广东省四校2023-2024学年高三上学期1月期末联考数学试题（含解析）

广东省四校2023-2024学年高三上学期1月期末联考
数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名 考号填写在答题卷上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回.
一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知全集，集合满足，则下列关系一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知复数满足，则（ ）
A. B.-1 C.1 D.
3.直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知向量在方向上的投影向量的模为，向量在方向上的投影向量的模为1，且，则向量与向量的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5.若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6.在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为，且某个车轮上的点刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离，则此时到铁轨上表面的距离为（ ）
A. B. C. D.
7.若则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
8.数列的前项和，且，若，则（ ）
A. B.
C. D.
二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9.下列结论正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.“”是“”成立的充分不必要条件
D.若，则
10.已知圆，圆分别是圆与圆上的点，则（ ）
A.若圆与圆无公共点，则
B.当时，两圆公共弦所在直线方程为
C.当时，则斜率的最大值为
D.当时，过点作圆两条切线，切点分别为，则不可能等于
11.已知函数，满足有三个不同的实数根，则（ ）
A.若，则实数的取值范围是
B.过轴正半轴上任意一点仅有一条与函数相切的直线
C.
D.若成等差数列，则
12.已知正四面体的棱长为3，下列说法正确的是（ ）
A.若点满足，且，则的最小值为
B.在正四面体的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体体积可能为
C.若正四面体的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，且每相邻平行平面间的距离均相等，则此距离为
D.点在所在平面内且，则点轨迹的长度为
三 填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知双曲线，则此双曲线的渐近线方程为__________.
14.已知等差数列的前项和为，则的最小值为__________.
15.已知函数的最小正周期为，且在上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围是__________.
16.在同一平面直角坐标系中，分别是函数和函数图象上的动点，若对任意，有恒成立，则实数的最大值为__________.
四 解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题10分）
已知数列的前项和满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18.（本小题12分）
在9道试题中有4道代数题和5道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.
（1）求在第一次抽到几何题的条件下第二次抽到代数题的概率；
（2）若抽4次，抽到道代数题，求随机变量的分布列和期望.
19.（本小题12分）
已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）当时，与有公切线，求实数的取值范围.
20.（本小题12分）
如图，在棱长为2的正方体中，点是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥.
（1）若，求证：平面平面；
（2）是否存在，使得直线平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
21.（本小题12分）
在中，角所对的边分别为边上的高设为，且.
（1）若，求的值；
（2）求的取值范围.
22.（本小题12分）
已知椭圆的两焦点分别为的离心率为，椭圆上有三点，直线分别过的周长为8.
（1）求的方程；
（2）设点，求面积的表达式（用表示）.
广东省四校2023-2024学年高三上学期1月期末联考
数学
参考答案及评分标准
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D C B B A B A D BD BC ABD ACD
13. 14.-2 15. 16.
1.【解析】解：因为集合满足，故可得，故选：.
2.【解析】解：由已知，所以故选
3.【解析】解：结合图像可知所求直线斜率小于-1，故选
4.【解析】解：由题意，即，由，
即，由题知，
所求夹角为故选B
5.【解析】解：因为椭圆的离心率，所以，所以双曲线的离心率.故选A
6.【解析】解：当列车行驶的距离为时，则车轮转过的角度所对应的扇形弧长为，
车轮转过的角度为点的初始位置为，设车轮的中心为，当
时，作，垂足为，如图所示，
则到铁轨表面的距离为；
当时，，作，垂足为，如图所示，
则，
到铁轨表面的距离为；当在其它范围均可得到同一个式子，故选B.
