因为，得，
所以，椭圆C的方程为；
（2）椭圆C的右焦点，
直线l的倾斜角为45°，则直线l的斜率为1，
所以直线l的方程为，
由可得，
设交点，
则，
，
所以线段MN的长为
19．解：
（1）设等差数列的公差为d，正项等比数列的公比为q（），
由题意，和，得，则，
故数列的通项公式为．
由题意是和的等差中项，是和的等比中项，得，
由，，，得，则，
由且，得，
故数列的通项公式为．
（2）由题意和（1），得，，…，构成了首项为，公差为的等差数列，
，，…，构成了首项为，公比为的等比数列，
．
20．解：
（1）如图，以D为原点，分别以DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，
因为E是PC的中点，则，
因为，得，
所以，，
设平面DEF的法向量为，则，
令则，，所以，
所以，
所以，所以AC∥平面DEF．
（2）因为，所以，，
所以点A到平面DEF的距离为
21．解：
（1）当时，，得，故，
由（）①，
得②，
②－①，得，
得，即，
所以，即，
所以，数列是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）知，故，
当，，显然也适合上式，故（），
设，
则③，
④，
③－④得，
所以，
由，即，得，
设，则，
所以，数列为递增数列，
因为，，
所以，满足不等式的n的最小值为12．
22．解：
（1）由题可知，圆心C到定点的距离与到直线的距离相等，则点C的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，
所以其轨迹方程为．
（2）由题可知直线PQ的斜率不为0，设PQ的方程为，
设，，联立方程组，得，
所以，
又因为AP⊥AQ，则，
即，
化简得，
消元得
即
所以，
因式分解得，
当时，直线PQ经过点A，不合题意，舍去
当时，，直线PQ：
此时点A到直线PQ距离，
当且仅当时取等号，此时满足要求，
所以点A到直线PQ距离的最大值．