7.【解析】解：结合函数图像，可知，故选A
8.【解析】解：由已知得：
，故
故选D
9.【解析】解：A.：不一定所以A错，对于选项B：两边同时除以即可，B正确，
选项不一定，反之成立，所以为必要不充分条件
D.选项正确：
10.【解析】解：当两圆内含时，可以无穷大所以不正确；当时两圆相交，两圆的方程作差可以公共弦的直线方程为正确选项；当时如图一，和为两条内公切线，有半径比可知，可得选项正确对于D选项，点P在位置时
点在位置时
所以中间必然有位置使得故选
11.【解析】解：A.因为，
所以在和上单调递增，在上单调递减，且，
所以，当有三个不同的实数根时，，故正确
关于点中心对称，在此点处的切线方程为，所以B正确
由于方程有三个根，所以
展开可知不正确
，当成等差数列时，所以正确
12.【解析】解：如图：
对于，因为点满足且，
可知点是平面上的一点.
又因为正四面体是棱长为3，所在立方体的棱长
的最小值为点到平面的距离，即为立方体体对角线的，计算可知正确；
对于，因为正四面体的体积为立方体的体积减去四个小三棱锥的体积：，而正四面体四个面的面积都是
设正四面体的内切球半径为，解得，
因为正四面体在正四面体的内部，且可以任意转动，
所以最大正四面体外接球直径为，因此最大正四面体外接球也是棱长为的正方体的外接球，
所以正四面体的体积最大值为，故不正确.
对于，在正方体内，过作平面，分别交于点，过作平面，分别交于点，且平面平面，
由正四面体的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，且每相邻平行平面间的距离均相等，
其中平面和平面为中间的两个平面，易知为的中点，为的中点，
因为正方体是棱长为，
所以，
所以点到的距离为，所以每相邻平行平面间的距离为，故正确；
对于选项：由可知点的轨迹是平面与以点为球心，2为半径的球的截面圆
其中点在的延长线上且点到平面的距离为，截面圆的半径为所以截面圆周长为，故选
13.【解析】解：渐近线方程为
14.【解析】解：最小值为-2
15.【解析】解：由的最小正周期为，得.，根据图像可知，函数在上单调递减，在上单调递增，若在上单调递减，在上单调递增，则，解得
16.【解析】解：
由，整理得，数形结合可知最小值为圆心到直线的距离减去半径，即为
当且仅当即时取到最值.
17.（本小题10分）
解：
（1）由已知：当时
两式相减可得：，
又时，满足上式，
所以
，
又时，满足上式，
则；
（2）由（1）可得：，
则，
即，
两式相减可得：，
即
18.解：记表示事件“第次抽到代数题”，.
（1）由条件概率公式可得
所以第一次抽到几何题的条件下，第二次抽到代数题的概率为；
（也可以：已知第一次抽到几何题，这时还剩余代数题和几何题各四道，因此）
（2）由题意，随机变量的可能取值为：；
的分布列为
0 1 2 3 4
所以：
19.解：（1）
当时，单调递减；
单调递增；
当时，单调递增；
单调递减.
综上所述：当时，增区间为，减区间为
当时，增区间为，减区间为
（2）在点处的切线方程为
，即
在点处的切线方程为
，即
由题意得
整理可得
设则
当单调递减；当单调递增
且
20.解：
（1）证明：若，则平面 平面为同一个平面.
连接，则是中点，是中点，所以平面与平面重合，
平面与平面重合
由正方体性质可知平面
为二面角的平面角，
而，所以，
平面平面
（2）解：假设存在，使得直线平面，
以为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，故，
设是平面的法向量，则，所以，
取，得是平面的一个法向量，
取中点中点，连接，则，
于是是二面角的平面角，是二面角的平面角，
是二面角的平面角.于是，
所以，且平面，
故，
同理，
所以，
因为，，
所以，
若直线平面是平面的一个法向量，则，
即存在，使得，则，此方程组无解，
所以不存在，使得直线平面.
21.解：（1）在中，由余弦定理和可得，.
，
又由面积公式可知，
，由
又
（2）由（1）知.
如图，在中，过作的垂线，且使，则，
，即，得，
，
由，得
的取值范围为.
22解：（1）的周长，解得，
因为椭圆的离心率为，所以，解得，
则，
故的方程为；
（2）证明：由题意可知直线和直线的斜率不为零，设直线和直线的方程为
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
同理得
因为，所以，
可得即；
同理可得，
可得即，
不妨设，
由，
又
则
把代入上式得，